2025年高考数学一轮复习：空间向量和立体几何15（含解析）

空间向量和立体几何高考复习专题十五

知识点一证明线面垂直，线面垂直证明线线垂直，线面角的向量求法

典例1、如图，在三棱柱/BC-48C中，/4,平面A5C,AB1BC,A4=4B=BC=2.

(1)求证：平面44J

(2)记4c和8G的交点为必，点N在线段43上，满足MV〃平面4』CC1,求直线NG与

平面48c所成角的正弦值.

随堂练习：如图，在三棱柱NBC-48G中,

AC1BC,BXC1AB,AAX=AB^^2,AC=1,ABXAC=45°,F是4c

的中点.

(1)证明：ACLBBX.(2)求4尸与平面/CG4所成角的正弦值.

B

典例2、在直角梯形/BCD中，ZABC=90°,BC//AD,AD=4,AB=BC=2,〃为线段

中点，将“3c沿/C折起，使平面4BC/平面/CD,得到几何体3-ZCD.

(1)求证：48/平面3cD；(2)求直线与平面8GW所成角的正弦值.

DA

随堂练习：如图，在四边形四切中，BC=CD,BCLCD,ADLBD,以劭为折痕把劭

折起，使点N到达点夕的位置，且PCLBC.

(1)证明：阳，平面86»；

(2)若〃为阳的中点，二面角P-%-〃等于60°,求直线夕。与平面加9所成角的

正弦值.

C

知识点二证明线面平行，求组合体的体积

典例3、如图所示，在直三棱柱NBC-48G中，〃是4的中点.

(1)证明：8C"/平面4。。；

(2)设A4=AC=CB=2,4B=2e,求三棱锥4-4DC的体积.

随堂练习：已知四棱锥Z-5CE尸中，BFUCE,CEL平面/3C,点M为/E三等分点(靠

近A点)，AB=BC=CE=3,BF=1,AC=343.

(1)求证：9//平面N3C；(2)求三棱锥W-N5尸的体积.

E

M

C

B

典例4、如图，已知在长方体/3CO-44G2中，DA=DC=2,Z肛=3,点£是2c的中

点.

(1)求证：平面飒2；(2)求三棱锥。-引”的体积.

随堂练习：如图，在四棱锥尸-/3CO中，△尸是边长为2的等边三角形，梯形/BCD满

足BC=CD=1,AB//CD,AB1BC,M为/尸的中点.

(1)求证：DM〃平面P3C；(2)若PD=2,求三棱锥C-P4。的体积.

P

典例5、如图所示，在直三棱柱/3C-44c中，AC1BC,eq=3A/3,BC=3,ZC=2若

(1)当月为4c的中点时，求证：43/平面/P£；

(2)当/尸，尸q时，求三棱锥尸—CG的体积.

随堂练习：如图，在三棱柱NBC-48c中，侧棱平面/3C,AC=3,AB=5,BC=4,

“4=4,点。是的中点.

(1)求证：/G〃平面。片；(2)求三棱锥。-44G的体积.

典例6、如图，在四棱柱居CD-44CQ中，点〃是线段8山上的一个动点，E,6分别是

3C,CM的中点.

(1)设G为棱C。上的一点，问：当G在什么位置时，平面GE尸〃平面

(2)设三棱锥C-BZ2的体积为匕，四棱柱/BCD-44G2的体积为匕，求%

随堂练习：已知正三棱柱N8C-&SC中，AB=2,M是4G的中点.

(1)求证：/£〃平面49；

(2)点P是直线/£上的一点，当与平面43C所成的角的正切值为2时，求三棱锥

P—S的体积.

空间向量和立体几何高考复习专题十五答案

典例1、答案：（1）证明见解析（2）B

3

解：（1）证明：：在三棱柱ABC-44G中，融J平面ABC，因为ZBu平面ABC,^BBtlAB,

因为4B13C,BBQBC=B,所以431平面BCC4,

,/8。u平面BCJBi,/.AB1BCX,因为〃AXBX,所以4囱1BCX,

因为24=43=8。=2,故四边形为8CG为菱形，故

4gAB\C=,：.BQ1平面4及C

（2）由MV//平面4/CG，MVu平面3/£,平面2/©c平面Z/CG=&G,

故MN//AC，又〃为垢中点，故N为网中点.

