2025年人教A版新高二数学暑假专项提升：空间向量及其线性运算4种常见考法归类

第06讲空间向量及其线性运算4种常见考法归类

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学习目标

------V-------

1.理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的

相关运算及空间距离的求解.

2.利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.

||磨基础知识1

------------------IIIIIIIIIIIIIIIIII1IIII1IIIIIIIIIII1IIIII-----------------------

知识点1空间向量的有关概念

1.在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度

或模.

注:数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，

空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。

2.表不法：

(D几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的氏度表示空间向量的模

(2)字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A,终点是B,则a也可记作其

模记为⑷或|曲

3.几类特殊的空间向量

名称定义表示法

零向

规定长度为0的向量叫做零向量记为0

量

单位|a|=l或

模为J_的向量叫做单位向量

向量|A5'|=1

相反

与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量记为一〃

向量

共线如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些a//b或

向量向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量壬后，即对于任

AB'

意向量a,都有02a

//CD

a=b或

相等方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段

ABy=

向量表示同一向量或相等向量

CI)

注意点:

(1)平面向量是一种特殊的空间向量.

⑵两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.

⑶向量不能比较大小.

(4)共线向量不一定具备传递性，比如0.

易错辨析：

(1)空间向量就是空间中的一条有向线段？答：有向线段是空间向量的一种表示形式，

但不能把二者完全等同起来.

(2)单位向量都相等？答：单位向量长度相等，方向不确定

(3)共线的单位向量都相等？答：共线的单位向量是相等向量或相反向量

(4)若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆？答：将所有空间单

位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球

(5)任一向量与它的相反向量不相等？答：零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与

零向量是相等的.

(6)若⑷=|回，则m方的长度相等而方向相同或相反?答：|a|=|回只能说明a,b的长度

相等而方向不确定

(7)若向量防，6满足|曲则曲＞6?答：向量不能比较大小

(8)空间中，a//b,b//c,则。〃c?答：平行向量不一定具有传递性，当8=0时，a与

c不一定平行

(9)若空间向量加，n,p满足用=〃，n=p,则m=p?答：向量的相等满足传递性

(10)若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同？答：当两个空间向量的起

点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，不一定起点相同，终点

也相同

知识点2空间向量的线性运算

(-)空间向量的加减运算

语言叙

首尾顺次相接，首指向尾为和

述

三角形

法则图形叙/\

加法运

算语言叙共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为

平行四边形法述和

则图形叙

U0a，

语二叙

口口”共起点，连终点，方向指向被减向量

减法运三角形述

算法则图形叙b人

述a玉

加法运交换律a~\~b=b~\~a

算结合律（a+办）+c=a+S+c）

(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形

法则和三角形法则.而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并;

(2)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点.

(3)空间向量加法的运算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，

即：4A+4A+4A+...+4Z4=AA

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；

②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，

即：高+HX+AX+…+北4+胸="；

A

A

4n4

(二)空间向量的数乘运算

与平面向量一样，实数2与空间向量a的乘积瓶仍然是一个向量，称为空间向量

定义

的数乘

A>02a号向量a的方向相同

几何意A<0―与向量a的方向相反

义

A=0%=0,其方向是任意的

Aa的长度是a的长度的血倍

结合律=

运算律

分配律(4+〃)a=/la+〃a,A(a+Z>)=Aa+AZ>

(1)当4=0或a=0时，觞=0.

(2况的正负影响着向量痴的方向，A的绝对值的大小影响着痴的长度.

(3)向量痴与向量。一定是共线向量.非零向量a与初(羽0)的方向要么相同，要么相反.

(4)由于向量a,6可平移到同一个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间

向量也满足数乘运算的分配律.

(5)根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立.

(6)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如壮。无法运算.

