易错拔尖：利用勾股定理作图和计算（解析版）

易错拔尖：利用勾股定理作图和计算易错点易错点1忽视题目中条件而求不出答案1．（2012秋•白塔区校级期中）把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B、C两点恰好都落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的面积为多少？思路引领：如图，作辅助线；运用勾股定理求出FH；进而求出PM；求出BC的长度，即可解决问题．解：作PM⊥BC于M．∵∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，∴FH＝10，AB＝PM=PF⋅PH由题意得：BF＝PF、GH＝PH，∴BC＝PF+PH+FH＝24，∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝115.2．思路引领：该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等知识点来分析、推理、解答．易错点2考虑不全面漏解2．（2021春•万荣县校级月考）已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（0，10）、C（4，0），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．思路引领：分OP＝OD、PD＝OD和PO＝PD三种情况，结合矩形的性质和勾股定理可求得P点的坐标．解：∵A（0，10）、C（4，0），且四边形OABC是矩形，∴OA＝BC＝10，OC＝AB＝4，∵D是OA的中点，∴OD＝5，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则有PO＝OD＝5、PD＝OD＝5或PO＝PD＝5，当PO＝OD＝5时，在Rt△OPC中，OC＝4，OP＝5，由勾股定理可求得PC＝3，此时P点坐标为（4，3）；当PD＝OD＝5时，过P作PE⊥OA于点E，如图，在Rt△PED中，PE＝OC＝4，PD＝5，由勾股定理可求得DE＝3，且OD＝5，则OE＝5﹣3＝2，此时P点坐标为（4，2），（4，8）；当PO＝PD＝5时，过P作PE⊥OA于点E，如图，在Rt△POE中，PE＝4，PO＝5，由勾股定理可求得OE＝3，则OD＝6，与已知矛盾，故该情况不存在．综上可知点P的坐标为（4，3）或（4，2）或（4，8）．故答案为：（4，3）或（4，2）或（4，8）．思路引领：此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，根据△ODP是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．拔尖角度角度1利用勾股定理作长度为的线段及作已知面积的图形3．（2021秋•古田县校级月考）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，22，5；（3）在图3中，画一个钝角三角形，使它的面积为4．思路引领：（1）作出边长分别为3，4，5的三角形即可．（2）根据要求作出图形即可．（3）作出底为2，高为4的钝角三角形即可．解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图2中，△ABC即为所求（答案不唯一）．（3）如图3中，△ACB即为所求（答案不唯一）．思路引领：本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．4．（2019春•宜州区期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫格点．（1）在图1中，AB=5，以格点为端点，画线段MN=（2）在图2中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10．思路引领：（1）根据13=22+3（2）构造边长为10的正方形即可．解：（1）如图1，线段MN即为所求（画法不唯一）．（2）如图2，正方形ABCD即为所求（画法不唯一）．思路引领：本题考查作图﹣应用与设计，勾股定理，正方形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．角度2利用勾股定理求线段的长（构造法）5．（2022秋•沈北新区期中）在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，若四边形ABCD的周长为32，求它的面积．思路引领：连接BD，过点D作DE⊥AB于D，根据等腰三角形的性质求出AE，根据勾股定理求出DE，进而求出S△ABD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．解：连接BD，过点D作DE⊥AB于D，∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AD＝8，∠ADB＝60°，∵AB＝AD，DE⊥AB，∠A＝60°，∴AE=12AB＝4，∠DAE＝∴DE=AD2∴S△ABD=12AB•DE=12×8×∵∠ADC＝150°，∠ADB＝60°，∴∠CDB＝90°，∴BD2+CD2＝BC2，∵四边形ABCD的周长为32，AB＝AD＝8，∴CB+CD＝16，∴82+CD2＝（16﹣CD）2，解得：CD＝6，∴S△CBD=12×8×6∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝163+24思路引领：本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积计算，根据勾股定理列方程求出CD是解题的关键．