2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（湘教版）-2 第二节　函数的单调性与最值

第二节函数的单调性与最值【课程标准】1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.1.函数单调性的定义(1)单调函数的定义条件设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集.如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)结论就称f(x)是区间I上的增函数就称f(x)是区间I上的减函数图示(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫作y=f(x)的单调区间.[微提醒](1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(3)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.2.函数的最大(小)值前提设D是函数y=f(x)的定义域，如果有a∈D，条件(1)∀x∈D，都有f(x)≤f(a)；(2)∃a∈D，使得M=f(a)(1)∀x∈D，都有f(x)≥f(a)；(2)∃a∈D，使得M=f(a)结论称M是函数f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点称M是函数f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点【常用结论】(1)函数单调性的两个等价结论设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则①fx1-fx2x1-x2>0(或(x1-x2)[f(x1)-fx2②fx1-fx2x1-x2<0(或(x1-x2)[f(x1)-fx2(2)若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质①当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)+g(x)是增(减)函数.②若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反.③函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x)，y=1f(④复合函数y=f(g(x))的单调性与y=f(u)和u=g(x)的单调性有关.简记为：“同增异减”.【自主检测】1.(多选)下列结论错误的是()A．因为f(x)在[-3，2]上是增函数，则f(-3)<f(2)B．函数f(x)在(-2，3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(-2，3)C．若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数D．函数y=1x的单调递减区间是(-∞，0)∪(0，+∞答案：BCD2.(多选)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递减的是()A．y=1x-x B．y=x2C．y=-x2-2x D．y=ex答案：AC学生用书⬇第21页3.(用结论)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()A．y=1f(xB．y=|f(x)|在R上为增函数C．y=-1f(xD．y=-f(x)在R上为减函数答案：D4.函数f(x)=32x-1在区间[1，5]上的最大值为答案：315.已知函数f(x)=x2-2kx+4在[5，20]上单调，则实数k的取值范围是.

答案：(-∞，5]∪[20，+∞)考点一确定函数的单调性多维探究角度1求函数的单调区间1.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的增区间是()A．(-∞，-2) B．(-∞，1)C．(1，+∞) D．(4，+∞)答案：D解析：由x2-2x-8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<-2}.设t=x2-2x-8，则y=lnt为增函数.要求函数f(x)的增区间，即求函数t=x2-2x-8的增区间(定义域内).因为函数t=x2-2x-8在(4，+∞)上单调递增，在(-∞，-2)上单调递减，所以函数f(x)的增区间为(4，+∞).故选D．2.函数y=|-x2+2x+1|的增区间是.

答案：1解析：作出函数的图象如图所示，由图象知，其增区间是1-求函数的单调区间的方法

1.图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可由函数图象直观地写出它的单调区间.

2.复合函数法：

(1)求函数的定义域.

(2)求简单函数的单调区间.

(3)求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”.角度2利用定义证明函数的单调性(1)(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是()A．f(x)=-lnx B．f(x)=1C．f(x)=-1x D．f(x)=3|x-1答案：C解析：对于A，因为y=lnx在0，+∞上单调递增，所以fx=-lnx在0，+∞上单调递减，故A错误；对于B，因为y=2x在0，+∞上单调递增，所以fx=12x在0，+∞上单调递减，故B错误；对于C，因为y=1x在0，+∞上单调递减，所以fx=-1x在0，+∞上单调递增，故C正确；对于D，因为f12=312-1=312=3，f1=3(2)试讨论函数f(x)=axx-1(a≠0)在(-1，解：设-1<x1<x2<1，f(x)=ax-1+1xf(x1)-f(x2)=a1+1x1-1由于-1<x1<x2<1，所以x2-x1>0，x1-1<0，x2-1<0，故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(-1，1)上单调递减；当a<0时，f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(-1，1)上单调递增.定义法证明或判断函数单调性的步骤