知识点3共线向量与共面向量

1.共线向量与共面向量的区别

共线(平行向量共面向量

表示若干空间向量的有向线段所在的

定

直线互相平行或重合,这些向量叫做平行于同一个平面的向量叫做共面向量

义

共线向量或平行向量

注：规定：零向量与任意向量平行,

即对任意向量a,都有0〃a.

共线向量定理：对于空间任意两个向

量a,bSRO),a//b的充要条件是存

共面向量定理：若两个向量a,8不共线，则向量

在实数入使a=昉.

p与向量a,方共面的充要条件是存在唯一的有序

注：(1)益//执5*0)二＞存在唯一实数

实数对(x,y),使。=取+1瓦

X,使得(2)存在唯一实数X,

充使得@=4(3*0),则。/区.注意：

要5/0不可丢掉，否则实数4就不唯一.

条1、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在

件

有序实数对(x,y),使翁=x显+照或对空间任意

对空间任一点。，~O^=x~dX+一点。，有舁=51+1+康.

yOB(x+j=l).2、空间中P,A5c四点共面的充要条件是存在有

序实数对(x,y,z),使得对空间中任意一点。，都

有OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1）

共线向量定理的用途：

①判定两条直线平行；(进而证线面

平行)

②证明三点共线。

注意：证明平行时，先从两直线上取

共面向量定理的用途：

用有向线段表示两个向量，然后利用向

①证明四点共面

途量的线性运算证明向量共线，进而可

②线面平行(进而证面面平行)。

以得到线线平行，这是证明平行问题

的一种重要方法。证明三点共线问题,

通常不用图形，直接利用向量的线性

运算即可，但一定要注意所表示的向

量必须有一个公共点。

2.直线/的方向向量

如图。在直线/上取非零向量a,设尸为/上的任意一点，贝归2SR使得

of=2a./a

定义：把与a平行的非零向量称为直线/的方向向量./"

3.与空间向量的线性运算相关的结论

(1)~AB=~OB~~O^.

(2)在平行六面体A5CD-A151GD1中，有而=瓦»+工方+无仃.

(3)若。为空间中任意一点，则

①点尸是线段A5中点的充要条件是而=；(市+市)；

②若G为AASC的重心，则皆4=上市+市+/).

易错辨析：

(1)若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量？

答：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.所以,

任意两个空间向量总是共面，而三个向量可能共面也可能不共面

(2)在平面内共线的向量在空间不一定共线？

答：在平面内共线的向量在空间一定共线

(3)在空间共线的向量在平面内不一定共线？

答：在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线

，豳解题策略

---------------------lllllilllllllllllllllllllllllllllllllllll-----------------------

1、空间向量有关概念问题的解题策略

(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模

相等是两个向量相等的必要不充分条件.

(2)空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、

相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.熟练掌握

空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关

键.

2、解决空间向量线性运算问题的方法

进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量

求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和.运算的关键是将相应的向

量放到同一个三角形或平行四边形中.

注：(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.

(2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量.

3、空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反

向量可使向量首尾相接.

(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和

向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.

4、利用数乘运算进行向量表示的技巧

(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法

则，将目标向量转化为已知向量.

(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.

5、空间向量线性运算中的三个关键点

结合图形，明确图形中各线段的几

何关系

正确运用向量加、减、数乘运算的

几何意义

平面向量的三角形法则、平行四边

形法则在空间向量中仍然成立

6、判定空间图形中的两向量共线技巧

要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量

运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量

共线.

7、证明空间三点P,A,6共线的方法

(1)-RT=XPB(AGR).

⑵对空间任一点。，~OP=~OA+fABQCR).

(3)对空间任一点。，~0P=xOA+yOB(x+y=l).

8、解决向量共面的策略

⑴若已知点P在平面ABC内，则有工产=xAB+y京或而=xOA+yOB+zOC(x+y

+z=l),然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.

(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量

的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.

9、证明空间四点P,M,A,5共面的等价结论

(1)~MP=xMA+yMB；

(2)对空间任一点O,~0P=~OM+xMA+yMB；

(3)对空间任一点。，~0P=xOA+yOB+zOM(x+y+z=l)；

(4)PM/7AB(或次〃痴或子不〃为I).

