函数的概念及其表示方法-2026高考数学一轮复习（提高版）解析版

第二章基本初等函数

第7讲函数的概念及其表示方法

链教材夯基固本

激活思维

2.(人A必一P72习题T2改)(多选)下列各组函数是同一个函数的是(AD)

A.f^x)=x2-2x—1与g(s)=$2_2s-]

与8(%)=^1

x

C.以)=x2与g(X)=(MX)4

3

D.7(x)=x2与g(x)=G

3.(AA必一P72习题Tl(4))函数v=也三两定义域为(-8,i)u(l,4].

X~1

»八』t|x(x+4),x20,

4.(人A必一P101复习参考题T7改)已知函数於)=•则次t1)+八一3)

忒%—4),x<0,

=26.

【解析】由题意得火1)=5,次-3)=21,所以人1)+八-3)=26.

5.(人A必一P69练习T3改)给定函数Xx)=—x+l,ga)=(x—l)2,x£R,冽(x)=min{/(x),

,x+1,X£(—8,O]U[1,+8),

g。)｝，则m(x)=_-

一(%—1)2,x£(0,1)

【解析】由一X+1W(%—1)2,得N—X2O,解得xNl或xWO.又冽(x)=min{/(x),g(x)},

—x+1,x^(—°°,O]U[1,+°°),

所以m(x)=

(X—1)2,x£(0,1).

聚焦知识

1.函数的概念及表示

设N,8是两个是空一的实数集,如果按某个确定的对应关系/,

使对于集合N中的每一个元素x,在集合2中都有_唯一一的元素

y和它对应，那么称/：8为从集合/到集合2的一个函数，

概念

记作y=Ax),xW4其中将所有的输入值x组成的集合/叫做函

数产布)的_定义域」将所有的输出值y组成的集合叫做函数的

_值域—

(1)函数的三要素：_定义域_、一对应关系_、_值域:

三要素(2)如果两个函数的一定义域一相同,并且一对应关系一完全一致,

那么这两个函数为同一个函数

表示

(1)解析法(2)列表法(3)图象法

方法

注意：

(1)直线x=a与函数y=/(x)的图象至多有1个交点.

(2)在函数的定义中，有两个非空实数集4,B,/即为函数的定义域，值域为3的子

集.

2.分段函数

若一个函数的定义域分成了若干个子区间，且每个子区间的解析式不同，则这种函数称

为分段函数.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于

各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.

3,定义域的求法

(1)分母不为0;偶次根式被开方数非负；零指数幕底数不为0；实际问题有意义；对

数的真数大于0,底数大于0且不等于I；

(2)复合函数的定义域：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同.

研题型素养养成

举题说法

目帧U对函数概念的理解

例1(1)已知集合M={x|0WxW4},N={x|0WxW2},以下从M到N的对应法则/是

函数的是(A)

A.f：x^y=\[xB.f：x~^y=x2

C.f：x^y=\x\D.fx^y=x-1

【解析】对于fX—>=4，对任意的％£〃={x|0WXW4},在N={x|0WxW2}中都存

在唯一确定的元素与之对应，满足函数定义，A正确；对于/：x^y=x2,当％=4时，在N

={x|0WxW2}中无元素与之对应，不满足函数定义，B错误；对于/：x^y=\x\,当％=4时，

在N={x|0WxW2}中无元素与之对应，不满足函数定义，C错误；对于/：x-^y=x—l,当x

=4时，在N={x|0WxW2}中无元素与之对应，不满足函数定义，D错误.

(2)已知集合4={x|0WxW4},集合5={x|0WxW2},下列图象能建立从集合4到集合

5的函数关系的是(D)

41

【解析】对于A,存在点使一个％与两个p对应，不符合，排除；对于B,当2VxW4

时，没有与之对应的外不符合，排除；对于C,》的范围超出了集合5的范围，不符合，

排除；对于D,满足函数关系的条件，正确.

变式1(1)已知集合4={x|0WxW2},5={x|0〈xWl},下列能表示从4到5的函数

的是(A)

n=

A.f：x-y,)=13JB./ixfy,y2x

C.f：x-y,j=2xD./ix—y,y=x

【解析】由集合/={x|0WxW2},5={x|0<x<l},对于A,若/■:x-y,>=0",则

集合/中任意元素，在集合3中都有唯一的元素与之对应，所以可构成集合/到B的函数,

符合题意；对于B,若/：xfy,y=2x,则集合/中的元素2,在集合2中没有元素与之对

应，所以不能构成集合N到3的函数，不符合题意；对于C,若/：x-y,y=2。则集合N

中的元素2,在集合2中没有元素与之对应，所以不能构成集合/到2的函数，不符合题

意；对于D,若/:»>=x,则集合4中的元素2,在集合5中没有元素与之对应，所

以不能构成集合4到5的函数，不符合题意.