注意：判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等.对点练1.(1)(多选)在下列函数中，满足对任意x1，x2∈1，+∞，fxA．f(x)=-2(x-1)2-2 B．f(x)=3x+5C．f(x)=1+1x D．f(x)=|x-4(2)函数f(x)=xx2+1的增区间是答案：(1)AC(2)(-1，1)解析：(1)由题意可知，函数f(x)在(1，+∞)上单调递减.对于A，f(x)=-2(x-1)2-2，其图象开口向下，对称轴为直线x=1，故f(x)在(1，+∞)上单调递减，满足题意；对于B，f(x)=3x+5为一次函数，且k=3>0，故f(x)在(1，+∞)上单调递增，不满足题意；对于C，f(x)=1+1x在(1，+∞)上单调递减，满足题意；对于D，f(x)=|x-4|=x-4，x≥4，4-x，x<4，显然f(x)在(1，(2)当x≠0时，f(x)=1x+1x，因为y=x+1x在(-1，0)，(0，1)上单调递减，所以f(x)在(-1，1)上单调递增，即f(x)的增区间是(对点练2.设f(x)是定义在R上的函数，∀m，n∈R，f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证：(1)f(0)=1；(2)x∈R时，恒有f(x)>0；(3)f(x)在R上是减函数.证明：(1)根据题意，令m=0，可得f(0+n)=f(0)·f(n).因为f(n)≠0，所以f(0)=1.(2)由题意知x>0时，0<f(x)<1；当x=0时，f(0)=1>0；当x<0时，-x>0，所以0<f(-x)<1.因为f(x+(-x))=f(x)·f(-x)，所以f(x)·f(-x)=1，所以f(x)=1f(-x故x∈R时，恒有f(x)>0.(3)任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x2)=f(x1+(x2-x1))，所以f(x2)-f(x1)=f(x1+(x2-x1))-f(x1)=f(x1)·f(x2-x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1].由(2)知f(x1)>0，又x2-x1>0，所以0<f(x2-x1)<1，故f(x2)-f(x1)<0，故f(x)在R上是减函数.学生用书⬇第22页考点二求函数的最值师生共研(1)函数f(x)=13x-log2x+4在区间[-2，2]上的最大值为(2)对于任意实数a，b，定义mina，b=a，a≤b，b，a>b.设函数f(x)=-x+3，g(x)=log2x，则函数h(x)=min{答案：(1)8(2)1解析：(1)因为函数y=13x，y=-log2(x+4)在区间[-2，2]上都单调递减，所以函数f(x)=13x-log2x+4在区间[-2，2]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f-2=13-2-log(2)法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)=1.法二：依题意h(x)=lo当0<x≤2时，h(x)=log2x是增函数；当x>2时，h(x)=3-x是减函数，因此h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1.求函数最值的三种常用方法

对点练3.(1)函数y=x+x-1的最小值为(2)设f(x)=x+2x-3，x≥1答案：(1)1(2)22-3解析：(1)法一：(换元法)令t=x-1，且t≥0，则x=t2+1，所以原函数变为y=t2+1+t，t≥0，配方得y=t+122+34.又因为t≥0，所以y≥14+34法二：(单调性法)由题易得x-1≥0，即x≥1.因为函数y=x和y=x-1在定义域内均为增函数，故函数y=x+x-1在[1，+∞)上为增函数，所以y(2)当x≥1时，f(x)=x+2x-3在1，2上单调递减，在2，+∞上单调递增，所以f(x)在x=2时取得最小值，即f(x)min=22-3；当x<1时，f(x)=x2+1在(-∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以f(x)在x=0时取得最小值，即f(x)min=1.综上，f(x)考点三函数单调性的应用多维探究角度1比较函数值的大小(2023·全国甲卷)已知函数f(x)=e-(x-1)2.记a=f22，b=f32A．b>c>a B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b答案：A解析：令g(x)=-(x-1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1，因为62-1-1-32=6+32-42，而(6+3)2-42=9+62-16=62-7>0，所以62-1-1-32=6+32-42>0，即62-1>1-32，由二次函数的性质知g62<g32，因为62-1-1-22=6+22-42，而(6+2)2-42=8+43-16=43-8=4(3-2)<0，即62-1<1-22，利用单调性比较函数值大小的方法

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用插值法比较大小.角度2利用单调性解不等式已知函数f(x)=lnx+2x，若f(x2-4)<2，则实数x的取值范围是.