10、证明三点共线和空间四点共面的方法比较

l|Q考点剖析

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考点一：空间向量的概念辨析

例L(2023春•高二课时练习)下列命题中，正确的是().

A.若则口TB.若问>欠，则£>]

C.若Z=则口=忖D.若口=『则2=石

【答案】C

【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐一判断.

【详解】对于A;比如％=(0,0,1)&=(1,0,0),£石不相等，但同第=1,故A错误;

对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B错误；

对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确；

对于D；若£=（0,0,1）石=（1,0,0）,卜|=|4=1,但2,B不相等，故D错误；

故选：C

变式1.【多选】（2023春•福建宁德•高二校联考期中）下列说法正确的是（）

A.空间向量加与丽的长度相等

B.平行于同一个平面的向量叫做共面向量

C.若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆

D.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底

【答案】AB

【分析】利用空间向量的有关概念逐项判断.

【详解】对于A,向量福与丽是相反向量由相反向量的定义知，向量通与丽的长度相等，

故A正确；

对于B,平行于平面机的向量，均可平移至一个平行于根的平面，故它们为共面向量，故B

正确；

对于C,若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面,故C错误;

对于D,空间任意三个不共面的非零向量都可以构成空间的一个基底，故D错误.

故选：AB.

变式2.（2023春•高二课时练习）下列命题中是假命题的是（）

A.任意向量与它的相反向量不相等

B.和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小

C.如果同=。，贝!=6

D.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

【答案】A

【分析】由零向量的定义可判断AC,由向量的性质可判断BD.

【详解】对于A,零向量。的相反向量是它本身，A错误；

对于B,空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；

对于C,如果同=0,则a=C正确；

对于D,两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.

故选：A.

变式3.（2023・全国•高二专题练习）下列命题为真命题的是（）

A.若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B.若口=|力|,则入坂的长度相等且方向相同

C.若向量荏、前满足网＞|西，且而与前同向，则通〉前

D.若两个非零向量而与加满足荏+而=6,则通〃也.

【答案】D

【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.

【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误；

若H=M，贝的长度相等但方向不确定，B错误；

向量不能比较大小，C错误；

由通+丽=6可得向量而与而长度相等，方向相反，故荏〃①，D正确.

故选：D.

变式4.（2023春•高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，

终点也相同;②若空间向量斓满足口=忖，则人石；③在正方体ABCD-AgGR中，必有数=宿;

④若空间向量前几万满足正=5,n=p,则而=万.其中正确的个数为（）.

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果.

【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量

相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误；

对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但

②中向量。与B的方向不一定相同，②错误；

对于③，根据正方体的性质，在正方体ABCD-ABGR中，向量衣与向量相的方向相同，模

也相等，则前=相，③正确；

对于④，由向量相等关系可知通=行=万，④正确.

故选：C.

例2.（2023春•高二课时练习）如图所示，以长方体ABC。-44cd的八个顶点的两点

为起点和终点的向量中,

⑴试写出与羽相等的所有向量;

⑵试写出稿的相反向量;

UUUL

(3)若4B=AD=2,你=1,求向量AG的模.

【答案】⑴葩，友，配;

⑵中耶，※叫

(3)3.

【分析】（1）（2）利用长方体的结构特征，结合相等向量、相反向量的意义求解作答.

（3）由长方体的体对角线长求法，结合向量模的意义求解作答.

【详解】⑴在长方体ABCD-AgG"中，与通相等的所有向量（除本身外）有4瓦，比，而,

共3个.

（2）9的相反向量是派耶,qr,取.

（3）在长方体A8CD-44Gp中，连接AC,AG,如图,

AC2=AB2+BC2,AC；=AC2+CC；,

uuuuuir.----------------------------------------------

所以向量AG的模IAC]1=Je+BC'+CC；=A/22+22+12=3.

