2024北京一六六中初三（上）开学考数学试题及答案

试题试题2024北京一六六中初三（上）开学考数学（考试时长：120分钟）考查目标知识：第二十一章《一元二次方程》、第二十二章《二次函数》能力：识图、运算、数据分析、几何直观、逻辑推理、数形结合、分类讨论第一部分选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（）A.1，5，1 B.0，5， C.1，5， D.0，5，12.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.3.用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（）A. B. C. D.4.对于二次函数，下列说法错误的是（）A.它的图象的开口向下 B.它的图象的对称轴是直线C.当时，y取最大值 D.当时，y随x的增大而减小5.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（）A. B. C.4 D.166.若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（）A. B. C. D.7.有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（）A. B. C. D.8.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（）A.4 B.1 C.2 D.3第二部分非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）9.抛物线的对称轴是_____．10.方程的根是_____．11.若关于x的一元二次方程的一个根是1，则该方程的两个根的积是_____．12.将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是_____．13.二次函数的与的部分对应值如下表：01234212510则的值为___________．14.已知二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且与x轴没有交点，请写出一个满足条件的b的值：_____．15.已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________．16.在平面直角坐标系中，点P的坐标为，称关于x的方程为点P的对应方程．如图，点，点，点．给出下面三个结论：①点A的对应方程有两个相等的实数根；②在图示网格中，若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个；③线段上任意点的对应方程都没有实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是____________．三、解答题（共68分，第17~21题，每题5分，第22~23题，每题6分，第24题5分，第25~26题，每题6分，第27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程．17.解方程：．18.已知a是方程的一个根，求代数式的值．19.在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）画出该函数的图象；（3）当时，直接写出y的取值范围．20.已知关于x的一元二次方程（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围．21.某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地、其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构成．2024年6月份该科技园的总收入为600亿元，8月份达到了864亿元，求该科技园总收入的月平均增长率．22.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点和点．（1）若抛物线还经过点，求此时抛物线的解析式，并直接写出该抛物线的顶点坐标；（2）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，请直接写出的取值范围．23.如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为（1）S与x之间是_____函数关系（填“一次”或“二次”）；（2）直接写出S与x之间的函数关系式；（3）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？24.在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且当时，函数的最小值为．（1）求该二次函数的解析式；（2）直线与该二次函数的图象和直线的交点分别为C，D．若点C位于点D的上方，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．25.某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数；（2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为_______米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米）26.在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝n，求该抛物线的对称轴；（2）已知点P（﹣1，P）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范围．27.如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是中点，连接．（1）求的度数；（2）连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明；（3）若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值．28.在平面直角坐标系中，已知点．对于点Px,y给出如下定义：当时，若实数满足，则称为点关于点的距离系数．若图形上所有点关于点的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形关于点的距离系数．（1）当点与点重合时，在，，中，关于点的距离系数为1的是________；（2）已知点B−2,1，，若线段关于点的距离系数小于，则的取值范围为________；（3）已知点，，其中．以点为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点，为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）．①线段关于点的距离系数的最小值为________；②若线段关于点的距离系数的最大值是，则的长为________．

