10.3　第1课时　积化和差与和差化积公式

10.3几个三角恒等式第1课时积化和差与和差化积公式(教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学)[课时目标]1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式证明积化和差与和差化积公式的过程.2.会用积化和差与和差化积公式解决简单的化简、求值.1.三角函数的积化和差公式(1)sinαcosβ=;

(2)cosαsinβ=;

(3)cosαcosβ=;

(4)sinαsinβ=.

2.三角函数的和差化积公式(1)sinα+sinβ=;

(2)sinα-sinβ=;

(3)cosα+cosβ=;

(4)cosα-cosβ=.

基础落实训练1.把2sin10°cos8°化成和或差的形式为()A.sin18°-sin2° B.sin18°+cos2°C.sin18°+sin2° D.cos18°+cos2°2.把sin15°+sin5°化成积的形式为()A.sin5°sin15° B.2cos10°cos5°C.2sin10°sin5° D.2sin10°cos5°题型(一)积化和差公式的应用[例1]求下列各式的值.(1)sin37.5°cos7.5°;(2)sin20°cos70°+sin10°sin50°.听课记录:|思|维|建|模|在运用积化和差公式时,如果形式为混合函数积时,化得的结果应为sin(α+β)与sin(α-β)的和或差;如果形式为同名函数积时,化得的结果应为cos(α+β)与cos(α-β)的和或差.[针对训练]1.求下列各式的值.(1)2cos50°cos70°-cos20°;(2)sin80°cos40°-12sin40°(3)sin37.5°sin22.5°-12cos15°题型(二)和差化积公式的应用[例2](1)cos20°-cos50°=()A.cos35°cos15° B.sin35°sin15°C.2sin15°sin35° D.2sin15°cos35°(2)sin20°+sin40°-sin80°的值为()A.0 B.3C.12 D.(3)计算:sin35°-sin25°cos35°-cos25°=()A.33 B.-C.3 D.-3(4)cosπ7+cos3π7+cos听课记录:|思|维|建|模|在运用和差化积公式时,如果形式为混合函数和时,化得的结果应为sinα与sinβ的和或差;或者化得的结果应为cosα与cosβ的和或差.[针对训练]2.利用和差化积公式,求下列各式的值:(1)sin15°+sin105°;(2)cos40°+cos60°+cos80°+cos160°.题型(三)公式的化简与证明[例3]求证:sinA+2sin3A听课记录:|思|维|建|模|利用积化和差、和差化积公式化简三角函数式要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.[针对训练]3.求证:2cos20°+2sin20°-12cos20°-2sin20°-1·tan25°=cos15°第1课时积化和差与和差化积公式◉课前预知教材1.(1)12[sin(α+β)+sin(α-β(2)12[sin(α+β)-sin(α-β(3)12[cos(α+β)+cos(α-β(4)-12[cos(α+β)-cos(α-β2.(1)2sinα+(2)2cosα+(3)2cosα+(4)-2sinα+[基础落实训练]1.选C2sin10°cos8°=sin(10°+8°)+sin(10°-8°)=sin18°+sin2°.2.选Dsin15°+sin5°=2sin15°+5°2cos15°-5°2=2sin◉课堂题点研究[例1]解:(1)sin37.5°cos7.5°=12[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]=12(sin45°+sin30°)=12×2(2)sin20°cos70°+sin10°sin50°=12(sin90°-sin50°)-12(cos60°-cos40°)=14-12sin50°+12cos40°=112sin50°=1[针对训练]1.解:(1)2cos50°cos70°-cos20°=cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos20°=cos120°+cos20°-cos20°=cos120°=-12(2)sin80°cos40°-12sin40°=12[sin(80°+40°)+sin(80°-40°)]-12sin40°=12(sin120°+sin40°)-12(3)sin37.5°sin22.5°-12cos15°=-12[cos(37.5°+22.5°)-cos(37.5°-22.5°)]-12cos15°=-12(cos60°-cos12cos15°=-12cos60°=-[例2]解析:(1)cos20°-cos50°=cos(35°-15°)-cos(35°+15°)=2sin15°sin35°.故选C.(2)sin20°+sin40°-sin80°=2sin40°+20°2cos40°-20°2=2sin30°cos10°-sin80°=2×12cos10°-sin(90°-10°=cos10°-cos10°=0.(3)原式=2sin5°cos30°-2sin30°sin5°=-cos30°sin30°=-1tan30°=-3.(4)原式=1=12sinπ7sin2π7+sin答案:(1)C(2)A(3)D(4)1[针对训练]2.解:(1)sin15°+sin105°=2sin15°+105°2cos15°-105°2=2sin60°cos(-45°)=2×32×2(2)cos40°+cos60°+cos80°+cos160°=(cos40°+cos80°)+12-cos20°=2cos60°·cos20°+12-cos20°=cos20°+