变式1.（2023•江苏•高二专题练习）如图所示，已知ABC。-44cA为平行六面体，若以此平

行六面体的顶点为向量的起点、终点，求:

(1)与瓯相等的向量；

(2)与瓯■相反的向量；

(3)与瓯平行的向量.

［答案］(D招,M，西；(2)空，取；(3)硒两席.

【分析】根据相等向量、相反向量和平行向量的概念求解，

(1)根据平行六面体的侧棱都平行且相等和向量相等的定义写出；

(2)连接A，，因为。6必然，所以ABC.是平行四边形，所以明必必这样就可以写出与定

相反的向量；

(3)连接C2,用类似(2)的方法可写出与平行的向量.

【详解】(1)•••平行六面体是棱柱，•••侧棱都平行且相等，

，与函相等的向量为环济西；

(2)连接A2,由平行六面体的性质可得，G&M,

ABG2是平行四边形，

BQ//AD,,与画■相反的向量为印，印.

（3）连接C2,由平行六面体的性质可得AQ&BC,

BCDM是平行四边形，

/.BA.HCD,,与丽平行的向量为平，国，斥.

变式2.（2023•江苏•高二专题练习）在平行六面体钻皿-A瓦G2中，下列四对向量：①通与

电；②患与西；③而与印；④A万与麻.其中互为相反向量的有〃对，则〃等于（）

【答案】B

【分析】根据平行六面体的几何特征和相反向量的定义即可判断.

【详解】对于①通与S，长度相等，方向相反，互为相反向量；

…UUUL

对于②AG与西长度相等，但两向量不共线，.•.两向量不是相反向量；

对于③画与乖，易知ABG2是平行四边形，则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量；

对于④M与麻，易知ADC4是平行四边形，，这两向量长度相等，方向相同.

故互为相反向量的是①③，共有2对，n=2.

故选：B.

变式3.（2023・全国•高三专题练习）如图，已知正方体ABCD-A/B/。。/的中心为。，则下列

结论中

A\

DLC

AB

①方+历与次1+打i是一对相反向量；

②而-玩1与历-丽1是一对相反向量；

③砺1+砺1+元1+加1与丽+反+而+砺是一对相反向量；

④觉-厉与灰是一对相反向量.

正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可.

【详解】设分别为和4。的中点，

①次+历=2配与西+西=2两不是一对相反向量，错误；

②瓦-/=m与反-西=而不是一对相反向量，错误；

③丽1+加1+近1+西=一反一而一两一砺=一（武+而+西+砺）是一对相反向量,正确;

④反-丽=正与诙1-两=房'不是一对相反向量，是相等向量，错误.

即正确结论的个数为1个

故选：A

„D\___________Ci

Ai

A

考点二：空间向量的线性运算

注1例3.(2023・全国•高三对口高考);卜+2石-3耳-3(万-25同=()

555-35-9

A.——a-4cB.——a+4b-2cC.——a+7b+—cD.——a-5b——c

222222

【答案】c

【分析】根据向量的线性运算求解即可.

【详解】I+2b—3c)一3(a—2b—=——^z+7Z?+—c'.

故选：C

变式1.(2023秋•高二课时练习)已知；是三个不共面向量，已知向量

a=^T-j+k,b=5r-2j-k则4商-3方=.

【答案】-13i+2j+lk

【分析】根据空间向量的线性运算求解.

【详解】■：a=^T-j+k,b=5r-2j-k,

4Zz—3b=(4x——3x5)z+(—4+6)j+(4+3)左=-13/+2/+7左,

故答案为：-13：+2了+7万

例4.(2023春•江苏淮安•高二校考阶段练习)在长方体”。-4型沦中，AB+AD+BB；

等于()

A.ACB.~ACXC.BC[D.瓯

【答案】B

【分析】根据长方体ABCD-A4ca,得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.