以8为坐标原点，分别以前，瓦I画为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

则N(0,1,1),G(2,0,2),5(0,0,0),4(0,2,2),C(2,0,0)

数=(2,0,0),34=(0,2,2),设平面43c的法向量而=(》//),

x=0

BC->n=0

取㈠=7,

BA-m=0

Xz=1

又函=(2,-i,i),设直线NG与平面4BC所成的角大小为e,

I莺同2一百

则sin^=cos(7VC19m

|而,丽|V6-V23

即直线Nq与平面43c所成角的正弦值为

3

随堂练习：答案：(1)证明见解析(2)4

5

解：(1)取中点为C,连接用G,CG,在中，根据勾股定理可得8c=1=/C,因

止匕CGLZ3,

而已知4。，N8,CG口4C=C,，平面4CG,

/.AB1Bfi,/.AB[=BB[=44]=6；；ABXAC=45°,AC=1,

由余弦定理可得耳c=JAB：+-2AB『CC•cos45。=1,AB^=AC1+B.C1,

因此AC1B1C,-：AC1BC,BCcB©=C,:.AC1平面BBgC,

而Bqu平面:.ACLBB-

(2)由(1)得，AC1B.C,又耳。_1_/8,/。口/3=4，4。，平面43。，

故以。为坐标原点，C4CB,C4分别为x,、z轴建立如图空间直角坐标系,

则：41,0,0),5(0,1,0),C(0,0,0),片(0,0,1),尸,0,。］,

AC=(-1,0,0),西=BBt=(0,-1,1),

r,1衣.万=_尤=0

设平面/CC/1的法向量为五=（x,%z）,人［西方=_y+z=0

令z=l,可取力=(0,1,1),又病=1；,0,1

所以B}F与平面ACC/所成角6的正弦值

sin0=cos〈_PS],n）\=~r——广-------

11期何亚行5

2

典例2、答案：（1）证明见解析（2）e

3

解：（1）证明：在直角梯形/BCD中，ZABC=90°,AD=4,AB=BC=2,

AC=CD=2y/2,：.AD2^CD2+AC2,从而CD_L/C

又平面平面/CD,且平面/BCc平面/CD=/C

CD,平面Z5C,ABu平面/5C,CDLAB.

又AB，BC,且8CcCD=C,/.ABBCD

（2）取NC的中点0,连接。8,

由题设知A/IBC为等腰直角三角形，

又平面/3C1平面/CD,且平面平面ZCD=/C,OB1ACM

连接OM,因为〃，。分别为/。和/C的中点，.•.（WaCD

由（1）可知。以0Moe,08分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐

标系，

则力仅立亚,0）,3（0,0,⑹，C（0,V2,0）,M（V2,0,0）,

:.CB=(O,-近，吟,CM=(V2,-V2,0),而=仅①衣-匈

ri'CB=-41y+V2z=0A…

设平面BCM的法向量为n=(x/,z),贝小心碗=瓜_6=0'々x=l'川

〃=(1,1,1)

IUULU'I'

/uurr-\BD-n2V2V2

设直线与平面3cM所成角为3,sinO=cos(BD,n|UUT|iri=—j=---7==--

网A2G3

故直线皿与平面曲所成角的正弦值为争

随堂练习：答案：⑴证明见解析⑵T

解：(1)*:BCLCD,BCLPC,且wna?=c,.•.比二平面夕功,

又PDU平面PCD,...BCVPD.

■:PDLBD,BD^BC=B,，774平面9；

(2)'：PCVBC,CDLBC,.•.N9是二面角0-80-〃的平面角，则NP<2?=60°,

因此PD=C»tan60o=VJc。，取劭的中点。，连接M0C,

由已知可得(M0C,①两两互相垂直，

以。为坐标原点，分别以OC,0D,加所在直线为X,y,Z轴建立空间直角坐标

系，

设如=1,则夕(0,1,V6),。(1,0,0),D(0,1,0),〃(0,0,如)，

2

__([7\

C?=(-1,1,V6),丽=(-1/,0),CM=.

设平面JO的一个法向量为力=(x,了，2),

nCD=-x+y=0

由，_—.屈,取Z=0,得"=(百，百，行).

n-CM=-x-\--z=0

2

CPnV3

cos<兀CP>=

PH4-

故直线PC与平面就刀所成角的正弦值为3.

4

典例3、答案：（1）证明见解析（2）f.

解：（1）连交4c于O,则。为ZG的中点，连。。，

因为。为的中点，所以8//8G，因为8G<Z平面4C。，OOu平面4CD,

所以BC"/平面4cA.

(2)因为NC=8C=2,AB=26,所以/炉=ZC2+5C。，所以“C」8C,

所以〃TeoS〃8C=；X2X；X；X2X2=：.