(2)(2024•益阳检测)(多选)下列说法正确的有(BC)

1,x>0,

函数抬尸团与〃)

3=0,x=0,表示同一个函数

—1,x〈0

B.函数i\x)=x2—2x+2与〃(£)=卢一2/+2是同一个函数

C.函数》=加)的图象与直线x=2025至多有一个交点

D.已知函数於尸归一“一》,则

1,x>0,

【解析】对于A,«x)=区=因为两函数的定义域不相同，故不是同一

X—1,x<0,

个函数，故A错误；对于B,函数依)=/—2x+2与“⑺=户-2/+2定义域相同，解析式

一致，所以是同一个函数，故B正确；对于C,根据函数的定义可知，函数y=/(x)的图象

与直线x=2025至多有一个交点，故C正确；对于D,因为=1|一x,所以U=I2R

U=o,则优1a=1。—1L。=1，故D错误.

目帧回函数的定义域

例2(1)函数/U)=4L+(x—1)。的定义域为+8).

\3x—2

【解析】要使函数有意义，则・‘解得工〉？且xwi,

3x21/0,3

因此函数次x)的定义域为l)u(l,+-).

(2)若函数y=/"+1的定义域为R,则实数。的取值范围是(D)

4办2—4办+2

D.

【解析】由题意知，a/—4ax+2>0的解集为R.当。=0时，2>0恒成立，满足题意;

当。力0时，?>0,解得0<。<1综上，实数。的取值范围是］0'2

U=16a2-8a<0,2

(3)已知函数加+1)的定义域为(一5,0),则/(2x—1)的定义域为(B)

1，1〕

A.(-4,1)BI2J

C.(-9,1)D.I2J

【解析】因为函数次x+1)的定义域是(一5,0),设/=x+l,所以/e(—4,1),则人才)

的定义域为(-4,1),所以2x—ie(—4,1),解得2,I.

<总结提炼A

函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式>=外)，而没有指明它

的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数X的取值集合.

变式2(1)若函数｛x)=正巨的定义域为则M=(D)

M-3

A.[2,+oo)B.(3,+8)

C.[2,3)D.[2,3)U(3,+^)

【解析】由已知得2*°'解得xN2且xW±3,即函数«0=正£的定义域为

|x|—3^0,|x|—3

M=[2,3)U(3,+8).

(2)若函数人x)的定义域为[—2,4],则夕=空©的定义域为(D)

X—1

A.(1,8]B.[-4,1)U(1,8]

C.(1,2]D.[-1,1)U(1,2]

—2W2xW4,

【解析】由题意得・解得一1WxW2且xWl.

X—1W0,

3_____

(3)已知函数的定义域为R，则实数。的取值范围是(B)

A.[0,2]B.[0,8)

C.(0,8]D.(0,8)

【解析】因为函数的定义域为R,所以办2+QX+2Z0在上恒成立.当。=0时，

4二2+"+2=2£0满足要求；当“W0时，要满足/=层一8QV0,解得0VQV8.综上，OWQ

＜8.

目龊]函数的解析式

例3(1)已知上+l]=lgx,求加)；

【解答】(换元法)令4+1=伞＞1),则》=」，所以/(a=lg-,所以於)=lgq(x

XZ—1t—1X-l

>1).

(2)已知於)是一次函数，且满足邪+1)—@-l)=2x+17,求/)；

【解答】(待定系数法)设兀v)=tix+6(aW0),则y(x+l)—2/(x—1)=3ax+3a+36—lax

+2。-26=ax+6+5a=2x+17,所以a=2,b=7,所以/(x)=2x+7.

(3)己知兀0+W—x)=3x2—x,求於).

【解答】由j(x}+2/(—x)=3x2—x,得/(—x)+2/(x)=3x2+x,所以

/(x)+2/(-x)—3x2—x,

解得兀V)=x2+x.

f{-x)+2f[x}^3x2+x,

＜总结提炼A

函数解析式的求法：(1)凑配法：由已知条件｛g(x))=F(x),可将网x)改写成关于g(x)

的表达式，然后用x替代g(x),便得人x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如

一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法.(3)换元法：已知复合函数/(g(x))的解析式，

可用换元法，即令/=g(x),反解出x,代入原式可得人/),改写即得｛x),此时要注意新元的

取值范围.(4)方程思想：已知关于危)与/&1或八一工)等的表达式，可根据已知条件再构造

出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出於).(5)赋值法：给变量赋予某些特殊值，

从而求出函数解析式.