【详解】如图，可得莅=刷BBl=CC[,^\^AB+AD+BBX=AB+BC+CCX=AQ.

故选：B

变式1.（2023春•江苏常州•高二华罗庚中学校考阶段练习）在正方体ABCD-ABCQ中，下列

各式中运算的结果为向量西的是（）.

①（砺-附-丽②网+瓯卜和；③闻一碉-2西；④（函+羸）+函.

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】A

【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理逐项分析运算.

zuuumuuuuunuuiruunuuir

【详解】对①：（AR-AAx）-==①正确；

/Uimuuifuuuuruuu'uuuuruuu'

对②：x②正确；

对③：以｛须，而，丽｝为基底向量，

,/UumUUH\UUUTUimUUBUUUUUUULWUUUUULIUUUUUUIUUUU

贝"£>-4用-2即=-48+4£>-2441,BD,=BC+CD+DD,=-AB+AD+AA,,

uumuiExuuuruuir

根据空间向量基本定理可知：（zAD-A可-2叫*4。，③错误;

/uuumuuiixuuurzuuumuuurxuuuruuumzuuuruuurxuuum

对④：（4R+AA）+DDX=（42+0,0）+DDX=BR+（D,D+DR）=BR,④错误.

故选：A.

变式2.（2023秋•高二课时练习）根据如图的平行六面体ABCD-A宣CD,化简下列各式:

⑴荏+丽-9+西-前；

（2）AC-AC+AD-AA.

【答案】⑴荏;

（2）15.

【分析】（1）由丽=9，WD'=BC,及相反向量的定义即可求解;

（2）由向量减法法则及m=打即可求解.

【详解】（1）在平行六面体ABCD-A宣CD中，

因为丽=丽，WD'=BC,

^^AB+BB>-DrA!+WD-BC=AB+CBBr+DrD^-(BC+DrA>^=AB+6-0=AB.

(2)在平行六面体中，

因为*=而，

^]^~AC'-AC+AD-AA!=^CC-AA^+AD=^D.

变式3.(2023秋•高二课时练习)已知平行六面体ASCD-A宣CD,则下列四式中:

®AB-CB=AC；

©AC^AB+WC+CC;

③而:五；

@AB+BB'+BC+CC=AC;.

正确的是•

【答案】①②③

【分析】由平行六面体的性质，结合空间向量的线性运算可得.

【详解】AB~CB=AB+BC=AC,①正确；

AB+BrC,+CC=AB+BC+CC=AC,②正确；

由平行六面体ABC。-A宣CD性质可知，③正确；

记的中点为E,

贝I]荏+两+5?+质=而+对=而+彷=2近大/，④错误.

故答案为：①②③

A

例5.（2023春•河南信阳•高二统考期中）在斜三棱柱为BC-ABC中，BC的中点为

44=5，4A=c,则4M可用Z,瓦"表示为

.,、1-1--

【答案】~2a+2b+C

【分析】利用空间向量的线性运算可求丽.

【详解】

病=碗+3前=还+：痛=*+：(*-宿)

=一c+—]/\胃b—a一\、=——1a-+—Ifb+c->.

2、,22

故答案为：

变式1.（2023秋・山东滨州•高二统考期末）如图，在四面体。43c中，凉=＞，OB=b,加＜•点

航在。4上，且满足的'=3通5,N为3c的中点，则砺=()

1-3r1-n2f171—一1一2T1-3-1_1_

A.—a——b+—cB.——a+—b+—cC・—a——b+—cD.——a+—b+—c

242322232422

【答案】D

【分析】根据空间向量的加法和减法的三角形法则得到.

【详解】如图，连接ON,

o

____,___.3—.

•/OM=3MA,OM=-OA,

4

——►—―.1—.1—►3—.31-1

MN=ON—OM=一。5+—OC—二。4=一二商+±〃+"

224422

故选：D.

