概率模型中的参数意义与模型应用教学设计-高二下学期数学人教A版选择性

概率模型中的参数意义与模型应用教学内容解析本节课《概率模型中的参数意义与模型应用》是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选择性必修三第七章《随机变量及其分布》的复习课。本章内容属于《标准(2017年版)》选择性必修课程的“主题三概率与统计”，是必修概率知识的延续，将数据分析素养作为高中数学课程概率与统计主线课程的重点培养目标，对概率单元的课程内容进行整体重构，概率单元课程内容由三个核心内容重新构建：第一个核心是围绕对随机现象认识展开研究学习：第二个核心是通过学习有限样本空间(特别是古典概型)，初步理解概率模型：第三个核心是通过学习几个典型随机变量分布(如二项分布、超几何分布、正态分布等)，会用概率模型解决简单的实际问题，本节课基于第三个核心进行设计。模型思想是一种重要的数学思想，高中课标要求开展“数学建模”学习活动，概率模型既是高中概率教学的重要内容，也是落实这一要求的重要载体，概率模型有一般数学模型的特点，概率模型教学是发展学生模型思想的好机会，同时，概率模型作为解决概率问题的一类特殊的数学模型，它又具有自身的一些特点，是刻画随机现象、解决概率问题的基石，因此理解概率模型中的参数对模型的影响，并由此选择恰当的概率模型去解决实际问题是高考对概率内容的考查重点。本节课利用课本习题和高考真题，聚焦概率模型中的参数对模型的影响，帮助学生深刻理解概率模型与模型参数的意义，深刻理解两个重要概率模型二项分布和超几何分布间的差异与联系，明确其适用的条件；深刻理解不同随机试验如有放回摸球和不放回摸球等与概率模型之间的关联；进一步体会从特殊到一般思想、模型思想等，发展数学抽象、数学建模和数据分析等素养。通过创设恰当的问题情境，选择合理的概率模型，确定相应的参数，解决相应的问题，强化二项分布、超几何分布、正态分布模型本质特征，渗透模型思想，促进学生数学建模和数据分析素养的发展。教学重点：1、理解概率模型中的参数对模型的影响，探究参数对二项分布和超几何分布计算量和概率值的影响；2、选择恰当的概率模型去解决实际问题，确定参数，概率分析，对模型进行正确的应用。教学难点：如何探究参数对模型的影响，自主探究得到参数对二项分布和超几何分布计算量和概率值的影响；学生学情分析学生在函数的学习中，学习完函数的概念、表示、性质等一般知识后，通过学习幂函数、指数函数，对数函数，三角函数等基本函数类，不仅加深了对一般函数概念的理解，而且为学生莫定了建立适当的函数模型解决不同类型实际问题的数学基础，与函数的学习类似，学生在本章中通过研究二项分布，超几何分布和正态分布等重要随机变量的分布，不仅进一步理解了离散型和连续型随机变量在描述随机现象中的作用，而且对随机思想在解决实际问题中的作用也有了更深入的理解。与此同时，学生已经掌握用随机变量及其分布列，将不同背景的概率问题转化为统一的数学问题，初步通过构建二项分布、超几何分布、正态分布概率模型解决实际问题，但是学生对参数对模型的影响理解不够深入，容易做出错误的模型选择，不能对实际问题作出正确的概率分析。通过本节课的学习，提高了学生用概率的方法解决问题的能力，进一步提升学生的数学抽象素养和逻辑推理素养。同时，本节课通过设置有趣的情境案例，借助GGB、Excel等软件激发学生学习兴趣，提升数学运算效率，让学生直观感受参数对二项分布和超几何分布的影响。3、教学目标设置依据课程标准，同时基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：了解二项分布与超几何分布的本质区别与联系；2、通过实验探究，亲身经历并理解概率模型中的参数对模型选择和概率计算分析的影响；3、由参数对概率模型的影响的探究，让学生在解决实际问题时，能正确选择恰当的概率模型，确定参数，并进行概率分析；4.