专题12.2公式法（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题12.2公式法教学目标能用公式法把整式进行因式分解；会综合用提公因式法和公式法把整式分解因式；掌握公式法因式分解的应用。教学重难点1.重点（1）利用平方差公式、完全平方公式进行分解因式；（2）学会用公式法因式分解进行简便运算；（3）利用公式法因式分解求参数的值或代数式的值。2.难点（1）提取公因式法与公式法因式分解综合；（2）公式法因式分解的的综合应用。知识点1公式法—平方差公式1.观察a²b²有什么特征?由平方差公式(a+b)(ab)=a²b²,可得a²b²=(a+b)(ab).这就将a²b²分解成两个整式的积.平方差公式(a+b)(ab)=a²b²从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解.如果一个整式符合平方差公式的特征，那么就可以用平方差公式把它因式分解.要点：（1）当整式的各项含有公因式时，通常先提取公因式，然后再考虑是否能进一步因式分解.（2）因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止.【即学即练】1．分解因式：【分析】（1）直接利用平方差公式分解；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解；（3）利用平方差公式分解．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法以及平方差公式的应用．2．分解因式：【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可；（2）根据平方差公式进行因式分解即可．3．下列能用平方差公式因式分解的是（

）【答案】D【分析】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的整式的特点．根据能够运用平方差公式分解因式的整式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可．【详解】解：A、是与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；B、共有三项，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；C、两项的符号不相反，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；D、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确；故选：D．【答案】4【分析】本题考查整式的化简求值，先根据平方差公式化简原式，然后代值求解即可．故答案为：4．5．分解因式：【分析】（1）平方差法因式分解；（2）平方差法因式分解；（3）平方差法因式分解；（4）平方差法因式分解；（5）先提公因式，再用平方差法因式分解．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握因式分级的方法，是解题的关键．知识点2公式法—完全平方公式1.观察a²+2ab+b²、a²2ab+b²有什么特征?由完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²,(ab)²=a²2ab+b²,可得a²+2ab+b²=(a+b)²,a²2ab+b²=(ab)².这就将a²+2ab+b²与a²2ab+b²分别分解成两个相同的整式的积.完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²,(ab)²=a²2ab+b²从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解.如果一个整式符合完全平方公式的特征，那么就可以用完全平方公式把它因式分解.2.举例分析：因式分解：9x²12x+4要点：（1）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（2）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.3.公式法：根据因式分解和整式乘法的关系，可以用平方差公式和完全平方公式将具有特殊形式的整式因式分解．像这样，根据常用的乘法公式将整式因式分解的方法叫作公式法．4.因式分解步骤（1）如果整式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．5.因式分解注意事项（1）因式分解的对象是整式；（2）最终把整式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【即学即练】1．下列各式能够用完全平方公式因式分解的是（）【答案】B故选：B．2．将下列各式因式分解：【分析】（1）用完全平方公式因式分解；（2）用完全平方公式因式分解；（3）用完全平方公式因式分解；（4）用完全平方公式因式分解；【点睛】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟悉完全平方公式.【分析】把原式看成“1”和“3（a1）”的完全平方式，再利用公式法因式分解．【分析】利用完全平方公式进行分解因式即可得答案．【点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．【答案】1故答案为：1．【点睛】本题考查了因式分解的应用，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键．A．12 B．6 C．3 D．0【答案】A故选：A．题型01运用平方差公式进行因式分解【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用平方差公式因式分解即可．【变式1】．将下列整式分解因式：【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键．（1）整理后利用平方差公式进行因式分解即可；（2）整理后利用平方差公式进行因式分解即可；（3）整理后利用平方差公式进行因式分解即可．【分析】本题考查公式法分解因式．根据平方差公式进行计算即可．【变式3】．因式分解：【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解；（2）先用平方差公式进行因式分解，再用完全平方公式进一步分解．题型02判断能否运用平方差公式进行因式分解【典例1】．下列整式中，能运用平方差公式分解因式的是（

）【答案】C【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，准确判断是解题的关键．【详解】解：A、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；B、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，故选：C．【变式1】．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（

）【答案】D【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．故选：D．【变式2】．判断下列不能运用平方差公式因式分解的是（）A．﹣m2+4 B．﹣x2–y2C．x2y2﹣1 D．（m﹣a）2﹣（m+a）2【答案】B故选B．【点睛】本题主要考查了平方差公式分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式．题型03运用完全平方公式进行因式分解【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可．【分析】本题主要考查了因式分解，直接利用完全平方公式分解因式即可．【变式2】．把下列各式因式分解：【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．（1）利用完全平方公式因式分解即可；（2）利用完全平方公式因式分解即可；（3）利用完全平方公式因式分解即可；（4）先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可．【变式3】．分解因式：【分析】本题主要考查了完全平方公式：（1）利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；（2）利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．题型04利用完全平方公式因式分解进行简便运算【典例1】．用简便方法计算：【答案】(1)90000(2)1000【分析】本题主要考查了完全平方公式：（1）运用完全平方公式计算，即可求解；（2）运用完全平方公式计算，即可求解．【变式1】．用简便方法计算：【答案】(1)1(2)80【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活运用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键；．题型05判断能否运用完全平方公式进行因式分解【典例1】．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（