角度2利用勾股定理求三角形的三边关系6．（2016•徐州模拟）一、阅读理解：在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c；（1）若∠C为直角，则a2+b2＝c2；（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2；（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．探究问题：在△ABC中，BC＝a＝3，CA＝b＝4，AB＝c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．思路引领：一、（1）由勾股定理即可得出结论；（2）作AD⊥BC于D，则BD＝BC﹣CD＝a﹣CD，由勾股定理得出AB2﹣BD2＝AD2，AC2﹣CD2＝AD2，得出AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，整理得出a2+b2＝c2+2a•CD，即可得出结论；（3）作AD⊥BC于D，则BD＝BC+CD＝a+CD，由勾股定理得出AD2＝AB2＝BD2，AD2＝AC2﹣CD2，得出AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，整理即可得出结论；二、分两种情况：①当∠C为钝角时，由以上（3）得：a2+b2＜c＜a+b，即可得出结果；②当∠B为钝角时，得：b﹣一、解：（1）∵∠C为直角，BC＝a，CA＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2；（2）作AD⊥BC于D，如图1所示：则BD＝BC﹣CD＝a﹣CD，在△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2，整理得：a2+b2＝c2+2a•CD∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＞c2；（3）作AD⊥BC于D，如图2所示：则BD＝BC+CD＝a+CD，在△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴c2﹣（a+CD）2＝b2﹣CD2，整理得：a2+b2＝c2﹣2a•CD，∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＜c2；二、解：当∠C为钝角时，由以上（3）得：a2+b2＜c即5＜c＜7；当∠B为钝角时，得：b﹣a＜c＜b即1＜c＜7综上所述：第三边c的取值范围为5＜c＜7或1＜c＜7思路引领：本题考查了勾股定理的综合运用、完全平方公式；熟练掌握勾股定理，通过作辅助线运用勾股定理是解决问题的关键．角度3利用勾股定理证明平方7．（2021春•利辛县期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，DE，DF分别交AC于点E，交BC于点F，且DE⊥DF．（1）如果AC＝BC，求证：AE2+BF2＝EF2；（2）如图2，如果AC＜BC，（1）中结论AE2+BF2＝EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．思路引领：（1）过点A作AM∥BC，交FD的延长线于点M，连接EM，则根据三角形内角和和平行线的性质可得∠EAM＝90°；利用“ASA”判断出△ADM≌△BDF，从而将AM＝BF，DM＝DF；再利用中垂线得到EF＝EM；即可在Rt△EAM中得证；（2）延长FD至点N，使得DF＝DN，连接AN，EN，先利用中垂线得到EF＝EN，再利用“SAS”证△ADN≌△BDF，从而BF＝AM，∠B＝∠DAN；最后利用∠C＝90°得到∠EAM＝90°，在Rt△EAM中得证．（1）证明：如图，过点A作AM∥BC，交FD的延长线于点M，连接EM，∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵AM∥BC，∴∠DAM＝∠B，在△ADM和△BDF中，∠DAM=∠BAD=BD∴△ADM≌△BDF（ASA），∴AM＝BF，DM＝DF，∵DE⊥DF，∴ED是MF的中垂线，∴EF＝EM，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°＝∠DAM+∠CAB＝∠EAM＝90°，在Rt△EAM中，EM2＝AE2+AM2，∴EF2＝AE2+BF2．（2）解：AE2+BF2＝EF2成立，理由如下：延长FD至点N，使得DF＝DN，连接AN，EN，∵DE⊥DF，∴ED是NF的中垂线，∴EF＝EN．∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADN和△BDF中，AD=BD∠ADN=∠BDF∴△ADN≌△BDF（SAS）．∴AN＝BF，∠B＝∠DAN，∵∠C＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°＝∠CAB+∠DAN＝∠EAN，在Rt△EAN中，EN2＝AE2+AN2，即EF2＝AE2+BF2．思路引领：本题考查了三角形全等的性质和判定、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知，解题关键是构造全等转化边．角度4利用勾股定理求代数式的最值8．（2022秋•东阳市期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0＜x＜12时，求代数式x2+4+(12-x)2+9的最小值”，其中x2+4可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长，(12-x)2+9