公差期末考试题及答案

公差期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，则该数列的公差\(d\)为（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：根据等差数列通项公式\(a_n=a_1+(n1)d\)，则\(a_7=a_1+6d\)，\(a_3=a_1+2d\)。\(a_7a_3=(a_1+6d)-(a_1+2d)=4d\)，已知\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，所以\(135=4d\)，即\(4d=8\)，解得\(d=2\)。2.若等差数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1=2\)，公差\(d=1\)，则\(a_5\)的值为（）A.1B.0C.1D.2答案：B解析：由等差数列通项公式\(a_n=a_1+(n1)d\)，当\(n=5\)，\(a_1=2\)，\(d=-1\)时，\(a_5=a_1+(51)d=2+4\times(-1)=24=0\)。3.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_{10}-a_7=6\)，则公差\(d\)等于（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：因为\(a_{10}=a_1+9d\)，\(a_7=a_1+6d\)，所以\(a_{10}-a_7=(a_1+9d)-(a_1+6d)=3d\)。又已知\(a_{10}-a_7=6\)，即\(3d=6\)，解得\(d=2\)。4.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_2+a_4=10\)，\(a_5=9\)，则该数列的公差\(d\)为（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：设等差数列\(\{a_n\}\)的首项为\(a_1\)，公差为\(d\)。\(a_2=a_1+d\)，\(a_4=a_1+3d\)，\(a_5=a_1+4d\)。由\(a_2+a_4=10\)可得\((a_1+d)+(a_1+3d)=10\)，即\(2a_1+4d=10\)，化简得\(a_1+2d=5\)①；又\(a_5=9\)，即\(a_1+4d=9\)②。②①得：\((a_1+4d)-(a_1+2d)=95\)，\(2d=4\)，解得\(d=2\)。5.在等差数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，则\(a_{10}\)等于（）A.19B.21C.23D.25答案：A解析：首先求公差\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，已知\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，则\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)。再根据通项公式\(a_{10}=a_1+(101)d=1+9\times2=1+18=19\)。6.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(a_{100}=36\)，则\(a_3+a_{98}\)等于（）A.36B.38C.39D.42答案：C解析：在等差数列中，若\(m+n=p+q\)，则\(a_m+a_n=a_p+a_q\)。因为\(3+98=1+100\)，所以\(a_3+a_{98}=a_1+a_{100}\)，已知\(a_1=3\)，\(a_{100}=36\)，所以\(a_3+a_{98}=3+36=39\)。二、填空题（每题5分，共20分）1.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_4=10\)，\(a_7=19\)，则公差\(d=\)______。答案：3解析：因为\(a_7=a_1+6d\)，\(a_4=a_1+3d\)，所以\(a_7a_4=(a_1+6d)-(a_1+3d)=3d\)。已知\(a_4=10\)，\(a_7=19\)，则\(1910=3d\)，即\(3d=9\)，解得\(d=3\)。2.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=3\)，则\(a_5=\)______。答案：14解析：根据等差数列通项公式\(a_n=a_1+(n1)d\)，当\(n=5\)，\(a_1=2\)，\(d=3\)时，\(a_5=a_1+(51)d=2+4\times3=2+12=14\)。3.若等差数列\(\{a_n\}\)的公差\(d=2\)，\(a_1=5\)，则\(a_6=\)______。答案：5解析：由通项公式\(a_n=a_1+(n1)d\)，当\(n=6\)，\(a_1=5\)，\(d=-2\)时，\(a_6=a_1+(61)d=5+5\times(-2)=510=-5\)。4.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_2=4\)，\(a_4=8\)，则\(a_6=\)______。答案：12解析：因为在等差数列中\(2a_4=a_2+a_6\)（等差中项性质），已知\(a_2=4\)，\(a_4=8\)，所以\(2\times8=4+a_6\)，解得\(a_6=12\)。三、解答题（每题10分，共50分）1.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=7\)，\(a_6=16\)，求该数列的首项\(a_1\)和公差\(d\)。答案：解：设等差数列\(\{a_n\}\)的首项为\(a_1\)，公差为\(d\)。根据等差数列通项公式\(a_n=a_1+(n1)d\)，则\(a_3=a_1+2d\)，\(a_6=a_1+5d\)。可得方程组\(\begin{cases}a_1+2d=7\\a_1+5d=16\end{cases}\)用第二个方程减去第一个方程消去\(a_1\)：\((a_1+5d)-(a_1+2d)=167\)\(3d=9\)，解得\(d=3\)。将\(d=3\)代入\(a_1+2d=7\)，得\(a_1+2\times3=7\)，\(a_1=76=1\)。所以首项\(a_1=1\)，公差\(d=3\)。2.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=3\)，求前\(10\)项的和\(S_{10}\)。答案：解：等差数列的前\(n\)项和公式为\(S_n=na_1+\frac{n(n1)}{2}d\)。已知\(a_1=2\)，\(d=3\)，\(n=10\)。则\(S_{10}=10\times2+\frac{10\times(101)}{2}\times3\)\(=20+\frac{10\times9}{2}\times3\)\(=20+45\times3\)\(=20+135\)\(=155\)。3.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_5=10\)，\(a_{12}=31\)，求\(a_{20}\)的值。答案：解：设等差数列\(\{a_n\}\)的首项为\(a_1\)，公差为\(d\)。\(a_5=a_1+4d\)，\(a_{12}=a_1+11d\)。可得方程组\(\begin{cases}a_1+4d=10\\a_1+11d=31\end{cases}\)用第二个方程减去第一个方程：\((a_1+11d)-(a_1+4d)=3110\)\(7d=21\)，解得\(d=3\)。将\(d=3\)代入\(a_1+4d=10\)，得\(a_1+4\times3=10\)，\(a_1=1012=-2\)。所以\(a_{20}=a_1+(201)d=-2+19\times3=-2+57=55\)。4.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(S_n\)为其前\(n\)项和，已知\(S_3=6\)，\(S_6=21\)，求\(S_9\)的值。答案：解：在等差数列中，\(S_3\)，\(S_6S_3\)，\(S_9S_6\)也成等差数列。已知\(S_3=6\)，\(S_6=21\)，则\(S_6S_3=216=15\)。设\(S_9=x\)，则\(S_9S_6=x21\)。因为\(S_3\)，\(S_6S_3\)，\(S_9S_6\)成等差数列，所以\(2(S_6S_3)=S_3+(S_9S_6)\)。即\(2\times15=6+(x21)\)\(30=6+x21\)\(x=30+216\)\(x=45\)所以\(S_9=45\)。5.已知在等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_4+a_7=15\)，\(a_2a_4a_6=45\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。答案：解：设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)。因为\(a_1+a_4+a_7=15\)，且\(a_1+a_7=2a_4\)，所以\(3a_4=15\)，解得\(a_4=5\)。则\(a_2=a_42d=52d\)，\(a_6=a_4+2d=5+2d\)。又因为\(a_2a_4a_6=45\)，所以\((52d)\times5\times(5+2d)=45\)。\(5(254d^2)=45\)\(254d^2=9\)\(4d^2=16\)\(d^2=4\)解得\(d=2\)或\(d=-2\)。当\(d=2\