2024-2025学年湖南省娄底三中高二（下）期末数学试卷（A卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省娄底三中高二（下）期末数学试卷（A卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知r1表示变量x与y之间的相关系数，r2表示变量u与v之间的相关系数，且r1=0.836，rA.变量x与y之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性

B.变量x与y之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性强于u与v之间的相关性

C.变量u与v之间呈负相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性

D.变量u与v之间呈正相关关系，且x与y之间的相关性弱于u与v之间的相关性2.已知{an}为公差不为0的等差数列，若am=A.9 B.8 C.7 D.63.已知向量a，b为单位向量，|a+λb|=|λa−b|(λ≠0)A.π6 B.π3 C.π24.已知函数f(x)=x2lnx，则f′(e)=A.1 B.2 C.e D.2e5.设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则A.3 B.4 C.72 D.6.学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为(

)A.15 B.25 C.357.已知函数f(x)=xlnx+x2，x0是函数的极值点，下列结论中正确的是A.x0>1e B.f(x08.红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布N(36.9,0.05n)，若X的值在(36.6,37.2)内的概率约为0.9973，则n的值约为(

)

(参考数据：若X～N(μ,σA.3 B.4 C.5 D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量X～N(2,σ2)，若P(X≤0)=0.1，则A.P(X≤2)=0.5 B.P(X≤4)=0.9

C.P(2≤X≤4)=0.3 D.D(2X+2)=410.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G分别为BC、CC1、A.A1G⊥EF

B.三棱锥P−AEF的体积为定值

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为9

D.存在实数λ、μ使得A1G=λAF+μAE

A.f(x)的极小值点为−1

B.f(x)在(−∞,−1]上为增函数

C.直线y=x是曲线y=f(x)的切线

D.方程f(x)=k恰有一个解当且仅当k=−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若数列{an}是各项均为正数的等比数列，数列{bn}满足bn=lnan，且b3=1813.已知(2x−1)4=a4x14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与C的右支交于两点A，B，且|AF2|：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为23且离心率为63．

(1)求椭圆C的方程；

(2)不经过原点O的直线l16.(本小题15分)

已知函数f(x)=x2+ax−2ln|x|为偶函数．

(1)求实数a的值；

(2)求函数17.(本小题15分)

A、B两队进行围棋比赛，A队有甲、乙、丙三位棋手，B队只有丁一位棋手.比赛规则如下：A队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘(负一盘)或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平.已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为23、12、13，且各盘比赛相互独立.丁连胜两盘、负一盘的概率为p1，连胜三盘的概率为p2．

(1)若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，求p1−p2；

(2)若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，求A18.(本小题17分)

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，四面体P−ABC的体积为216．

(1)证明：BD⊥AP；

(2)求直线PB与平面ABC所成角的正弦值．19.(本小题17分)

“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数μ(x)，v(x)的导数μ′(x)，v′(x)都存在，且v′(x)≠0，如果x→a(a是常数)时，μ(x)→−∞或+∞，v(x)→−∞或+∞，且μ′(x)ν′(x)=l(l是常数)，则x→a时μ(x)ν(x)→l．

已知函数f(x)=kex−1−x，g(x)=lnx+kx−1,k∈R．

(1)证明：k=1时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线y=g(x)也相切；

(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，函数g(x)有两个零点x3，x4(x3<x参考答案1.C

2.B

3.C

4.C

5.C

6.C

7.D

8.C

9.ABD

10.BD

11.AC

12.23n−n13.24

14.4

15.(1)根据已知2a=23，即a=3．

又根据e=63，可得c=√2，因此b2=a2−c2=1，

那么椭圆C为x23+y2=1．

(2)根据题直线l与椭圆C有两个交点A和B，设B(x2,y2)，A(x1,y1)，

联立直线l和椭圆方程y=x+mx23+y2=1，得x23+(x+m)2=14，即4x16.(1)依题意，得f(−x)=f(x)，即(−x)2−ax−2ln|−x|=x2−ax−2ln|x|=x2+ax−2ln|x|，

化简为2ax=0，由于x≠0，

故a=0；

(2)由(1)知函数的解析式为f(x)=x2−2ln|x|(x≠0)，

当x>0时，f(x)=x2−2lnx，f′(x)=2x−2x=2(x+1)(x−1)x，

令f′(x)<0，0<x<1，令f′(x)>0，x>1；

此时函数f(x)，在(0,1)上单调递减，(1,+∞)上单调递增，

令f′(x)=0，因为x>0，所以x=1，

根据单调性可知函数在x=1处取极小值f(1)=1；17.(1)根据题意，若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，

丁连胜两盘、负一盘的概率为p1，则p1=(1−23)×(1−12)×13+23×(1−12)×(1−13)=518，

丁连胜三盘的概率为p1，则P2=(1−23)(1−12)(1−13)=19，

故P1−P2=518−19=16；

(2)根据题意，设A、B两队打平的概率为p0．

记事件C：第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜．

记事件D：第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，

易得事件C与D为互斥事件，

则p0=P(C∪D)=P(C)+P(D)=23×(1−12)×13+(1−18.(1)证明：取AP中点K，连接KB，KD，

由PD=DA，PB=BA，

得AP⊥BK，AP⊥DK，

又因为BK∩DK=K，且BK，DK⊂平面BDK，

所以AP⊥平面BDK，

因为BD⊂平面BDK，

所以BD⊥AP．

(2)设点P到平面ABC的距离为ℎ，直线PB与平面ABC所成角为θ，

则四面体P−ABC的体积为13S△ABC⋅ℎ=13×12×2×2×32ℎ=33ℎ，

因为四面体P−ABC的体积为216，

19.(1)证明：k=1时，f(x)=ex−1−x，g(x)=lnx+1x−1(x>0)，

f′(x)=ex−1−1，g′(x)=1x−1x2(x>0)，

又f(1)=0，f′(1)=0，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y−0=0×(x−1)，即y=0．

因为g(x)=0，g′(x)=0，

所以曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程是y−0=0×(x−1)，即y=0．

所以k=1时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线y=0与曲线y=g(x)也相切．

(2)①0<x1<1<x2，0<x3<1<x4<e．

由f(x)=0，得exex−k=0；g(x)=0，得x(1−lnx)−k=0，

令F(x)=exex−k,G(x)=x(1−lnx)−k，则f(x)与F(x)的零点相同，g(x)与G(x)的零点相同，

又F′(x)=e(1−x)ex,G′(x)=−lnx，

x>1时，F′(x)<0，F(x)单调递减；x<1时，F′(x)>0，F(x)单调递增；

x>1时，G′(x)<0，G(x)单调递减，0<x<1时，G′(x)>0，G(x)单调递增；

所以F(x)和G(x)在(1,+∞)上都是减函数，在(0,1)上都是增函数，

所以0<x<1时，−k=F(0)<F(x)<F(1)=1−k，x>1时，−k<F(x)<F(1)=1−k，

因为f(x)有两个零点，即F(x)有两个零点，

所以0<x1<1<x2，且−k<0,1−k>0,解得0<k<1．

当0<k<1时，G(1)=1−k>0，G(e)=−k<0，

又x→0时(lnx)′(1x)′=1x−1x2=−x→0，

根据洛必达法则可知，x→0时，xlnx=lnx1x→0,x(1−lnx)−k=x−k−xlnx→−k，

所以x→0时G(x)<0，

所以0<k<1时，G(x)在区间(0,1)和(1,e)上各有一个零点，

所以0<x3<1<x