、在模型探究和模型应用的过程中，加强与信息技术的融合，初步使用GeoGebra，EXCEL等常用软件进行概率计算和分析，从而加深参数对概率模型的理解。4、教学策略分析鉴于学生已经具有概率模型的知识和初步运用的尝试，基于尊重学生主体地位，发挥教师主导作用，克服单纯教师讲学生听、教知识学知识等教学模式，制定如下教学策略：通过问题串的设置，运用启发式教学法，引导学生主动思考、积极提问；2、通过三个实验的设计，运用互动式、探究式教学法，以小组为单位，自主探究参数对模型的影响，并对概率模型进行运用；3、数学软件的应用使得探究过程更加形象生动，让学生经历整个探究过程，进一步加深参数对概率模型影响的理解。5、教学过程设计5.1、问题引入，提出问题课前播放虚假宣传广告的视屏，随机展示问题1（选择性必修三p80拓广探索改编）某厂家将某种产品每20件包装成一箱，宣传每箱产品合格率为0.9。现随机抽取一箱，并从中抽取5个产品检验，已知抽取的5个产品中有3个合格品，是否可以断定厂家虚假宣传？【教师总结】在统计学中我们往往将概率小于0.05的事件称为小概率事件，认为几乎不可能发生。上述事件的概率也比较小，处于临界状态，问题中哪些数据影响了实验结果发生的可能性？学生建议1：我觉得每箱产品20件太少了。学生建议2：我认为抽检次数5次有点少。学生建议3：我觉得抽一箱有偶然性，可以多抽几箱产品。引导学生回忆学过的概率模型有二项分布，超几何分布，两点分布，古典概率模型，不同的概率模型有不同的适用条件，彼此之间也有联系，这3位同学想探究的这些量实际上就是模型的参数，这就是本节课的主题《概率模型的参数意义和模型应用》，随即进入这节课的主题。【设计意图】通过播放视屏，引发学生的学习欲望，与此同时，通过改编课本例题，引入现实情境的虚假宣传问题，遵循源于课本，又高于课本的设计理念。5.2、模型建立，复习回顾【学生活动】教师引导学生复习二项分布和超几何分布的参数意义，分布列和期望方差等基本知识点。参数意义分布列期望方差【教师总结】同学们掌握得都还不错，接下来让我们一起聚焦参数对两个概率模型的影响。从而进一步从参数角度分析两个模型的区别与联系。【设计意图】通过复习两个概率模型参数意义，分布列和期望方差等基本知识点，为下面实验探究参数对模型选择的影响做好铺垫。5.3、模型对比，参数分析（1）直观分析，初步感知【学生活动】利用概率模型解决概率问题，首先要进行模型选择，让同学们从参数直观角度对比分析两模型的区别与联系，思考参数对模型选择的影响？学生1：二项分布有两个参数，超几何分布有三个参数；学生2：超几何分布需要知道样本总数N，二项分布不需要该参数学生3：两个概率模型都有参数实验次数n！学生4：在二项分布中事件发生的概率是参数为p，在超几何分布中没有事件发生的概率参数，M/N可以看成事件发生概率。除了参数直观的影响，同学们之前一般将哪些条件作为两个模型选择的依据？学生一起回答：有放回和不放回教师：这是实验发生的方式，往往与哪个参数一起出现？学生：实验次数n【教师总结】现在再来对比这三个参数，参数n对模型选择起到较大的作用。并让学生体会模型的本质区别二项分布的每次试验之间应该是相互独立的超几何分布的实验是不独立的，实际上是古典概型实验。【设计意图】让同学们从参数直观角度对比分析两模型的区别与联系，得到参数对模型选择的影响，同时意识到这只是参数直观的影响，需要进一步深入分析参数对概率模型更深层次的影响。（2）实验对比，深度剖析——实验1:参数N对模型影响这是参数对模型的直观影响，让我们进一步对虚假宣传问题进行概率分析，探究参数对模型更深层次的影响！教师让提建议1的学生回答，增加每箱产品数改变的是参数N。进而探究参数N对模型的影响，给出实验1。实验1：现假定该厂生产的该种产品每箱合格率均为0.9。已知该产品每_____件包装成一箱，现随机抽取一箱，_____，求误差不超过0.1的概率？