苏科版新八年级数学暑假自学课：探索三角形全等的条件（原卷版+解析）

第02讲探索三角形全等的条件

【学习目标】

i.理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”“乩”定理.

2.能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.

【基础知识】

一.全等三角形的判定

（1）判定定理I：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.

（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.

（3）判定定理3：AS4--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.

（4）判定定理4：A4S--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应

相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹

边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.

二.直角三角形全等的判定

1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“乩”）.

2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三

角形，有它的特殊性，作为“乩”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多，

使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.

三.全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关

键是选择恰当的判定条件.

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.

四.全等三角形的应用

（1）全等三角形的性质与判定综合应用

用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目

的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系.

（2）作辅助线构造全等三角形

常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基

本规律.②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三

角形来证明.

（3）全等三角形在实际问题中的应用

一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为

三角形中的边角关系是关键.

【考点剖析】

一.全等三角形的判定（共5小题）

1.（2021秋•无锡期末）如图，点8,F,C,E在一条直线上，AB//ED,AC//FD,那么添加条件后,

可以判定AABC丝ADEF.

2.（2021秋•宜兴市期末）如图，AC^AD,ZDAC^ZEAB,要使△ABC之应添加的条件

是.（只需写出一个条件即可）

3.（2022•长安区一模）已知：点8、E、C、尸在一条直线上，AB//DE,AC//DF,BE=CF.求证：AABC

沿4DEF.

4.（2021秋•苏州期末）如图，在四边形ABC。中，E是对角线AC上一点，AD//BC,ZADC=ZACD,

ZCED+ZB=180°.求证：△ADE2CAB.

5.（2021秋•连云港期末）如图，已知Nl=/2,N3=N4,要证BC=a）,证明中判定两个三角形全等

的依据是（）

A.角角角B.角边角C.边角边D.角角边

二.直角三角形全等的判定（共4小题）

6.（2021春•姑苏区期末）下列说法中正确的个数有（）

①在同一平面内，不相交的两条直线必平行；

②同旁内角互补；

③（a-3b）2=a2-9b2；

④（x-2）°=1：

⑤有两边及其一角对应相等的两个直角三角形全等；

⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.

A.0个B.1个C.2个D.3个

7.（2020秋•郸都区期末）如图，AB1BD,CDLBD,AD=BC,则能直接判断RtaABO之RtZ\C£>B的理

C.SASD.SSS

8.（2021秋•高淳区期中）如图，在RtzXABC和Rt△。所中，ZC=ZF=90°,AC^DF,只需补充条

件,就可以根据“HL”得至(JRtZ\A8C0RtZ\Z)ER

AD

CBFE

9.（2020•黑龙江）如图，Rt^ABC和Rt^ED尸中，BC//DF,在不添加任何辅助线的情况下，请你添加

一个条件,使RtAABC和RtA£DF全等.

三.全等三角形的判定与性质（共8小题）

10.（2021秋•苏州期末）如图，已知NC=/E,/CDE=55°,则NABE的度数为（）

A.155°B.125°C.135°D.145°

11.（2021秋•河东区期末）如图，点、D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点，连接。E并延长至R使

EF=DE,连接PC.FC//AB,AB=5,C尸=3,则BD的长等于（）

A.1B.2C.3D.5

12.（2021秋•桐柏县期末）如图，已知A3_LCD,AB=CD,E、P是上的两个点，CE_LA。，BF±AD,

若AZ)=a,BF=b,CE=c,则Ef的长为()

c

A.a+b-cB.b+c-aC.a+c-bD.a-b

13.（2021秋•阜宁县期末）在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=4cm,CDLAB,在AC上取一点E,使

EC=4cm,过点E作£F_LAC交CD的延长线于点尸.若AE=lcm,贝（JEF=cm.

AN

14.（2021秋•滨海县期末）如图，一个正方形摆放在桌面上，那么这个正方形的边长为

1：/

15.（2022•南通模拟）如图，在△ABC中，AB=AC,AD±BD,AE1EC,垂足分别为。，E,BD,CE相

交于点。，且/BAE=/CAD

（1）求证：△48。丝△ACE；

（2）若/8OC=140°,求/08C的度数.