随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）立

4

解：（1）取力。三等分点N,

所以“N=；ZC=g,AM=^AE,MNHEC又因为MV=；CE=1,BF/ICE,

BF=19

所以MN//BF&MN=BF,所以四边形MV既为平行四边形,

所:以FM"BN,又好/0平面ABC,瓦Vu平面48C,即W〃平面48c.

⑵因为"为/E三等分点，tUVM-ABF=|VE-ABF=|VA-BEF）

BF//CE,CE_L平面/3C,平面班F_L平面Z5C,

且平面8跖I平面/3C=BC,过点A作3C的垂线交BC延长线于“，如下图所

示：

由线面垂直的性质有AHL平面BE尸,

所以点A到平面8跖的距离为记N〃=/z,

9+9-271

因为Z5=BC=CE=3,BF=1,AC=343,cosZABC=-----------

2

所以加C4,h=AB%=当,S"U，

VJr/_1T/_1„,13373_V3

VM-ABF=~^E-ABF=~^A-BEF='°/=§X5X——二彳

即三棱锥M-ABF的体积为1.

4

典例4、答案：（1）证明见解析（2）1

解：（1）因为四边形四口为矩形，且/"助=。，则。为M的中点,

又因为£为81的中点，则OE//4D],平面砌2,。£<=平面庞ft

因此，“2〃平面圾7；

(2)在长方体/BCD-44GA中，8C」平面CDAG,

xx

因it匕，VD「BDE=—B-DD声=1SaD\DE,BC=Jf—xl3Jx2=l.

随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）3

解：（1）取8尸中点N,连接MN,CN,易得跖V〃/3且跖V=；/B=l,又AB//CD,CO=1,

靴MN"CD,MN=CD,则四边形C/MW为平行四边形，则DW〃QV,

又。平面尸3C,CNu平面尸5C,则DW〃平面P5C；

（2）取N8中点。，连接。O，P0,则又DCHBQ,DC=BQ,

则四边形DQ3C为平行四边形，则OQ=BC=1,

PQ72T=也，又9。=2,DQ2+PQ2^PD2,则

又ZB,。。＜z平面48cD,ABcDQ=Q,

则尸01平面”8,又CDLBC,S^ACD=\-CD-BC=~,

则%,3=1尸。4"°=；x百x；=f.

3326

77

典例5、答案：（1）证明见解析（2）T

解：（1）连接4c交NG于。点，连接。尸，因为NBC-43c为棱柱，

所以四边形/CQ4为平行四边形,

所以。为4c的中点，又尸为耳C的中点，所以。尸〃4片,

因为OPu平面/尸G,4耳a平面/尸。所以4片〃平面/尸。..

(2)因为/BCF4G为直棱柱，所以CCJ平面”C,/Cu平面/8C,所以

CCXLAC,

XACIBC,8c交CG于。点，8C,cqu平面6CCS,

所以NC,平面8CG4，同理BC」平面/CCd，

又G尸u平面BCCR,所以/C，Cf,

因为NPJ_C]尸，ACHAP^A,AC,/Pu平面/C4,

所以G尸，平面/sc,4。<=平面/8（,所以G尸，4c

在直棱柱/BC-44G中.3。=3,CG=36，则4c=6,

jr933

所以/CCA=：,CP=CC]COSNCICBT=F贝!=K所以C尸二：CA，

o224

33127

/所/1以/、/右一dACdC[=4~VZB>]-AylCC]=4i_3SZ“xdcCCcj.BC=——4.

又S“CG=；x2Vjx30=9,3C=平面NCG4，BC=3

33127

%-4cc\=4七-/eq=HSMCC'BC=—.

随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）4.

解：（1）证明：设M与C/的交点为£,连接。E,

,.,D是的中点，£是3G的中点，.'.DE〃月G，

,.•DEu平面C。片，NGO平面CD用，.•./5〃平面CD4.

（2）取ZC的中点可，连接DM,C、D,

直三棱柱4BC-4BG中，441，平面48C,而BCu平面MC,^BCLAAX,

为的中点，：.DM//BC^,DM=^BC=2.

又•.,BCL/C,BC±AA1,AC^AAX=A,，8C1平面4CC/j,.•.£）河工平面

ACCXAX.

1111

=-AAAC=-x4x3=6V_=-DM-S^=；x2x6=4.

Azl/iiV-1cr1111lcfUD171A/1]A5CC△ziziicIc

典例6、答案：（1）。为CO中点时，平面G跖〃平面（2）；

解：（1）G为C。中点时，平面GEF〃平面

理由如下：连接8W,取CD