变式3(1)已知二次函数小)满足次2x)+加一1)=10/—7%+5,求烦1));

【解答】设/(x)=qx2+bx+c(QW0),因为/(2x)+y(x—1)=10x2—7x+5,所以4QX2+26X

+c+a(x—I)2+b(x—1)+c=Sax2+(36—2a)x+a—b2c=10x2—7x+5,所以

5。=10,。=2,

.36—2Q=—7,解得力=—1,所以")=2N—x+1,所以次1)=2—1+1=2,所以

a-6+2。=5,c=l,

A/(1))=A2)=2X4-2+1=7.

(2)已知於)+JJ=3x—2,求人x).

AX)+=3%—2①，

【解答】由题意得田&由①一2X②，得一力(x)=3x—2—§+

/U+如尸2②，"

x

4=3x--+2,所以於)=2_%_2,xe(-oo,o)U(O,+8).

xx3

目顿召分段函数

/+],xW0,

例4(1)设函数—)=<'''若次。)=1,则-=J)或

Inx,x>0,

【解析】当aWO时，次〃)=层+1=1,解得。=0；当。>0时，/(q)=lnq=l,解得。

=e.

(2)(2024•苏州期中)给定函数/)=/—2,g(x)=-5+1,用M(x)表示函数4)，g(x)

中的较大者，即M(x)=max伏x),g(x)},则M(x)的最小值为(C)

C.-D.2

4

1a

【解析】令"g(x),即A2-x+l,解得』2或X『令於)<g(x),即N

1Q

—2V——x+1,解得一2<x<一.综上可知，M(x)=

22

「—3十_L8]]

x2-2,(-oo,-2]UL2，J,

'i「一22作出M(x)的图象如图所示(图中实线部分)，由

—x+1,，2J,

2

图可知M(x)的最小值为:

(例4(2)答)

〈总结提炼A

(1)根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应

的解析式代入求解.

(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或取值范围时，应根据每一段的解析式

分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的取值范围.

x+2,xWO,

变式4(1)已知函数小)=1+工x>o,若加。))=2,则。=(D)

.x

A.0或1B.一1或1

C.0或一2D.一2或一1

【解析】令八0)=7,则人。=2,可得，=0或1=1.当/=0时，即/(a)=0,显然aWO,

因此a+2=0,解得。=一2；当/=1时，即人a)=l,显然aWO,因此a+2=l,解得。=

一1.综上所述，a=—2或一1.

(2)(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数外)=

1,xdQ,

•称为狄利克雷函数，则关于函数人X)的叙述正确的有(BD)

,0,xGCRQ

A.函数y=/(x)的图象是两条直线

D.VxeR,都有火l—x)=/(2+x)

【解析】对于A,函数y=/(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，故A错误.对于

B,当x为有理数时，40=1,所以加x))=/(l)=l；当x为无理数时，於)=0,用a))=/(o)

=1,故B正确.对于C,/(73)=0,火1)=1,所以H1)＞人3),故C错误.对于D,由题意，

函数的定义域为R,且八—x)=Ax),所以负x)为偶函数.若x是有理数，则x+T也是有理

数；若x是无理数，则x+T也是无理数.所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理

数T,火x+O=/(x)对WvGR恒成立，故/(x+2)=Ax)=A—x)=/(l—x),所以VxWR,都有加

-x)=fl2+x),故D正确.

随堂内化

函数人的二3二2的定义域为(

1.C)

x+1

A.[-2,2]

B.(—8,-1)U(-1,2]

C.[―2,—1)U(—1,2]

D.(-2,2)

【解析】要使得函数有意义，贝U4—N20且x+lWO,解得xd[—2,-1)U(-1,2].

,!/(/-(x+5)),x<10,j士，

2,设n加)=•则八9)的值为(B)

2x~15,x210,

A.9B.11

C.28D.14

【解析】X9)=X/(14))=X2X14-15)=X13)=2X13-15=11.

3.已知函数y=/(x)的定义域为[—8,1],则函数g(x)=心土口的定义域是

x+2

【解析】由题意得一8W2x+1且x+2W0,解得一且xW—2,故函数g(x)

-_9_2〕

的定义域是12'Ju(-2,0].

4.设段)为一次函数，且加x))=4x—1.若次3)=—5,贝的©)=_—2x+l-

【解析】设八工)=而+6,其中左W0,则曲))=-fcv+b)+6=Fx+(祐+6)=4%一1,

无2=4,[k=~2卜2，

所以，解得，或入_1当左=—2时，/(%)=—2x+l,此时

\kb+b=~li\b=lp-]

117

{3)=—5,符合题意；当左=2时，{x)=2x—：,此时人3)=:不符合题意.综上所述，火x)

=-2x+1.

x，0

5.已知八》)=N•—2x'1'若八〃)<3,则实数4的取值范围是2,3)_.