16.（2021秋•淮安区期末）如图，已知AB=CB,AD=CD.求证：ZA=ZC.

A

17.（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAD=ZCAE.

求证：ZABD=ZACE.

四.全等三角形的应用（共4小题）

18.（2021秋•武城县期末）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店

去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（）去.

D.①和②

19.（2021秋•沛县期末）如图，小明用"X"型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度.已知OA=OD,OB

=OC,AB6cm,EF=8cm,则该容器壁的厚度为cm.

自

20.（2019秋•邛江区校级月考）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC=

CD,作交AC的延长线于点垂足为点。.（DE乎CD）

（1）线段的长度就是A、8两点间的距离

（2）请说明（1）成立的理由.

21.（2021春•陈仓区期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，

设置了这样的问题：因为池塘两端42的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量48的距离.甲、

乙两位同学分别设计出了如下两种方案：

甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A,8的点。，连接A。并延长到点C,连接80并延长

乙：如图②，先确定直线A8,过点8作直线BE,在直线3E上找可以直接到达点A的一点连接ZM,

作。C=D4,交直线48于点C,最后测量的长即可.

（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？

（2）请说明方案可行的理由.

【过关检测】

、单选题

1.（2021•江苏无锡•八年级期末）下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（）

A.有两条边分别相等B.有一个锐角和一条边相等

C.有一条斜边相等D.有一直角边和斜边上的高分别相等

2.（2021•江苏南京•八年级期末）在△欣中，N/=60°,Z5=50°,AB=8,下列条件能得到△/回

丝△龙尸的是（）

A.ZD=6Q°,/£=50°,DF=8B.ZD=60°,/6=50°,DE=3

C./£=50°,N尸=70°,DE=3D./小60°,N6=70°,EF=3

3.（2020•江苏八年级月考）如图，AC^DF,Z1=Z2,如果根据“S4S”判定△MC2ADEF,那么

A.ZA=ZDB.AB=DEC.ZB=ZED.BF=CE

4.（2020•江苏泰州中学附属初中八年级月考）如图，OC平分/AOB,D、E、6分别是。C、OA,如上的点,

则添加下列哪个条件不能使△行与△眦全等（）

GFB

A.DE=DFB.0±OFC.NOD//ODFD.ZAED=ZBFD

5.(2021•江苏八年级期末)如图，已知AC=BD,添加下列一个条件后，仍无法判定叵△胡〃的是

()

CD

AB

A.AABC=ZBADB./C=/D=90°C.ACAB=ADBAD.CB=DA

6.（2020•南京市深水区和凤初级中学八年级月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出

NAOB=NA0E的依据是（）

P'

A.SASC.ASAD.AAS

二、填空题

7.（2021•江苏八年级月考）如图，在中，ZACB=90°,AC=BC,点。的坐标为（-2,0）,点8的

坐标为（1,5）,则/点的坐标是.

8.（2021•江苏八年级专题练习）如图，△ABSADEF,龙=5,BF=3贝U*=

BF

9.（2021•江苏南京•八年级期末）如图，△/切是等边三角形，若AB=DE,BC=AE,/£=115°,则/

BAE=0.

10.（2021•江苏）如图，AABC四△D£F，点B、八C、E在同一条直线上，AC、D歹交于点M,ZACB=30°,

则NAMF的度数是°.

D

11.（2019•常熟市第一中学八年级月考）如图，已知%ABC=24m2,平分的C,且于点〃

贝UKA"C

12.（2019•江苏八年级月考）如图所示，点。为4c的中点，也是劭的中点，那么26与3的关系是

13.（2019•江苏八年级月考）在△/8C和△史E给出下列四组条件：

①AFDE,BOEF,AC=DF-,②AFDE,NB=NE,BOEF；③/庐BC=EF,/O/F；@AB=DE,AC=DF,

/斤/£.其中，能使△加隹△龙户的条件共有组

14.（2019•江苏八年级月考）如图所示，皿是△/回中6c边上的中线，若力庐2,A（=6,则皿的取值范

围是__________

三、解答题

15.（2020喧兴市树人中学八年级月考）已知AABN和9。/位置如图所示，AB=AC,AD=AE,Z1=Z2.

B

（1）试说明：BD=CE；

（2）试说明：ZM=ZN.

