双曲线及其性质（十一大题型）（讲义）原卷版-2025年高考数学一轮复习

第06讲双曲线及其性质

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：双曲线的定义..........................................................4

知识点2：双曲线的方程'图形及性质..............................................4

解题方法总结...................................................................7

题型一：双曲线的定义与标准方程.................................................7

题型二：双曲线方程的充要条件..................................................10

题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题..............................11

题型四：双曲线上两点距离的最值问题............................................13

题型五：双曲线上两线段的和差最值问题..........................................14

题型六：离心率的值及取值范围..................................................16

方向1：利用双曲线定义去转换...................................................16

方向2：建立关于。和c的一次或二次方程与不等式.................................17

方向3:利用e=||,其中2c为焦距长，2a=叫|..............................18

方向4：坐标法.................................................................18

方向5：找几何关系，利用余弦定理...............................................19

方向6：找几何关系，利用正弦定理...............................................20

方向7：利用基本不等式.........................................................21

方向8：利用渐近线的斜率求离心率...............................................22

方向9：利用双曲线第三定义.....................................................23

方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围［c-a,+oo)................................................................................24

题型七：双曲线的简单几何性质问题..............................................25

题型八：利用第一定义求解轨迹..................................................27

题型九：双曲线的渐近线........................................................30

题型十：共焦点的椭圆与双曲线..................................................32

题型十一：双曲线的实际应用....................................................35

04真题练习•命题洞见............................................................37

05课本典例•高考素材............................................................38

06易错分析•答题模板............................................................40

易错点：双曲线焦点位置考虑不周全..............................................40

答题模板：求双曲线的标准方程..................................................40

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体上

2024年天津卷第8题，5分

看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，在

2024年甲卷（理）第5题，5分

（1）双曲线的定义与标高考中双曲线的试题以选填题为主，解答题考查

2023年甲卷（文）第8题，5分

准方程双曲线的可能性不大.在双曲线的试题中，离不

2023年天津卷第9题，5分

（2）双曲线的几何性质开渐近线的考查，几乎所有双曲线试题均涉及渐

2023年北京卷第12题，5分

近线，因此双曲线的试题中，最为重要的是三

2023年I卷第16题，5分

点：方程、渐近线、离心率.

复习目标：

（1）了解双曲线的定义'几何图形和标准方程.

（2）掌握双曲线的几何性质（范围'对称性'顶点、离心率、渐近线）.

（3）了解双曲线的简单应用.

㈤2

/八知识导图•思维弓1航\\

双曲线及其性质

老占突曲・题理探密

知识固本

知识点1:双曲线的定义

平面内与两个定点耳，鸟的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于田鸟|）的点的轨迹叫做双曲线

（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为｛M|||5|-阳矶=2。（0<2°<寓用）｝

注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.

（2）当2a=怪用时，点的轨迹是以耳和F2为端点的两条射线；当2a=0时，点的轨迹是线段耳己的

垂直平分线.

（3）2a>但用时，点的轨迹不存在.

在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

①条件耳月|>2°”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定b2的值），注意

/+62=02的应用.

22

【诊断自测】双曲线］-春=1的左右焦点分别是片与是双曲线左支上的一点，且性阴|=7,则

\MF2\=（）

A.1B.13C.1或13D.3

知识点2：双曲线的方程、图形及性质

双曲线的方程、图形及性质

2222

标准方程--77=l(«>0,Z?>0)—-77=1(^>0,Z?>0)

abab

wb

图形1r

“a

焦点坐标耳（一C,O），居（C,0）耳(0,-c),F2(0,C)

对称性关于X,y轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标A(-〃,0),4(〃,0)A（O,Q）,4（0,-。）

范围\x\>a

实轴、虚轴实轴T£为2a，虚轴长为2b

e=rf?(e>1)

离心率

人/fa

令—一7T=0ny=±i

渐近线方程abaabb

焦点到渐近线的距离为6焦点到渐近线的距离为b

>1,点（%,%）在双曲线内

>1,点（X。,%）在双曲线内

£/（含焦点部分）

点和双曲线-------《（含焦点部分）

2—

/b=1,点（无0,%）在双曲线上2

的位置关系/b=1,点（%,%）在双曲线上

<1,点（%,%）在双曲线外

<1,点（七,%）在双曲线外

共焦点的双2222

222

------—=1(-/<k<b)—r------------r—=l(-a<k<b)

曲线方程a1+kb2-ka2+kb2-k

共渐近线的22

=x巾0)斗-A=4(2w°)

双曲线方程abab

切线方程=（xo^o）为切点=（%o^o）为切点

abab

对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中V换为无胚，丁换成

切线方程

%y便得.

岑一碧^二],（%,%）为双曲线

芈-岑=1,（毛,%）为双曲线外一点

切点弦所在ab

ab

外一点

直线方程

点（X。,%）为双曲线与两渐近线之间的点

殳直线与双由

i1线两交点为A（x，%）,3（%2，%），kAB=k.

J1+左2一止J1+1.其一%|（左片。）,

B弦长|明=

弦长公式

1+々）2-4中2=奕，其中是消“y”后关于“X”的一元二次方程

\玉一止J（x

的”系数.