.—2x—1,xVO,

【解析】当时，a2~2a<3,解得0Wa<3；当。<0时，一2°—1<3,解得一2

<a<0.综上，°的取值范围是(一2,3).

配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

1.下列选项中表示同一个函数的是(D)

人.於)=/与g(x)=l

B../(x)=x与g(x)=H

X

C.y(x)=\(x—1)2与g(x)=x—1

工，xWO,

1,%20,

D.»=与g(x)=•网

.11,x<01,x=O

2x-\-1x〈l

2.已知函数40=・'’则人9)=(A)

fix—3),

A.2B.9

C.65D.513

【解析】X9)=/9—3)=犬6)=义3)=/(O)=2。+1=2.

3.若函数且<m)=4,则实数加的值为(B)

X2

A.«B.#或一比

C.-^6D.3

【解析】令x+L=/(/三2或—2),x2+；=1+J?—2=祥一2,所以人才)=5一2,7(加)

XX2

=加2—2=4,所以加=±#.

4.若函数/(x)=lg("2—2%+〃)的定义域为R,则实数。的取值范围为(D)

A.(-1,0)B.[-1,1]

C.(0,1)D.(1,+8)

【解析】由函数/(x)=lg(办2—2x+a)的定义域为R,得ad—2X+Q>0恒成立，令〃(x)

=ax2—2X+Q.当q=0时，h(x)=—2x,显然一2x>0不恒成立，舍去；当aWO时，若〃(%)

1>0,

=如2—2x+a>0恒成立，则需解得0>1.综上，实数a的取值范围为(1,

U=4—4a2<0,

+00).

二、多项选择题

5.某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试(一轮测试时

长为6h),得到了剩余电量y(单位：％)与测试时间/(单位：h)的函数图象如图所示，则下列

判断正确的有(ACD)

A.测试结束时，该手机剩余电量为85%

B.该手机在前5h内电量始终在匀速下降

C.该手机在Oh〜3h内电量下降的速度比3h〜5h内下降的速度更快

D.该手机在5h〜6h进行了充电操作

【解析】对于A,由图象可得，当f=6时，y=85,所以测试结束时，该手机剩余电

量为85%,故A正确；对于B,由图象可得该手机在前5h内电量下降不是一条直线，故不

是匀速下降，故B错误；对于C,由图象可得，在Oh〜3h内电量下降的速度为*义=

3

—,在3h〜5h内下降的速度为g^=10,—>10,故C正确；对于D,由图象可得该

35-33

手机在5h〜6h电量上升了55%,所以进行了充电操作，故D正确.

6.已知函数的值域为[0,36],则4)的定义域可能为(BCD)

A.[2,6]B.[-2,6]

C.[-6,6]D.[0,6]

【解析】令八%)=0,解得x=0；令人x)=36,解得x=±6.根据兀r)=丫2的图象关于y

轴对称的性质，并结合选项可得加)的定义域可能为[—2,6],[-6,6]或[0,6].

1,x>0,

7.已知符号函数sgn(x)=.(),x=0,则下列说法正确的是(BCD)

.-1,x〈0,

A.函数y=sgn(x)的图象关于〉轴对称

B.对任意x£R,sgne)=l

C.对任意的％£R,恸=—xsgn(―x)

D.函数歹=xsgn(Tnx)的值域为(一8,-l)U[0,1)

【解析】对于A,若〉=5驮(%)的图象关于》轴对称，则y=sgn(X)为偶函数，应该满

足sgn(—l)=sgn⑴，但sgn(—l)=—l,sgn(1)=1,即sgn(—l)Wsgn(1),故A错误；对

于B,因为守>0,所以对任意x£R,sgn(ex)=l,故B正确；对于C,当％<0时，sgn(―

x)=1,当％=0时，sgn(—x)=0,当x>0时，sgn(—x)=—1,贝U—xsgn(―x)=

—%,x<0,

-0,x=0,即一xsgn(—x)=|x|,故C正确；对于D,当工£(0,1)时，一lnx>0,y

x,x>0,

sgn(—lnx)=x^(0,1),当x=l时，一lnx=0,y=xsgn(—Inx)=0,当x£(l,+0°)

时，一InxVO,y=xsgn(—lnx)=—%£(—8,—1),即函数y=xsgn(—Inx)的值域为(一8,

-1)U[O,1),故D正确.