16.（2021•江苏八年级期中）如图，已知四〃缪，AB=CD,/A=/D.求证：AF=DE.

17.（2020•苏州市吴江区青云实验中学八年级月考）如图①，4）平分/BAC,/B+NC=180o,/B=90。,

可得D3=OC.

（1）如图②，4）平分/BAC,/ABD+NAC£>=18（F,/ABD<90。，参照图①，过点D作至于点

尸，AC交AC的延长线于点F,求证：DB=DC；

（2）如图③，在四边形"DC中，ZB=45°,ZC=135°,=OC,过点D作DELM,垂足为点E,若=a,

则AC的值是多少？（用含a的代数式表示）

18.（2019•江苏八年级月考）如图（1）在△/比1中，ZACB=90°,AOBC,直线g经过点C,且4上L就

于点〃施工腑于点反

E

图1图2

（1）求证：①△血修△吸；②D4AD^BE.

（2）当直线的V绕点。旋转到图（2）的位置时，DE、AD、庞又怎样的关系？并加以证明.

19.（2021•江苏八年级专题练习）如图，ZCAB+ZABD=120°,AD,3C分别平分NC4B、ZABD,AD

与BC交于点0.

（1）求ZAO3的度数；

（2）说明AB=AC+9的理由.

20.（2019•江苏八年级月考）在AABC中，=AC,点2是直线6,上一点（不与dC重合），以4?

为一边在皿的布刎作△/"£,^AD=AE,ZDAE=ABAC,连接第

（1）如图1,当点O在线段BC上，如果/54C=90。，则NBCE=度；

(2)设NB4C=tz,ZBCE=p.

①如图2,当点O在线段8C上移动，则a,夕之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点O在直线BC上移动，则a，〃之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.

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第02讲探索三角形全等的条件

旨【学习目标】

1.理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”“乩”定理.

2.能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.

【基础知识】

一.全等三角形的判定

(1)判定定理I：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.

(2)判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.

(3)判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.

(4)判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

(5)判定定理5：乩--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应

相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹

边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.

直角三角形全等的判定

1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“乩”).

2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三

角形，有它的特殊性，作为“乩”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多，

使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.

三.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关

键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.

四.全等三角形的应用

(1)全等三角形的性质与判定综合应用

用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目

的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系.

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（2）作辅助线构造全等三角形

常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基

本规律.②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三

角形来证明.

（3）全等三角形在实际问题中的应用

一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为

三角形中的边角关系是关键.

【考点剖析】

全等三角形的判定（共5小题）

1.（2021秋•无锡期末）如图，点3,F,C,E在一条直线上，AB//ED,AC//FD,那么添加条件BC

=E=或或或AC=£>=后，可以判定△ABCgADEF.

D

【分析】先根据平行线的性质得到ZACB=ZDFE,然后根据全等三角形的判定方法添加条

件.

【解答】-JAB//ED,

'：AC//FD,

：./ACB=Z.DFE,

当添力口BCnET7（,或BF=EC）时，根据"ASA”可判定△ABCg/XOEF；

当添加（或AC=DF）时，根据“A4S”可判定△ABC注△DEP；

综上所述，当添加条件BC=EF或BF=EC或或AC=DE后，可以判定△ABC四△OEF.

故答案为：BC=E/或BP=EC或或AC=DF.

【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键.选用

哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件.

2.（2021秋•宜兴市期末）如图，AC=AD,ZDAC=ZEAB,要使△ABC04AEQ,应添加的条件是48

=AE（或或NC=/£>）.（只需写出一个条件即可）

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A

E

B,----xq—c

D

【分析】先证明/8AC=NE4。，由于AC=A。，则根据全等三角形的判定方法可添加条件.

【解答】解：

ZDAC+BAD=ZEAB+ZBAD,

即

VAC=AD,

，当添加A3=A£1时，根据“SAS”可判断△ABCg/\A£D；

当添加NB=NE时，根据“A4S”可判断△ABC丝△AED；

当添加NC=N£＞时，根据“ASA”可判断

要使△ABC咨△AEZ）,应添加的条件是AB=AE（或NB=N£1或/C=ND）.

故答案为：AB^AE（或NB=/E或/C=ND）.

