专题2.3用公式法与因式分解法求解一元二次方程（知识梳理题型精析练习）基础知识专项突破讲练

专题2.3用公式法与因式分解法求解一元二次方程 目录TOC\o"12"\h\u一.知识梳理与题型精析 1知识点（一）一元二次方程的求根公式 1【题型1】用公式法解一元二次方程 2知识点（三）一元二次方程根的判别式 4【题型2】根的判别式判断一元二次方程根的情况 4【题型3】根据一元二次方程根的情况求参数 5知识点（四）因式分解法解一元二次方程 7【题型5】用因式分解法解一元二次方程 8知识点（五）换元法解一元二次方程 9【题型6】用换元法解一元二次方程 10二．同步练习 121.基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 122.能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 193.直通中考（选择题３题，填空题３题，解答题２题） 29一.知识梳理与题型精析知识点（一）一元二次方程的求根公式【题型1】用公式法解一元二次方程知识点（二）用公式法解一元二次方程的步骤①把一元二次方程化为一般式；②确定、、的值（要注意符号）；【例题2】用公式法解下列一元二次方程：【分析】（1）根据求根公式代入即可解得．（2）根据求根公式代入即可解得．【点拨】此题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是熟悉求根公式．【变式】解方程：【分析】（1）利用配方法求解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．∴原方程无实数根，即此方程无解．【点拨】本题主要考查了利用配方法和公式法求解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解决本题的关键．知识点（三）一元二次方程根的判别式【题型2】根的判别式判断一元二次方程根的情况A．没有实数根 B．有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】A【分析】本题考查了三角形三边关系，一元二次方程根的判别式，解题关键是熟悉根的判别式．先求出判别式，再利用三角形三边关系说明它的符号，然后得出根的情况．∴原方程没有实数根．故选A．（1）若方程的一个根是0，求p的值；（2）求证：无论p为何值，该方程都有两个不相等的实数根．即的值为；无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根．【题型3】根据一元二次方程根的情况求参数（1）求实数的取值范围；（2）若为正整数，且方程的根均为整数，求此时的值．【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法等知识，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．（2）解：∵k为正整数，且方程的根均为整数，【答案】B故选：B．知识点（四）因式分解法解一元二次方程1.当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用小亮的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.2.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.【题型5】用因式分解法解一元二次方程【例题6】（2425八年级下·福建福州·期末）解方程：【分析】本题考查解一元二次方程因式分解法．（1）利用因式分解法求解；【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键．直接运用因式分解法求解即可．【变式2】（2425八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）解方程：【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．（1）方程移项后运用因式分解法求解即可；（2）方程运用因式分解法求解即可．知识点（五）换元法解一元二次方程高次方程换元法：方程中未知数的最高次数为四次，通过换元将其转化为一元二次方程来求解；分式方程换元法：当分式方程中存在某部分代数式重复出现时，可设该部分为新元，将分式方程化为一元二次方程；根式方程换元法：若方程中含有二次根式，且根号内的代数式与根号外的代数式存在一定关系，可设根号部分为新元.【题型6】用换元法解一元二次方程【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程：【分析】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．二．同步练习​1.基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题）一、单选题A． B．1 C．1或 D．0【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的解法，通过因式分解求解即可．故选：C．A． B．5 C． D．10【答案】B【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，根据所给方程确定a、b、c的值，再代值计算即可得到答案．故选：B．A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．无实数根【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的判别式．通过计算一元二次方程的判别式，判断其符号即可确定根的情况．∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．当判别式小于0时，方程无实数根．根据题意表示出判别式并小于0，则可列出不等式，解出即可判别．故选：A．【答案】D【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解．故选：D．【答案】D故选：D．二、填空题【答案】37首先转化成一般式，然后根据根的判别式求解即可．故答案为：37．【答案】【分析】本题主要考查解一元二次方程公式法，利用求根公式判断求解即可．故答案为：．【答案】【分析】本题考查解一元二次方程，概率公式，熟练掌握解一元二次方程的步骤和概率公式是解题的关键．先解一元二次方程，再利用概率公式计算即可．故答案为：．【答案】或∴方程有两个不相等的实数根，综上，方程有1个或2个解，故选：D．【答案】没有实数根故答案为：没有实数根．三、解答题13．（2425八年级下·广西崇左·期末）解方程：【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）运用公式法求解即可；（2）运用因式分解法求解即可．∴方程有两个不相等的实数根，14．（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程：【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键．（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根．【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理）．不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．即方程的另一个根为．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根为正数，求实数的取值范围．（1）先求出的值，再根据的意义即可得到结论；方程总有两个实数根．方程有一根为正数，

能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题）一、单选题【答案】D【分析】本题考查了解一元二次方程公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．利用公式法即可求解．故选：D．A． B． C． D．【答案】C解：设两个方程的公共根为，方程有两个不相等的实数根，综上，两个方程有个公共根．故选：C．A． B．或 C．或 D．【答案】A故选：A．C． D．【答案】A在数轴上表示为：故选：A．【答案】C【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，勾股定理的应用，先解方程得到两根，再分两种情况讨论斜边的可能长度即可.此时斜边仍为6，故选：C6．（2425九年级下·重庆巴南·期中）如图；一组有规律的图形，由白色小正方形和小黑点组成，以此规律，若第n个图形中白色小正方形比小黑点多5个，则n的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】本题考查了解一元二次方程，图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第个图形中有个正方形，个小黑点，进而根据第n个图形中白色小正方形比小黑点多5个，建立方程，即可求解．解：根据图形的变化可得：第个图形中有个正方形，个小黑点，故选：B．二、填空题【答案】1【分析】本题考查同类二次根式，解一元二次方程，根据被开方数相同的两个最简二次根式，叫做同类二次根式，求出的值，再根据二次函数的性质，进行化简即可．故答案为：1．【分析】本题考查了一元二次方程的解法．首先根据方程的根的判别式的值是，可知方程有两个不相等的实数根，再利用公式法可以求出方程的两个根．方程有两个不相等的实数根，【答案】或故答案为：1或7．【分析】本题考查了函数自变量的取值范围、分式有意义的条件、根与系数的关系、提公因式法因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据分母不为零以及根与系数的关系进行分析计算即可．不满足“自变量的取值范围是一切实数”，故此种情况舍去；三、解答题13．（2425八年级下·湖南长沙·期末）解下列方程：【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）利用公式法解方程即可；（2）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可．14．（2425八年级下·山东烟台·期中）按要求解下列关于的一元二次方程：【分析】本题考查了解一元二次方程．（1）根据公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．【答案】（1）；（2）见分析【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．方程有两个实数根．【答案】（1）见分析；（2）2【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，求根公式，正确理解题意是解题的关键．解：（1）证明：∵、、分别是关于的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，∴的最小值为2．3.直通中考（选择题３题，填空题３题，解答题２题）一、单选题1．（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（

）【答案】D故选：D．A． B． C．1 D．4【答案】C故选C．A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断根的情况【答案】A通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况．∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【答案】C故选：C．二、填空题【答案】有两个不相等的实数根故答案为：有两个不相等的实数根．【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键．【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题．三、