变式2.(2023春•江苏淮安.高二淮阴中学校联考阶段练习)四面体O-ABC中，OP=3PA,Q

是BC的中点，M是尸。的中点，设次=小OB=bOC=c,则两=()

A1-1r1一3-1r1-

A.—a+—b+—cB.-ClH—bH—C

466444

31一1111

C.-a+-b+-cD.—a+—br+—c

844344

【答案】c

【分析】利用空间向量的基底表示由，西,再利用向量线性运算求解即可.

__,q___

【详解】因为中=3氏m=-OA,

因为。是8C的中点，所以诙=；(赤+玄)，

因为“为PQ的中点，=-(OP+OQ)=-OP+-OQ=-OA+-(OB+OC)=^a+^-b+^-c,

22284844

故选：c.

变式3.（2023春•江苏徐州•高二统考期中）如图，在平行六面体ABC。-A4GA中，P是CA的

中点，点。在CA上，且CQ:O4=4:1,设衣=£,AD=b,则（）

3-33-7-77-

A.QP=——a-\----b7-\-----cB.QP=——aH-----br------c

101010101010

3-33-1一11一

C.QP=——a-\----br------cD.QP=——a-\----brH------c

101010101010

【答案】C

【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.

【详解】因为P是的中点，

所以Q=J可+宿=g（丽+而+砌=；（£+5+合,

又因为点。在*上，且CQ：OA=4：I,

所以而=可+硕=丽+?而=丽+2（而-可）=|■记麻

T荏+砺）+）=/+/+?,

_____,__.1一一一1一1一4f3-3一3一

^^QP=AP-AQ=-{a+b+c）--a--b--c=—a+—b-—c,

故选：C.

例6.（2023秋・辽宁鞍山•高二鞍山一中校联考期末）在四面体ABCD中，E是棱8的

中点，且屉=*而+＞衣+2而，则x+y+z的值为.

【答案】0

【分析】利用空间向量加减法法则，把屁用荏而表示出来，即可求出结果.

D

E

c

［详解］jZ----------\-r~/

XTB

如图所示，因为E是棱8的中点，

所以丽=［而+：就=；（而一通）+；（玄一丽）=_丽+；蔗+；亚，

贝ljx=_l,y=g,z=g,

所以x+y+z=O,

故答案为：0.

变式1.（2023秋•安徽宣城•高三统考期末）四棱锥P-ABCD中，底面A3CD是平行四边形,

点E为棱PC的中点，若醺=x15+y而+z正，则x+y+z等于（）

A

35

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】A

【分析】运用向量的线性运用表示向量霹=g通+g而+；Q,对照系数，求得％y，z,代入可

得选项.

【详解】\i\^jAE=AB+BC+CE=AB+Ab+EP=AB+Ai5+（JP-AEy

所以2衣=通+；W+Q,所以M荏+：和+：修，所以x=J,y=；,z=：,

乙乙乙乙乙乙

匚匚91113

^fil^x+y+z=-+-+-=-,

故选：A.

变式2.（2023春•高二课时练习）如图，在正方体ABB-ABCQ中，点E是上底面A4GA的

中心，若AE=mAB+nAD+AAi)求"4"的值.

【分析】根据向量的线性运算即可求解.

【详解】因为点£是上底面4gGA的中心，

所以率=gpx+m）=；（荏+而）=：通+。赤,

又因为丽+/=荏，

所以荏=3存+g而+丽,

所以根=77=J,

考点三：空间向量共线问题

（-）空间向量共线的判断

例7.（2023•江苏•高二专题练习）下列向量中，真命题是.（填序号）

①若A、B、C、。在一条直线上，则血与而是共线向量；

②若A、B、C,。不在一条直线上，则而与而不是共线向量；

③向量羽与诙是共线向量，则A、B、C、。四点必在一条直线上；

④向量演与前是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上.

【答案】①

【分析】由向量平行共线的定义，依次对四个命题判断即可.