参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（其中，，，是常数），其中，，分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键．【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是1，5，，故选：C．2.【答案】A【分析】已知抛物线为顶点式，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可．【详解】解：∵抛物线是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点可知：顶点坐标为：．故选：A．【点睛】本题考查的是顶点式，顶点坐标为：，熟练掌握顶点式的性质是解答本题的关键．3.【答案】A【分析】先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方即可得出结果．【详解】解：∵∴即，故选：A．【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤及方法是解题的关键．4.【答案】B【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．【详解】解：A、∵，∴它的图象的开口向下，故该选项正确，不符合题意；B、它的图象的对称轴是直线，故该选项错误，符合题意；C、当时，y取最大值，故该选项正确，不符合题意；D、当时，y随x的增大而减小，故当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；故选：B．5.【答案】C【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程有两个相等的实数根，，∴，∴，解得．故选C．6.【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键．先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答．【详解】解：∵,∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，∴离对称轴越远，函数值越大，∵点离对称轴最远，点在对称轴上，∴．故选：B．7.【答案】D【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可．【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为，故选：D．8.【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得二次函数图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴为直线，从而得出，，，即可判断①；由图象得出当时，，即可判断②；由图象得出二次函数与轴有两个交点，故，即可判断③；由图象可得当时，即，即可判断④，从而得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：由图象可得：二次函数图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴为直线，∴，，，∴，∴，故①正确；由图象结合抛物线的对称性可得，当时，，即，故②正确；由图象可得，二次函数与轴有两个交点，故，故③正确；由图象可得，当时，即，∵，∴，故④正确；综上所述，正确结论的个数是，故选：A．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）9.【答案】直线【分析】本题主要考查抛物线对称轴的计算公式，掌握抛物线的对称轴为直线成为解题的关键．直接利用抛物线对称轴公式求解即可．【详解】解：抛物线的对称轴是直线．故答案为：直线．10.【答案】，【分析】本题考查了解一元二次方程，先将常数项移到等式的右边，再将二次项系数化为1，最后利用直接开平方法解一元二次方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，．11.【答案】【分析】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，先把代入方程求出m的值，然后再根据根与系数的关系求出两根的积即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是1，∴，解得：，∴该方程的两个根的积是．故答案为：．12.【答案】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：左加右减，上加下减即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键．【详解】解：将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是，即，故答案为：．13.【答案】5【分析】通过观察表格中对称的点可得函数对称轴以及顶点坐标，进而求解．【详解】∵函数图像经过，，∴抛物线对称轴为直线，∴点和点关于对称轴对称，∴．故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图像的性质．14.【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与轴的交点问题，根据对称轴在轴的左侧得出，根据二次函数与x轴没有交点得出，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：由题意得：，解得：，∴满足条件的b的值可以为，故答案为：（答案不唯一）．15.【答案】【分析】本题考查了二次函数与不等式之间的关系，由二次函数的图象直接得出结论．【详解】解：当时，反应在图象上就是x轴下方的部分图形，则所对应的x的取值范围为：.故答案为：.16.【答案】②③【分析】根据点A的对应方程进行求解即可判断①；再根据点P的对应方程有两个相等的实数根可得，即可判断②；求得直线的解析式为，设直线上的任意一点为，可得这个点的对应方程为，再利用判别式即可判断③．【详解】解：∵，∴点A的对应方程为，解得，，∴点A的对应方程有两个不相等的实数根，故①错误；若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，∴，即，∵m、n均为整数，∴当时，，符合条件，当时，，符合条件，∴在图示网格中，满足条件的点P有3个，故②正确；设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，设直线上的任意一点为，∴这个点的对应方程为，∵∵，∴，即，∴线段上任意点的对应方程都没有实数根，故③正确，故答案为：②③．【点睛】本题考查解一元二次方程、一元二次方程的根与判别式的关系、用待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象的性质，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．