【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键.选用

哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件.

3.（2022•长安区一模）已知：点8、E、C、/在一条直线上，AB//DE,AC//DF,BE=CF.求证：△ABC

%LDEF.

BECF

【分析】先利用平行线的性质得到乙8=/。所，ZACB=ZF,再证明然后根据“ASA”可判

断△ABC丝

【解答】证明：'JAB//DE,

：.ZB=ZDEF,

'：AC//DF,

：.ZACB=ZF,

'：BE=CF,

：.BE+EC=CF+EC,

即BC=EF,

在△ABC和中,

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^DEF

\BC=EF，

VZLACB=Z.F

：.AABC^^XDEF（ASA）.

【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键.选用

哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件.

4.（2021秋•苏州期末）如图，在四边形A3C。中，E是对角线AC上一点，AD//BC,ZADC=ZACD,

NCED+NB=180°.求证：△A0E之△CAB.

CK___________B

DA

【分析】由等角对等边可得AC=AO,再由平行线的性质可得ND4E=NAC3,由NCE0+NB=18O°,

ZCED+ZAED=180°,得NAEO=N3,从而利用A4S可判定△?!£>£；丝△CAB.

【解答】证明：・・・NAOC=NACD,

：.AD=AC,

U：AD//BC,

：.ZDAE=ZACB,

•・・NCEO+N3=18（r,ZCE£）+ZAE£>=180°,

J/AED=/B,

在△ADE与△CAB中，

（ZDAE^ZACE

\z.AED=z.B'

UD=AC

：.AADE^/\CAB（AAS）.

【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是由已知条件得出相应的角或边的关系.

5.（2021秋•连云港期末）如图，已知N1=N2,Z3=Z4,要证8C=CD,证明中判定两个三角形全等

的依据是（）

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A.角角角B.角边角C.边角边D.角角边

【分析】已知两角对应相等，且有一公共边，利用全等三角形的判定定理进行推理即可.

【解答】解：在△ABC与△ADC中，

=Z2

\AC=AC'

U3=z4

贝（J/vWCdADC（ASA）.

：.BC=CD.

故选：B.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS.ASA.AAS.注

意：A4A、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对

应相等时，角必须是两边的夹角.

二.直角三角形全等的判定（共4小题）

6.（2021春•姑苏区期末）下列说法中正确的个数有（）

①在同一平面内，不相交的两条直线必平行；

②同旁内角互补；

③（a-3b）2=a2-9房；

④（尤-2）°=1；

⑤有两边及其一角对应相等的两个直角三角形全等；

⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】（1）根据平行线的定义解答；

（2）根据平行线的性质解答；

（3）根据完全平方公式解答；

（4）根据零次幕的意义解答；

（5）根据全等三角形的判定解答；

（6）根据垂线公理解答.

【解答】解：根据平行线的定义①正确；

②错，两直线平行，同旁内角互补；

③错，（a-3b）2=/-6。》+9b2；

④错，当x-2W0时，（x-2）°=1；

⑤正确，有两边及其一角对应相等的两个直角三角形全等；

⑥正确，根经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.

故选：D.

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【点评】本题是一个概念判断题，根据概念定义可以判断.

7.（2020秋•郸都区期末）如图，AB±BD,CDLBD,AD=BC,则能直接判断的理

C.SASD.SSS

【分析】由“HL”可证RtZXAB。和RtZkCOB.

【解答】解：'：ABLBD,CDLBD,

：.ZABD=ZCDB=90°,

在RtAABD和RtACDB中,

(AD=BC

[BD=DB

：.RtAABD^RtACDB（HL）,

故选：A.

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，掌握直角三角形的判定方法是本题的关键.

8.（2021秋•高淳区期中）如图，在RtZsABC和Rt/XOEF中，ZC=ZF=90°,AC=DF,只需补充条件

AB=DE,就可以根据"HL”得至URt^ABC丝RtZXDEF.

【分析】根据直角三角形全等的判定方法解决此题.

【解答】解：补充条件：AB=DE.

在RtAABC和RtADEF中，

(AB=DE

14c=DF'

/.RtAABC^RtADEF（HL）.

故答案为：AB=DE.

【点评】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决本题的关键.