（请在(1)(2)(3)中选取一个填入第一空，在(a)(b)中选取一个填到第二空）（1）20；（2）30；（3）100；（a）从中抽取5个产品检验，且每次结果相互独立；（b）从中一次性抽取5个产品检验【师生活动】以小组为单位，按模型选择，参数确定，概率分析的步骤进行列式计算，先探究参数对模型计算量的影响，请确定一位小组长，分配好计算任务，汇总计算结果，将结果保留到小数点后四位！随机展开小组活动。由参数对模型选择的影响，按选a和b的顺序让小组长给出探究过程！参数N对模型计算量没有影响，答案是0.9185。教师将几个小组的实验结果进行汇总，请同学们仔细观察，当n不变，N、M增大（保持M/N比值不变）的时候，参数N对概率模型有什么影响？先看计算量，二项分布没影响，超几何分布随着N增大计算量增大。概率值的影响，超几何分布概率值减小，趋于二项分布。教师进一步通过ggb软件验证同学们的猜想，先看静态图像，学生发现随N增大，超几何分布趋于二项分布，而且N较小时候，超几何分布概率更集中一些。再让学生观察动态图像更直观得感受下！学生：我觉得还是需要的，因为N大一点的话，可以避免一些偶然事件！教师：非常好，N增大，可以避免一些偶然事件的发生，频率也会慢慢稳定于概率，每箱产品的合格率趋于真实值，不管用哪个模型做实验，结果都会可靠一些。我们采纳建议1！【设计意图】学生通过团结协作实验探究，得到样本总量参数N对概率模型计算量和概率值的影响，培养学生数据分析，数学建模等数学核心素养。（2）实验对比，深度剖析——实验2:参数n对模型影响教师让提建议2的学生回答，增加每箱产品数改变的是参数n。进而探究参数n对模型的影响，给出实验2。实验2：同样假定每箱产品合格率为0.9，在实验1选定的参数N和概率模型的基础上，每N件包装成一箱，现随机抽取一箱，并从中抽取10个产品检验，计算误差不超过0.1的概率，对比实验1的结果，分析参数n对模型的影响？【师生活动】接下来继续以小组为单位，由概率分析的三个步骤，进行列式计算，对比实验1的结果，探究参数n对模型计算量和概率值的影响？请小组长分配好计算任务，汇总计算结果，做好成果分享准备！需要借助软件的同学，可到讲台前计算。教师选了探究二项分布和超几何分布的几个小组的作品，分享他们的探究过程。小组1：我们小组探究的是参数n对二项分布的影响计算量变大了，概率值好像比实验1要大一些。小组2：我们小组探究的是N=20，参数n对超几何分布的影响计算量还好，影响也不是特别大，概率值好像也有变大趋势。小组3：我们小组探究的是N=30，参数n对超几何分布的影响，计算量会大一些，但是合格品8到10个，只要把3个次品，7个合格品的情况减去就可以了，所以概率是1—P（X=7），计算出来的概率值好像也是变大的教师：很好，多想一点，就少算一点。教师将这三组同学的实验结果汇总，并加上n=15的结果，请同学们仔细观察，当N较小取20时，参数n对概率模型的影响。学生观察到计算量都增大，但是超几何分布相对好一点，所以当N不是很大的时候，n变大，超几何分布相对有优势。概率值都都有变大趋势，感觉会不会趋于1。教师再呈现借助ggb得到的结果的小组。小组4：我们小组探究的是N=100时，参数n对超几何分布的影响，计算量比较大，用计算机软件算得的答案也是有增大趋势的。教师展示当N=100，参数n变大时的两个分布，请同学们对比分析，当N较大时，参数n对模型的影响。学生发现N较大时，n增大，超几何分布计算量增大，相比于二项分布计算量更大一点！说明超几何分布计算量由N，n共同影响。两个分布的概率值都在增大，感觉也会接近1？教师通过ggb软件来验证下同学们的猜想，先来看静态图像，学生发现随着n增大，最大值在减小，而且随着n的增大，两边的概率值在减小。【教师总结】两边的概率值减小，落在设定区间外的概率减小，小概率事件发生的可能性进一步降低，落在设定区间内的概率值相对应增加，而且确实也会慢慢趋近1。再让学生感受下动态过程！进一步总结，参数n变大计算量增加，此时可以借助如excel，ggb等常用软件辅助计算，也可以用正态分布来近似计算，当然对参数的要求比较苛刻！所以参数对概率分析的影响反过来也会影响模型的选择。