【详解】对于①，若A、B、a。在一条直线上，则加与国是共线向量，故①正确；

对于②，若a、B、C、。构成平行四边形时，A、B、C、。不在一条直线上，但是福与丽是

共线向量，故②不正确；

对于③，若A、B、C、。构成平行四边形时，A、B、C、。不在一条直线上，但是祢与诙是

共线向量，故③不正确；

对于④，若4B、C、。构成平行四边形时，A、B、C不在一条直线上，但是羽与而是共线

向量，故④不正确；

故答案为：①

变式1.（2023春•高二课时练习）如图，正方体ABCD-ABGR中，。为4c上一点，且郎=（荏，

3。与AC交于点求证：三点共线.

【答案】证明见解析.

【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求国，痂的关系，即可推理作答.

【详解】在正方体中，令羽=£,而=反常=,

___2__.

AO=-^C,3。与AC交于点“，即点”是AC的中点，

^■^MO=MC+W=-AC+-CA=-AC+-(AA^-AC)=-AC+-AA

23l2363l

1—►—►1——►1-1一1一

=-(AB+AD)+-AA=-a+-b+-c,

63,663

MCi=MC+CCi=^AC+A^=^(AB+AD)+A^=^a+^b+c,

因此西=3砺，即函7/诟，而直线"G与直线MO有公共点M,

所以G，QM三点共线.

变式2.(2023•江苏•高二专题练习)已知0、A、B、C、。、E、F、G、H为空间的9个点

(如图所示)，并且砺=左次，OF=kOB,OH=kOD,AC=A5+mAB,EG=EH+mEF.求证：

AC//EG.

o

【答案】证明见解析.

【分析】根据题意，由向量的线性运算可得丽=即可得到证明.

【详解】-：OE=kOA,OF=kOB,OH=kOD,

EG=EH+inEF=OH-OE+m[bF-OE^

=k（0D-OA^+hn（0B-OAj=kAD+kmAB=k^AD+mAB^=kAC,

AC//EG,

因为AC、EG无公共点,故AC//EG.

例8.（2023春•福建莆田•高二校考阶段练习）已知不共线向量，，W9=1-2晟+小

司=-5：6最+4。砺=71+25_2。则一定共线的三个点是（）

A.O,P,QB.P,Q,R

C.O,Q,RD.O,P,R

【答案】D

【分析】根据平面向量共线定理分别判断配①，QR,PQ,OQ,QR,丽苑四组向量是否共线,

即可得解.

【详解】若成〃而，则存在唯一实数九使得加=几用,

即G—26+6=2(-5,-6^+41)9

1=-52

所以卜2=-6"无解，

1=42

所以丽，地不共线，则。尸，。三点不共线,

若丽〃而，则存在唯一实数X使得宓=几用,

即7G+2e?—2e：=A(-5q-6e?+4q),

7=-5A

所以＜2=-6"无解,

-2=42

所以灰，而不共线，则P,Q,R三点不共线，

OQ=OP+PQ=-4q—8e2+5e3,

若而〃诙，则存在唯一实数九使得丽=4弧，

即-^4^|-8e,+=4(7q+2e,-2q),

-4=72

所以-8=2"无解，

5=-22

所以丽，加不共线，则。，。，尺三点不共线，

PR=PQ+QR=2gj—4e2+2e3=20P,

所以中〃而，

又点尸为两向量的公共端点，所以。，尸，尺三点共线.

故选：D.

变式1.(2023春•高二课时练习)如图，已知M,N分别为四面体A-3CD的面BCD与面ACD

的重心，G为AM上一点，且GN：G4=1：3.求证：B,G,N三点共线.

【答案】证明见解析.