9.（2020•黑龙江）如图，Rt^ABC和/中，BC//DF,在不添加任何辅助线的情况下，请你添加

一个条件AB=ED（答案不唯一），使RtAABC和RtAEDF全等.

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【分析】根据全等三角形的判定解答即可.

【解答】解：・.・RtAABC和RtAEDF中，

：.ZBAC=ZDEF=90°,

,:BC〃DF,

：.NDFE=NBCA,

・•・添加AB=ED,

在RtA4^C和RtAEOF中

ZDFE=ZBCA

'（DEF=Z.BAC'

,AB=ED

ARtAABC^RtAEDF（A4S）,

故答案为：AB=ED（答案不唯一）.

【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答.

三.全等三角形的判定与性质（共8小题）

10.（2021秋•苏州期末）如图，已知NC=NE,ZCDE=55°,则NA5E的度数为（）

A.155°B.125°C.135°D.145°

【分析】利用A4s证明△ACZ^ZXA班即可得出答案.

【解答】解：在△AC。和AAEB中，

4=4

AD=AB

：.AACD^AAEB(A4S),

ZABE=ZADC,

•：NCDE=55°,

/.ZA£>C=180°-NCDE=180°-55°=125°,

AZABE=ZADC=125°,

故选：B,

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【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

11.（2021秋•河东区期末）如图，点。，E分别为△ABC的边A8,AC上的点，连接。E并延长至R使

EF=DE,连接FC.FC//AB,AB=5,CF=3,则8。的长等于（）

【分析】由FC〃AB得，ZDAE=ZFCE,再利用A4S证明△D4E会/XPCE,得AQ=CE从而解决问

题.

【解答】解：'：FC//AB,

：.ZDAE=ZFCE,

在△DAE'与中，

NDAE=NFCE

,Z,AED="EF'

、DE=EF

:.ADAE<AFCE（A4S）,

：.AD^CF,

'：CF=3,

：.AD=CF=3,

又•.•AB=5,

：.BD=AB-AD=5-3=2,

故选:B.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明△ZME丝△尸CE是解题

的关键.

12.（2021秋•桐柏县期末）如图，已知AB_LCD,AB=CD,E、尸是上的两个点，CE±AD,BF1AD,

若4£>=a,BF=b,CE=c,则EF的长为（）

C.a+c-bD.a-b

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【分析】由题意可证△AB厂也△COE(A4S),可得BF=DE=b,CE=AF=c,可求EF的长.

【解答】解：-ABLCD,CELAD,

：.ZC+ZD=90°,ZA+ZD=90°,

AZA=ZCf且AB=CD,/AFB=/CED,

：.AABF^/XCDE(A4S),

：.BF=DE=b,CE=AF=c,

'：AE=AD-DE=a-b,

.\EF=AF-AE=c-Qa-b)=c-a+b,

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.

13.(2021秋•阜宁县期末)在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=4cm,CD±ABf在AC上取一点瓦使

EC=4cm,过点E作跖_LAC交CQ的延长线于点?若AE=lc相，则EF=5cm.

【分析】由CD±AB,EFLAC就可以得出N在C=乙4。。=90°,就有NA=NR就可以得出△ABC

丝△尸CE,就有EF=AC而求出结论.

【解答】解：-：CDLAB,EFLAC,

：.ZFEC=ZADC=ZACB=90°,

ZACD+ZA=ZACD-^ZF=90°,

・・・ZA=ZF,

■;BC=EC=4cm,

在△ABC和△尸CE1中，

ZACB=NFEC

〃=ZF，

、BC=EC

:•△ABC名AFCE(AAS),

：.AC=FE,

\9AC=AE+EC,

：・FE=AE+EC,

VEC=4cm,AE=lcm,

*.FE=^+\=5cm.

故答案为：5.

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【点评】本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用,

解答时证明三角形全等是关键.

14.（2021秋•滨海县期末）如图，一个正方形摆放在桌面上，那么这个正方形的边长为—巡

【分析】标注字母，根据正方形的性质可得ZBAD=90°,再根据同角的余角相等求出/1=

N3,然后利用“角角边”字母△A5E和△D4F全等，根据全等三角形对应边相等可得再利用

勾股定理列式计算即可得解.