答案：(-5，-2)∪(2，5)解析：因为函数f(x)=lnx+2x在定义域(0，+∞)上单调递增，且f(1)=ln1+2=2，所以由f(x2-4)<2，得f(x2-4)<f(1)，所以0<x2-4<1，解得-5<x<-2或2<x<5.利用单调性解不等式应注意四点

1.准确判断函数的单调性.

2.不等式的一边没有“f”而是常数时应将其化为函数值f(x0)的形式.

3.注意利用函数性质(奇偶性、对称性)对函数值进行转化.

4.勿忘定义域对变量的限制.角度3求参数的取值(范围)(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是()A．(-∞，-2] B．[-2，0)C．(0，2] D．[2，+∞)(2)已知函数f(x)=x2-2ax，x≥1A．0，23 BC．(0，1) D．(0，1]答案：(1)D(2)B解析：(1)函数y=2x在R上单调递增，而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y=x(x-a)=x-a22-a24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2(2)因为函数f(x)=x2-2ax，x≥1，ax-1，x<1是定义在R上的增函数，所以利用函数的单调性求参数的方法

1.根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.

2.对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对点练4.若函数f(x)=x+a-3x-1在(a，+∞答案：[1，2)解析：f(x)=x+a-3x-1=x-1+a-2x-1=1+a-2x-1，因为学生用书⬇第23页[真题再现](2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=-x2-2ax-a，A．(-∞，0] B．[-1，0]C．[-1，1] D．[0，+∞)答案：B解析：因为fx在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=ex+lnx+1单调递增，则需满足--2a2×-1≥0，-a≤e0+ln1，解得-1[教材呈现](湘教版必修一P92T16)若函数f(x)=2x+mx在区间(0，2]上是减函数，求实数m的取值范围点评：该高考题主要考查已知函数的单调性求参数，与教材习题角度相同，只不过将函数换为分段函数，源于教材而高于教材.课时测评7函数的单调性与最值对应学生(时间：60分钟满分：100分)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!)(1-9，每小题5分，共45分)1.下列函数在区间(0，1)上为单调递增函数的是()A．y=-x3+1 B．y=cosxC．y=log12x D．答案：D解析：y=-x3+1，y=cosx，y=log12x在(0，1)上都为单调递减函数，y=x-1x在(0，1)上为单调递增函数.2.函数f(x)=x1-x在A．(-∞，1)∪(1，+∞)上是增函数B．(-∞，1)∪(1，+∞)上是减函数C．(-∞，1)和(1，+∞)上是增函数D．(-∞，1)和(1，+∞)上是减函数答案：C解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠1}.f(x)=x1-x=11-x-1，根据函数y=-1x的单调性及有关性质，可知f(x)在(-∞，1)和(1，+3.若函数f(x)=2x2+31+x2，则f(A．(-∞，3] B．(2，3)C．(2，3] D．[3，+∞)答案：C解析：f(x)=2x2+31+x2=2+1x2+1，因为x2≥0，所以x2+1≥1，所以0<1x2+1≤1，所以f(4.(2024·安徽阜阳模拟)已知函数f(x)=ex-e-x，x>0，-x2，x≤0，若a=50.A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b)答案：A解析：因为y=ex是增函数，y=e-x是减函数，所以f(x)=ex-e-x在(0，+∞)上单调递增，且f(x)>0.又f(x)=-x2在(-∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，所以f(x)在R上单调递增.又c=log20.9<0，0<b=log32<1，a=50.01>1，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c).故选A．5.(多选)已知函数f(x)=x-axa≠0，下列说法正确的是A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增B．当a=-4时，f(x)的单调递增区间为(-∞，-2)，(2，+∞)C．当a=-4时，f(x)的值域为(-∞，-4]∪[4，+∞)D．当a>0时，f(x)的值域为R答案：BCD解析：当a>0时，f(x)=x-ax，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞).因为f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增，故A错误；又当x→-∞时，f(x)→-∞，当x→0-时，f(x)→+∞，所以f(x)的值域为R，故D正确；当a=-4时，f(x)=x+4x，由其图象(图略)可知，B、C正确.故选6.(多选)已知函数f(x)=lnx+2xA．f(x)在R上为增函数B．f(e)>f(2)C．若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≤-1或a≥0D．当x∈[-1，1]时，f(x)的值域为[1，2]答案：BC解析：易知f(x)在(-∞，0]，(0，+∞)上单调递增，故A错误，B正确；若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≥0或a+1≤0，即a≥0或a≤-1，故C正确；当x∈[-1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(-∞，2]，故x∈[-1，1]时，f(x)∈(-∞，2]，故D错误.故选BC．7.函数y=-x2+2|x|+1的单调递增区间为，单调递减区间为.

