《方差与标准差》参考教案2

1/5§2.3.2方差与标准差教学目标一、知识与技能：通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用；学会计算数据的方差、标准差；使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．二、过程与方法：通过具体例子来说明意义及内涵，并加以计算把握三、情感态度与价值观：体会反应离散程度的量的思想方法教学重点用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差．教学难点理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识．教学过程一、问题情境1．情境：甲、乙、丙三人入选国家射击运动员，各射击三次，发挥程度如下：人员第一次第二次第三次甲9.289.8乙9.29.49.8丙99.69.6假如你是挑选人，你挑哪一位？为什么？二、学生活动：看平均成绩，但三个平均成绩都是9.4,这样需要看三人发挥的稳定程度1、看极差：甲0.8,乙0.4,丙0.6乙入选2、看与平均数的差别:甲：02+0.42+0.42=0.32;乙：0.22+02+0.22=0.08;丙：0.42+0.22+0.22=0.24;乙入选三、建构数学1．方差：一般地，设一组样本数据，，…，，其平均数为，则称为这个样本的方差．因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差．2．标准差：标准差也可以刻画数据的稳定程度．3．方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大．四、数学运用1．例题：例1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为[（9.8-10）2+（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2]÷5=0.02.乙品种的样本平均数也为10，样本方差为[（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2]÷5=0.24因为0.24>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。例2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。天数151~180181~210211~240241~270271~300301~330331~360361~390灯泡数1111820251672分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命。解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天)这些组中值的方差为1/100×[1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2]=2128.60(天2).故所求的标准差约（天）答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.练习：课本第71页练习第1题；例3、某工人在30天中加工一种零件的日产量的情况是：有2天是51件，有3天是52件，有6天是53件，有8天是54件，有7天是55件，有3天是56件，有1天是57件。计算该工人30天的平均日产量解：=51×2/30+52×3/30+53×6/30+54×8/30+55×7/30+56×3/30+57×1/30)=×(2×51+3×52+6×53+8×54+7×55+3×56+1×57)≈54点评：这一原始方法对于树木越大，显得越不方便，能否将其改进呢？分析给出的数据，都在50左右摆动，可以将原始数据都减掉50，将大数化小，来进行计算。于是有：[方法二]将生产件数各减50得到：1，2，3，4，5，6，7它们出现的次数分别为2，3，6，8，7，3，1。=×(2×1+3×2+6×3+8×4+7×5+3×6+1×7)≈4，≈4+50=54思考问题：一般的，y1=ax1+b,y2=ax2+b,y3=ax3+b,……,yn=axn+b，则它们对应的平均数有什么关系呢？方差又如何呢？=====a+bSy2====a2=a2sx2于是有结论：一般的，y1=ax1+b,y2=ax2+b,y3=ax3+b,……,yn=axn+b，则=a+b，Sy2=a2sx2用此结论可以将大数转化为比较小的数计算练习1：某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品。在自动包装传送带上，每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格。分别记录抽查数据如下：甲：102，101，99，103，98，99，98乙：110，115，90，85，75，115，110估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间比较稳定？（答案：两车间平均数都是100，甲、乙的方差分别为3.4286、228.5714，甲车间比较稳定）练习2：教材68页第2题例4、某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试成绩情况如下组别平均标准差第一组906第二组804求全班的平均成绩和标准差(精确到0.01)解：设第一组的成绩为xi,第二组的成绩为yi,则=90，=80，全班平均成绩为=×(90×20+80×20)=85（分），由已知=====36，同理=16s==……=≈7.14备选例题：在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为9.5，0.016；五、回顾小结：1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数。用样本方差、标准差估计总体方差、标准差。样本容量越大，估计就越精确。2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度．3、y1=ax1+b,y2=ax2+b,y