【解答】解：如图，由正方形性质可得，AB=AD,NBAD=90°,

.,.Zl+Z2=180°-90°=90°,

■：BE±AE,DF±AF,

：.ZAEB=90°,ZDFA=90°,

.\Z2+Z3=180°-90°=90°,

：.Z1=Z3,

在△ABE和△IMP中，

ZEB=ZDFA=90"

z3=zl'

/B=AD

:.AABE咨ADAF(AAS),

：.AE=DF=1,

在RtAABE中，AB=\/BE2+AE2=\J22+I2=展,

即正方形的边长为M，

故答案为：的.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，利用三角形全等，把

长度为1、2的边转化为一个直角三角形的两直角边是解题的关键.

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15.(2022•南通模拟)如图，在△ABC中，AB=AC,AD±BD,AE±EC,垂足分别为。，E,BD,CE相

交于点。，且

(1)求证：AABD咨AACE；

(2)若/8OC=140°,求/OBC的度数.

【分析】(1)由“AAS”可证△ABOg/vlCE；

(2)由全等三角形的性质可得/ACE,由等腰三角形的性质可得NABC=NACB,即可求解.

【解答】(1)证明：・•,/BAE=NCA。，

：.ZBAD=ZCAE,

\'AD±BD,AE±EC,

：.ZADB=ZAEC=9O°,

在△4BD和△&(7£1中，

(^BAD=^CAE

)Z.ADB=Z.AEC'

=AC

：.AABD^AACE(AAS)；

(2)解：,/AABD^AACE,

：.ZABD=ZACE,

"：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

：.ZOBC=ZOCB,

VZBOC=140°,

：.ZOBC=ZOBC^2Q°.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.

16.(2021秋•淮安区期末)如图，已知AB=C8,AD=CD.求证：NA=NC.

【分析】连接3。，利用边边边证明由全等三角形的性质即可求解.

【解答】证明：连接8。，

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DB

在AABD与ACBD中,

AD=CD

AB=CB，

DB=DB

:•△ABDmACBD(SSS),

ZA=ZC.

【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，此题主要利用边边边判定三角形全等.

17.（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△A3C和△A。石中，AB=AC,AD=AEfZBAD=ZCAE.

求证：ZABD=ZACE.

【解答】证明：在和△AC8中,

AB=AC

z.BAD=z.CAE^

AD=4E

AAABD^AACE(SAS)，

：.ZABD=ZACE.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键.

四.全等三角形的应用（共4小题）

18.（2021秋•武城县期末）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店

去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（）去.

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【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案.

【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；

第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；

第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去.

故选：C.

【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握.

19.（2021秋•沛县期末）如图，小明用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度.已知OA=。。，OB

=OC,AB=6cm,EF=8cm,则该容器壁的厚度为1cm.

【分析】只要证明△AOBg/YDOC,可得即可解决问题.

【解答】解：在△AOB和△DOC中，

0A=0D

/.AOB=/DOC，

BO=OC

:.△AOBQbDOC（SAS）,

AB=CD—6cm,

EF=Scm,

1

圆柱形容器的壁厚是一X（8-6）=1（cm）,

2

故答案为：1.

【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题.

20.（2019秋叶R江区校级月考）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸上截取BC=

CD,作即，瓦）交AC的延长线于点E,垂足为点D（DE中CD）

（1）线段DE的长度就是A、8两点间的距离

（2）请说明（1）成立的理由.

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【分析】(1)根据题意确定

(2)根据已知条件得到两个三角形全等，利用全等三角形的性质得到结论即可.

【解答】解：(1)线段的长度就是A、2两点间的距离；

故答案为：DE；

(2)'JABLBC,DELBD

：.ZABC=ZEDC=90°

又•：NACB=/DCE,BC=CD

：.AABC^ACDE(ASA)

：.AB=DE.

【点评】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟练掌握全等三角形的判定方法并确定出全等三角

形是解题的关键.

21.(2021春•陈仓区期末)为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，

设置了这样的问题：因为池塘两端A,8的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A,8的距离.甲、

乙两位同学分别设计出了如下两种方案：

甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A,8的点O,连接AO并延长到点C,连接80并延长

到点。，使CO=A。，DO=BO,连接。C,测出。C的长即可.