教师：由于在实验中参数n的值选取具有特殊性，对任意的参数n，概率值变化也并不一定是单调的，但是都会趋于1。实际上实验2的结果也证明了概率的哪个性质？学生一起回答：频率稳定于概率教师：所以采纳建议2，在实际检测过程中，n大小由检测者与厂家商量决定。进一步让学生学生考虑建议3，学生认为多抽几箱可以避免小概率事件的发生，也可以确定最有可能抽到的合格品个数，所以采纳建议3。【设计意图】学生通过团结协作实验探究，对比分析得到实验次数参数n对概率模型计算量和概率值的影响，进一步培养学生数据分析，数学建模等数学核心素养，也明确了探究虚假宣传问题的方案。（2）实验对比，深度剖析——实验3：参数p的影响综合同学们给出的建议，教师再做了一次检测，给出问题2：问题2：某厂家将某种产品每200件包装成一箱，宣传每箱产品合格率为0.9。现随机抽取一箱，并从中抽取20个产品检验，重复操作10次，其中出现合格品个数频率最高为18个，请借助实验1和2的概率模型，确定相应参数，断定厂家是否虚假宣传？教师请同学们结合图像继续思考，频率最高的是18，也就是X=18的概率最大，进而探究参数p对模型的影响！教师：实际上利用超几何分布同样也可以算得合格率为0.86到0.9，由于课堂时间的原因，同学们可以课后进一步计算，既然两个模型算出来的答案都是0.86到0.9，那么该厂家没有虚假宣传，只是取了合格率的最大值。实际上在现实生活中，国家质量监督局对产品质量都会严格把关，可能有些商家的宣传会有夸大成分，但是我们并不需要对所有宣传广告都持怀疑的态度。【师生活动】接下来，请同学们进一步反思，如果p在0.86到0.9之间，X=18的概率取最大，那么p取不同范围时，概率取最大的X值应该也会改变。教师让学生观察p取不同值时的静态图像，学生发现概率p对概率模型的概率分布有较大影响，当p较小时，集中在左侧；当p较大时，集中在右侧；p=0.5时左右对称。又有同学提出，最大值好像都是np。提出了概率最大值的猜想。教师请大家观察动态图像感受参数p对概率模型的影响。【教师总结】刚才这位同学总结得很好哦！另外，请同学们课后进一步验证张俊旺的猜想，探究更一般化的结论，对于给定参数n，p（M/N），探究概率取最大的X表达式。【设计意图】教师通过设计问题2，让学生再次通过团结协作实验探究，对比分析得到参数p对概率模型概率分布的影响，在自主探究的过程中得到概率最值的求解核心思想，同时学生数据分析，数学建模等数学核心素养进一步落实。5.4、模型应用，链接高考今天同学们的想法和高考命题老师的想法不谋而合，带着今天的实验成果，让我们一起来分析2018年全国I卷高考真题。例题（2018全国卷I改编）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每件产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验不合格，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再更具检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为合格品的概率都为p(0<p<1).且各件产品是否为合格品相互独立。问题：记20件产品中恰有18件合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值p0【师生活动】教师让学生先确定概率模型，觉得按题意应该是不放回的，应该是超几何分布，实际上，高考题比较友好，其实他还有这么一句提示语“且各件产品是否为合格品相互独立”学生统一模型，二项分布！教师提示，题给的数据也符合超几何分布用二项分布近似的条件！接下去教师引导学生对这道高考题进行参数确定，概率分析。参数n=20，p应该是未知数，本题求解使得X=18概率取最大时的p值，并让学生计算p值。学生1：我觉得这和刚才的问题2是一样的，p应该是一个范围！就是0.86到0.9，而不是一个定值！教师：生2给出不同的观点，能不能解释