）【答案】D【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式.是解题的关键故选：D．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【解析】略题型06判断能否运用公式法进行因式分解【典例1】．下列整式中，不能用公式法进行因式分解的是（

）【答案】A【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可．故选：A．【变式1】．下列整式不能用公式法因式分解的是（）【答案】C【分析】本题考查了整式的因式分解．A、B选项考虑利用完全平方公式分解，C、D选项考虑利用平方差公式分解．故选：C．【变式2】．运用公式法将下列各式因式分解，错误的是（

）【答案】D【解析】略题型07因式分解—公式法及其与提取公因式法综合【典例1】．因式分解：【分析】本题考查因式分解：（1）提公因式结合平方差公式进行因式分解即可；（2）提公因式结合平方差公式进行因式分解即可；（3）利用完全平方公式进行因式分解即可；（4）利用完全平方公式进行因式分解即可．【变式1】．因式分解【分析】本题考查因式分解：（1）提取公因式即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式；（3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式；（4）利用平方差公式、完全平方公式分解因式【变式2】．因式分解：【分析】（1）根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可；（2）根据平方差公式与完全平方公式因式分解即可；（3）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可；（4）根据提公因式法与平方差公式因式分解即可．【点睛】本题考查了提公因式法、平方差公式和完全平方公式，解决此题的关键是熟练掌握因式分解的基本方法．【变式3】．因式分解：【分析】根据分解因式的方法求解即可．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．题型08利用公式法因式分解求代数式的值【答案】4故答案为：4．【答案】81．故答案为：81．【答案】【分析】本题考查了因式分解的综合运用及整体代入思想，正确进行因式分解是解决问题的关键．将代数式因式分解然后整体代入求解即可．故答案为：．【变式3】．先因式分解，然后计算求值：【分析】本题考查了因式分解以及代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；（1）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解，再将字母的值代入，即可求解；题型09利用公式法因式分解求参数的值 【答案】【分析】此题考查了因式分解－运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．故答案为：．【答案】4【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．解题时连续利用平方差公式计算，即可求出的值．故答案为：4．题型10配方法求最值【典例1】．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：【知识应用】请根据上述材料解决下列问题：【答案】(1)16(3)3【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键．（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可；∴横线上添上一个常数项16使之成为完全平方式；故答案为：16根据阅读材料用配方法解决下列问题：【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法．题型11公式法因式分解难点分析A．1 B．－5 C．－6 D．－7【答案】A∴（a2+2b）+（b22c）+（c26a）=7+（1）+（17），∴a2+2b+b22c+c26a=11∴（a26a+9）+（b2+2b+1）+（c22c+1）=0，∴（a3）2+（b+1）2+（c1）2=0∴a3=0，b+1=0，c1=0，∴a+bc=311=1．故选：A．A．1 B．3 C．5 D．不能确定【答案】B【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键．∵a、b均为正数，故选：B．【答案】D故选：D．一、单选题1．下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x+1【答案】C【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】解：多项x2+x+1，x2+2x1，x22x+1都不能用平方差公式进行因式分解，能用平方差公式进行因式分解的是x21，故选：C．【点睛】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．2．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（

）【答案】A故选：A．3．下列因式分解不正确的是（

）【答案】C【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法因式分解，正确应用乘法公式是解题关键．利用提取公因式，公式法分解得到结果，即可做出判断．故选：C．【答案】C【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可．故选C．【点睛】本题考查运用公式法进行因式分解，解题关键在于对公式的熟练掌握与应用，题目比较简单．A．12 B． C．24 D．【答案】D故选D．A．8 B．16 C．50 D．32【答案】D故选：D．A．美丽中国 B．我爱中国 C．我爱美 D．我爱美丽【答案】B【分析】本题考查因式分解的应用．∴组合结果只有B“我爱中国”符合，故选：B．A．5 B．6 C．3 D．8【答案】C，故选：C．二、填空题【分析】本题考查因式分解，熟记平方差公式是解答的关键．先提公因式3，再利用平方差公式分解因式即可求解．【答案】8016【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算．故答案为：8016．【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式法，进行因式分解即可．【分析】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟悉完全平方公式和因式分解的概念，是解题的关键．根据完全平方公式分解因式，即可．【分析】本题考查利用提公因式、平方差公式进行因式分解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．先提公因式，再利用平方差公式解题即可．【分析】本题考查因式分解的应用，涉及完全平方和公式因式分解，设正方形的边长为，由题意列出等式，因式分解求解即可得到答案．熟练掌握完全平方和公式因式分解是解决问题的关键．【详解】解：设正方形的边长为，【答案】【分析】本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．由平方差公式进行因式分解，再代入计算即可得到答案．故答案为：．【答案】【分析】本题考查了实数的大小的比较，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、作商法比较．利用作差法比较、的大小即可．故答案为：．三、解答题17．因式分解：【分析】根据分解因式的方法求解即可．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：