三、填空题

「」41

8,若函数/)=x—1的定义域为[0,4],则函数y=AN)+[/(x)]2的值域为_广2——・

【解析】由题意可知函数>=加2)+孙)]2要有意义，则需.'即0WxW2,

00W4,

故该函数的定义域为[0,2].又｛x)=x-1,所以卜=/一l+(x—1)2=2X2—2x,对称轴为x=g,

ii--4

所以当X=-时，Jmin=一—，当X=2时，Jmax=4,所以该函数的值域为12'

22

9.已知函数五x)的定义域为(-4,-2),则函数g(x)=/(x—1)+而立的定义域为上2

zilL.

【解析】因为八x)的定义域为(一4,-2),所以要使g(x)=/(x—1)+用工有意义，则

—4<%—1<—2

''解得一2Wx<—1,所以函数g(x)的定义域为[—2,—1).

x+220,

10.已知函数;若函数g(x)满足2g(x)则g(2)

7

-6T'

【解析】因为]=必+[=+2,所以危)=]2+2,月=4+2=及由已知

fx21J99

2g(x)+g00=x,

可得’曾,解得g(x)=至二其中xWO,因此，g(2)=Z

2gU+g(x)=l,3x6

X

四、解答题

11.(1)已知於)是二次函数，且满足大0)=1,於+1)—外)=2%，求段)的表达式；

【解答】设段)=QN+fcr+c(aWO).因为义0)=1,所以。=1.又因为於+1)—/)=2羽

所以Q(X+l)2+/?(x+1)+1—(tzx2+Z?x+l)=2x,整理得2QX+(Q+6)=2X.由恒等式的性质知

2d!2,a—],

上式中对应项系数相等，所以•解得•所以所求函数的表达式为外)

a+b=Q,缶=一1,

=x2-x+1.

(2)已知/(2X+1)=4X2+4X,求於)的表达式;

【解答】令2X+1=M则X=],所以｛。=4义126+4义]=於一1,所以所求

函数的表达式为〃)=/—1.

(3)已知於)一D

=3x+2,求於)的表达式.

贺X)=3+2,

3,x

【解答】在原式中用1替换X,-2/(x)=-+2,联立消

XX”)—2/CJ=3x+2,

70

得益)=-%----2(xW0).所以所求函数的表达式为/(%)=-%----2(xW0).

12.小明家院子中有块不规则空地，如图所示.小明测量并计算得出空地边缘曲线拟合

心，0WxW4,

函数外4右VI八小明的爸爸打算改造空地，用家中现有的8米长的栅

（x10）,4—10.

栏围一面靠墙矩形空地45CO用来铺设草皮，请问小明的爸爸需要购买多少平方米的草皮

才能铺满矩形草地？（栅栏全部用完，不考虑材料的损耗）

2

Q///////."77^7777777777.

(第12题)

\[x,0WxW4,

【解答】设4（巴0«4.因为於）=」9-10),4VxW10,则2(10-3/,t),

所以10—3/-F+2f=8,解得f=l,即/（I,1）,2（7,1）,此时矩形/BCD的面积为6X1

=6（m2）,故小明的爸爸需要购买6平方米的草皮才能铺满矩形草地.

B组能力提升练

13.对任意的xiV0〈X2,若函数於）=。,一刈十句不一刈的大致图象如图所示（两侧的射

线均平行于X轴），则满足条件的。，6的值可以分别为」，一1（答案不唯一，满足〃>0且〃

+6=0即可

（第13题）

【解析】当时，/(x)=—a(x—xi)—b(x—%2)=—(a+b)x+(Q%i+bx2),由题图可知

。+6=0①，

当X1<X<%2时，/（%）=6（%—12）=（。一人）%一"1+6x2,由题图可知

2Vo②.

6Z—6>0(§),

当时，/(X)=Q(X—Xl)+b(X—X2)=(Q+b)X—(QXl+bX2),由题图又可

—<7X1+bx2V0(4).

得出①②两式.由①和③两式可得。=—6>0,此时②和④均成立，故可取。=1,6=—1（答

案不唯一，满足。〉0且。+6=0即可）.

14.如图，边长为4的菱形45CO的两条对角线交于点。，且NQ48=60。.动点尸从点

4出发，沿着菱形四条边逆时针运动回到点4,记尸运动的路程为工,点尸到点。距离的平

方为於），则函数於）在x£（0,3）上单调递_减_（填“增”或“减”）；若关于x的方程外）

=冽恰有4个不等实根，则实数m的取值范围是一{3}U（4,12）.

O'T

A

（第14题）

【解析】如图（1）,由点。作垂足为由题意可知