三、解答题（共68分，第17~21题，每题5分，第22~23题，每题6分，第24题5分，第25~26题，每题6分，第27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程．17.【答案】，【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：，分解因式得：，∴或，解得：，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握十字相乘法分解因式，是解题的关键．18.【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，由题意得出，再将变形为，整体代入计算即可得出答案．【详解】解：∵a是方程的一个根，∴，∴，∴．19.【答案】（1）（2）见详解（3）【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，画出二次函数图象等知识，（1）运用待定系数法求解即可；（2）见详解；（3）数形结合，根据函数图象求解即可．【小问1详解】解：将代入得：，解得：，∴解析式为：；【小问2详解】解：列表：x……012345……y……830038……描出点，再连线可得，图象如图所示：【小问3详解】解：由函数图象得，顶点为，∴当，，∴y的取值范围为．20.【答案】（1）见解析（2）【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）解一元二次方程得出，，再结合此方程恰有一个根小于1得出，计算即可得解．【小问1详解】证明：∵，∴此方程总有两个实数根；【小问2详解】解：∵，∴，∴或，解得：，，∵此方程恰有一个根小于1，∴，解得：．21.【答案】该科技园总收入的月平均增长率为【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该科技园总收入的月平均增长率为，根据“2024年6月份该科技园的总收入为600亿元，8月份达到了864亿元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．【详解】解：设该科技园总收入的月平均增长率为，由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），∴该科技园总收入的月平均增长率为．22.【答案】（1）；（2）或【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并数形结合进行分析是解题的关键．（1）根据题意设抛物线的解析式为，再代入点，即可得到解析式，最后化成顶点式即可得到顶点坐标．（2）当时，，当时，，抛物线与线段恰有一个公共点时，当，；当，，从而解得答案．【小问1详解】解：抛物线经过原点和点设抛物线的解析式为：又抛物线经过解得：即抛物线的解析式为：即该抛物线的顶点坐标为【小问2详解】解：同（1）设抛物线的解析式为：，即该抛物线的顶点坐标为，对称轴为，当时，点，则当，抛物线与线段恰有一个公共点时，如图当抛物线与线段的交点为点时，，解得当抛物线与线段的交点在和之间时，，解得即当时，同理，当，抛物线与线段恰有一个公共点时，如图抛物线与线段的交点为时，，解得当抛物线与线段的交点在和之间时，，得即当时，综上所述，的取值范围为或．故答案为：或．23.【答案】（1）二次（2）（3）当x为时，小花园的面积最大，最大面积是【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．（1）根据题意即可得出答案；（2）设矩形小花园边的长为，面积为，则，再根据矩形的面积公式写出函数解析式即可；（3）根据二次函数的性质求出最值即可．【小问1详解】解：由题意得：S与x之间是二次函数关系；【小问2详解】解：设矩形小花园边的长为，面积为，则，由题意得：，∵，解得：，∴S与x之间的函数关系式为；【小问3详解】解：，∵，，∴当时，有最大值，最大值为，∴当x为时，小花园的面积最大，最大面积是．24.【答案】（1）二次函数解析式为（2）当或时，点C位于点D的上方【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．（1）由题意可得二次函数的图象的顶点为，二次函数的解析式可设为，再利用待定系数法计算即可得出答案；（2）画出函数图象，结合函数图象即可得出答案．【小问1详解】解：∵当时，函数的最小值为，∴二次函数的图象的顶点为，∴二次函数的解析式可设为，∵二次函数的图象经过点，∴，解得：，∴二次函数解析式为；【小问2详解】解：如图所示：，由图象可得：当或时，点C位于点D的上方．25.【答案】（1）d，h（2）见解析（3）①0.88；②则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．【分析】（1）根据函数的定义即可解答；（2）描点，连线，画出图象即可；（3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h=2解答d的值即可得答案．【小问1详解】解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；故答案为：d，h；【小问2详解】解：描点，连线，画出图象如图：；【小问3详解】解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米；故答案为：0.88；②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88，把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88，令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2，解得d3.3或d0.7，

∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式．26.【答案】（1）x=3（2）【分析】（1）根据函数值相同的两个点关于对称轴对称求解即可；（2）根据题意列出相应不等式，然后将不等式化简为对称轴的形式得出相应不等式解集，根据不等式解集的确定方法求解即可．【小问1详解】解：当m=n时，对称轴为；【小问2详解】解：根据题意可得：m=4a+2b，n=16a+4b，p=a-b，∵m<p<n，mn<0，∴m<0，n>0，∴4a+2b<0，16a+4b>0，化简得：①，②，∵m<p<n，∴化简③得，化简④得，∵t=∴综合①②③④可得：1<t．【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及利用不等式确定解集，理解题意，掌握不等式的性质及二次函数的基本性质是解题的关键．27.【答案】（1）45°（2），见解析（3）【分析】（1）证明和，可得；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明，得，从而得是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线，确定