答案：(-∞，-1]和[0，1](-1，0)和(1，+∞)解析：由于y=-x2+2画出函数的图象如图所示，所以单调递增区间为(-∞，-1]和[0，1]，单调递减区间为(-1，0)和(1，+∞).8.已知函数f(x)=x2-4x+3(x≥0)，x2答案：(1，2]解析：由分段函数解析式知：f(x)在[-2，0]上单调递增，由f(x)在[-1，a-2]上单调递增，得-1<a-2≤0，即a∈(1，2].9.(新设问)已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0，4)都成立，则f(x)在(0，4)上单调递增”.能说明命题p为假命题的一个函数是.

答案：f(x)=(x-1)2，x∈(0，4)(答案不唯一，如f(x)=-x，解析：由题意知，f(x)=(x-1)2，x∈(0，4)，则函数f(x)的图象在(0，4)上先单调递减再单调递增，当x=1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意，所以函数f(x)=(x-1)2，x∈(0，4)可以说明命题p为假命题.10.(13分)已知函数f(x)=x|x-4|.(1)把f(x)写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；(6分)(2)写出函数f(x)的单调递减区间.(7分)解：(1)f(x)=x|x-4|=x2-4x(2)由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2，4).11.(14分)已知f(x)=xx(1)若a=-2，试证明：f(x)在(-∞，-2)上单调递增；(5分)(2)若a>0，且f(x)在(1，+∞)上单调递减，求实数a的取值范围.(9分)解：(1)证明：当a=-2时，f(x)=xx任取x1，x2∈(-∞，-2)，且x1<x2，则fx1-fx2=x1x1因为(x1+2)(x2+2)>0，x1-x2<0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(-∞，-2)上单调递增.(2)任取x1，x2∈(1，+∞)，且x1<x2，则fx1-fx2=x1x1因为a>0，x2-x1>0，所以要使f(x1)-f(x2)>0，只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立，所以a≤1.综上所述，实数a的取值范围是(0，1].(每小题6分，共12分)12.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有fx1-fx2A．y=f(x)+x是增函数B．y=f(x)+x是减函数C．y=f(x)是增函数D．y=f(x)是减函数答案：A解析：不妨令x1<x2，所以x1-x2<0，因为fx1-fx2x1-x2>-1⇔fx1-fx2<-(x1-x2)⇔fx1+x1<fx2+x2，令g(x)=f(x)+x，所以g(x1)<g(x2)，又x1<x2，13.设函数f(x)=-x2+4x，x≤4，log