【分析】由空间向量的共线定理证明，

【详解】证明：取CD的中点E,连接AE,BE,

A

因为M,N分别为四面体A-BCD的面DCD与面ACD的重心,

所以般在BE上，N在AE上，

设AB=a,AC=b,AD=c,

因为M为△BCD的重心，

所以加=方+加=而++:^町

=AB+|(BC+BD)

=AB+^(AC-AB+AD-AB)

=^AB+AC+AD]=^a+b+^

因为GA/=G4=1:3,所以而=—Z而，

4

^\)XBG=BA+AG=BA+^AM=~a+^a+b+c)=-^a+^b+^c,

\s]^^BN=BA+AN=BA+^(AC+AD)=-a+^b+^c=^BG,

'.BN//BG.

又BNcBG=B,

•••B,G,N三点共线

（-）由空间向量共线求参数值

在1例9.（2023春•高二课时练习）对于空间任意两个非零向量£,b,

“Z〃厂是“夕@=0”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分和必要条件的定义法，再结合共线向量的定义即可求解.

【详解】显然他犯=0能推出£〃巩但包括向量Z,B同向共线和反向共线两种情况，

即当时，得（痴）=。或兀,

因此推不出（痴）=。,

故“3〃是“口@=0”的必要不充分条件.

故选：B.

变式1.（2023春•高二课时练习）若空间非零向量录高不共线，则使2痴-1与[+2,+1用

共线的左的值为.

【答案】-；/-0-5

【分析】由题存在实数丸使得2叱+2（左+1）可，解相应方程可得答案.

【详解】由题意知，存在实数2使得2苗-贰=%5+2（左+1）臼，

即3[2k（=2A）=一产叱,+妹+1=0,解得一1,

故答案为：

变式2.（2023春•高二课时练习）设„是空间两个不共线的非零向量，已知血=2冢+砥'，

配=1+3政，成=24-耳，且A,B,。三点共线，求实数上的值.

【答案】-8.

【分析】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答.

【详解】因为皮=冢+3z，DC=2ex-e\,则有而=配+赤=0+31）一（21）=-冢+4最，

又A,B,。二点共线，于是A5=45。，即2q+左4=4（-G+44）,而弓,与不共线，

f2=-2

因此（7/1，解得左=-8,

K=4/

所以实数上的值是-8.

变式3.（2023春•高二课时练习）设耳，或是两个不共线的空间向量，若丽=21旦，前=31+34,

阴=之+点，且A,C,。三点共线，则实数左的值为.

【答案】j/0.4

【分析】由向量加法得庶=5冢+2区，由A,C,。三点共线得2-5%=0,即可求

【详斛】•AB=2q-弓，BC=3e1+3e2,CD=ex+ke2,

：.AC=AB+BC=5^+2^,又TA,C,。三点共线，AAC//CD,

2

.,・2—5左=0,・,・左二1.

7

故答案为：j.

（三）空间共线向量定理的推论及其应用

△1例10.（2023春•高二课时练习）已知A、B、P共线，。为空间任意一点（。、A、8不

共线），且存在实数a、p,使中=&为+夕诙，求&+£的直

【答案】"=1

【分析】分析可知存在meR使得西=山前，利用空间向量共线的基本定理可求得a+£的值.

【详解】因为A、B、P共线，则存在〃zeR使得西=加衣，即西-无=加（砺-讯），

所以，OP=（l+m）OA-mOB,

又因为丽=a函+月砺，贝［］（z+£=（l+m）_机=1.

变式1.（2023•江苏•高二专题练习）在正方体ABCD-ABC■中，点E在对角线。8上，且

四同=；忸同，点R在棱RG上，若A、E、R三点共线，则|。同=\FQ\.

【答案】1/0.5

【分析】设阳=4怛G|,可得屏=!取+??炉，根据A、E、R三点共线即可求得.

44A

【详解】因为正方体中，取=取+屈=取+而,

设|。闺="端，又|2目=；阿I，

___►___►2+1►___►1__►2+1►

所以4RE=DXA+D1F,BPD1E=-D1A+RF,

因为4、E、/三点共线，所以1+竺1=1,解得即|。闵=（恒（4

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