乙：如图②，先确定直线过点8作直线8E,在直线BE上找可以直接到达点A的一点。，连接D4,

作。C=ZM,交直线AB于点C,最后测量2C的长即可.

(1)甲、乙两同学的方案哪个可行？

(2)请说明方案可行的理由.

【分析】(1)甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；

(2)甲同学利用的是“边角边”，乙同学的方案只能知道两三角形的两边相等，不能判定△A8D与4

全等，故方案不可行.

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【解答】解：（1）甲同学的方案可行；

（2）甲同学方案：

在△ABO和△CDO中，

AO=CO

乙40B="0。

BO=DO

：.AABO^ACDO（SAS）,

：.AB=CD；

乙同学方案：

在和△CB。中，

只能知道DC=D4,DB=DB,不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行.

【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“&4S”定理是解决问题的关

键.

.【过关检测】

一、单选题

1.（2021•江苏无锡•八年级期末）下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（）

A.有两条边分别相等B.有一个锐角和一条边相等

C.有一条斜边相等D.有一直角边和斜边上的高分别相等

【答案】D

【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分

析，然后即可得出答案.

【详解】A,两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；

一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；

C,有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；

A有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键.

2.（2021•江苏南京•八年级期末）在△/6C中，NZ=60°,/B=5Q°,初=8,下列条件能得到△/回

乌△龙F的是（）

A./片60°,N^=50°,DF=3B.N，=60°,/尸=50°,庞=8

C.Z£=50°,/b=70°,庞=8D.ZD=60°,ZF=70°,EF=8

【答案】C

【分析】显然题中使用ASA证明三角形全等，AABC'DEF,需要保证/A=/DZB=ZE,AB=DE,可

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以根据三角形内角和定理确定NF.

【详解】解：成必△加尸，

:./B=/E=50°,N/=N〃=60°,AB=DE=3,

.,.ZF=180°-ZE-4D=10°,

故选C.

【点睛】这道题考查的是全等三角形的对应边和对应角分别相等.清楚三角形全等判定的含义是解题的关

键.

3.（2020•江苏八年级月考）如图，AC=DF,Z1=Z2,如果根据“SAS”判定八45。丝,那么

A.ZA=ZDB.AB=DEC.ZB=NED.BF=CE

【答案】D

【分析】利用全等三角形的判定方法，“弘S”即边角边对应相等，只需找出一对对应边相等即可，进而得

出答案.

【详解】解：需要补充的条件是於第

：.BFvF（=CE+CF,HPBC=EF,

在和△㈤;1中，

AC=DF

<Zl=Z2,

BC=EF

.'.^ABC^ADEF（SAS'）.

故选：D.

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS.ASA,AAS,HL.添

加时注意：AAA.SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确

解答本题的关健.

4.（2020•江苏泰州中学附属初中八年级月考）如图，OC平分4AOB,D、E、户分别是利、04、神上的点，

则添加下列哪个条件不能使△眦与△眦全等（）

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A.DE=DFB.OE^OFC.AOD^AODFD.AAED=ZBFD

【答案】A

【分析】根据三角形全等的判定方法对各选项分析判断即可得解.

【详解】解：；⑪是//出的平分线，

/.AAOP=ABOP,而华是公共边，

A：添加法所符合''边边角"，不能判定△勿出眦；

B：添加庞、二阳可以利用“外S”判定△如出眦；

C：添加/切方NW,可以利用“力弘”判定△颂必眦；

D：NAED=/BFD,司知/OED=/OFD,可以利用“A4S”判定金眦；

故选：A.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.

5.（2021•江苏八年级期末）如图，已知劭，添加下列一个条件后，仍无法判定4/6电△的，的是

A.AABC=ZBADB./C=/D=90°C.ZCAB=ZDBAD.CB=DA

【答案】A

【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断；

【详解】在△46C与△胡。中，AC=BD,AB=BA,

4S必无法判断三角形全等，故本选项符合题意；

氏根据俄即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；

G根据SIS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；

久根据SSS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，关键在于熟练灵活的使用各个判定方法；

6.（2020•南京市漂水区和凤初级中学八年级月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出

ZAOBuZA'O'b'的依据是（）

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【答案】B

【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运

用SSS,答案可