2b2

通径通径（过焦点且垂直于耳鸟的弦）是同支中的最短弦，其长为丝

a

双曲线上一片

;尸（%,%）与两焦点耳，鸟构成的APFtF2成为焦点三角形，

2〃

设/片尸乙=£）,|「耳=",|尸&|=々,则cos6=l-----,

r\r2

一^由Jo）

尹弋

焦点三角形

2

sin。,2b3％,焦点在屐由上

S.RF?二万彳弓sin0=----------b=------=<,

1-COS。。%0，焦点在丁轴上

i,an0i1

2

焦点三角形邛】一般要用到的关系是

[11^1-1^2||=2a(2a>2c)

.SA两为=；尸耳•尸工sin/EP6

"「=忙尸

22

|+|PF2|-2|P^||PF2|COSZ^

等轴双曲线稳多足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线。a=bo离心率e=0o

等轴双曲线

两渐近线互相垂直L。渐近线方程为y=±xO方程可设为f-丁=2（2w0）.

【诊断自测】（2024.山东济南.三模）已知双曲线G过点4-岳,1），且与双曲线。2：/-3>2=1有相同的

渐近线，则双曲线的标准方程为（

B./—

124

22

D.匕-土=1

155

解题方法总结

(1)双曲线的通径

2b2

过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径.通径长为

a

(2)点与双曲线的位置关系

对于双曲线5一三=1(。>6>0),点P(x0,%)在双曲线内部，等价于茎-*>1.

abab

点尸(%,%)在双曲线外部，等价于毛-及<1结合线性规划的知识点来分析.

(3)双曲线常考性质

性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数6；顶点到两条渐近线的距离为常数或

性质2：双曲线上的任意点尸到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数彳；

C

2

(4)双曲线焦点三角形面积为A'(可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大)

V

tan—

2

(5)双曲线的切线

22

点在双曲线=l(a>0,6>0)上，过点M作双曲线的切线方程为写一岑=1.若点

abab

22

M(%,为)在双曲线二-七=1(°>02>0)外，则点M对应切点弦方程为警一岑=i

abab

题型一：双曲线的定义与标准方程

【典例1-1】已知%尸2是平面内两个不同的定点，则TLL||为定值”是“动点M的轨迹是以忆

F?为焦点的双曲线，，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【典例1-2】（2024•北京门头沟.一模）已知双曲线C经过点（0』），离心率为2,则C的标准方程为（）

*

A.炉B.——/=1

33

y22

C.VD.--x2=l

33

【方法技巧】

求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：

（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数1,匕，c,即利用待定系数法

求方程.

（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义

法求方程.

【变式1-1】已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为（0,4）,且渐近线方程为x=±2y,则其标准方程为

)

A.B.」J、］

166416

22

力2/_

C.1D.二-乙=1

166416

7（X+5）2+/（）22的结果是（）

【变式1-2】化简方程-7x-5+y=8

x2/.

Rr).------=1

916

C尤2九1D卡丁一1

2516169

22

【变式1-3】双曲线C：5=1（。>。，6>。）的两个焦点为小尸2,点A（"l）在双曲线C上，且满足

AF^AF^O,则双曲线C的标准方程为一.

2222

【变式1-4］（2024.西藏拉萨.二模）已知双曲线C:二-4=l（a>0,6>0）与乙-土=1有相同的渐近线，

a2b243

且直线x-2y-5/7=（）过双曲线C的焦点，则双曲线C的标准方程为.

22

【变式1-5】若双曲线C与双曲线看-1=1有相同的渐近线，且经过点（2夜,JF）,则双曲线C的标准

方程是.

【变式1-6】已知双曲线「:「一，=1（°>0,6>0）,四点A（6,⑹、24,等、C（5,2）、。（一5,-2）中恰

有三点在「上，则双曲线「的标准方程为

【变式1-7］（2024•江西南昌•一模）已知中心在原点的双曲线E的离心率为2,右顶点为A,过E的左焦点

产作了轴的垂线/,且/与E交于N两点，若,AWN的面积为9,则E的标准方程为.

【变式1-8］（1）若双曲线过点（3,9底），离心率6=业二则其标准方程为

3

（2）若双曲线过点尸（2,-1）,渐近线方程是y=±3x,则其标准方程为

22

（3）若双曲线与双曲线匕一土二1有共同的渐近线，且经过点M（3,-2）,则其标准方程为

43

题型二：双曲线方程的充要条件

22

【典例2-1】双曲线方程为南三+三=1,则%的取值范围是()

网一25-k

A.k>5B.2<k<5C.—2<k<2D.—24<2或左>5

22

【典例2-2】(2024•河北石家庄•二模)已知曲线C:土+匕=1(加工0),则“加注0,6)”是“曲线C的焦点在工

6m

轴上”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

【方法技巧】

22

二+匕=1表示椭圆的充要条件为：；

mn

22

土+2L=1表示双曲线方程的充要条件为：皿<0；

mn

22

-----F—=1表示圆方程的充要条件为：m=n>0.

mn

22

【变式2-1】方程上-+上=1表示双曲线的必要不充分条件可以是()

m+3m-1

A.me(-3,1)B.me(-3,-l)u(-l,l)

C.me(-3,+oo)D.me(-3,-1)

【变式2-2](2024•广东佛山•二模)已知方程4?+疗2+3+瓜+与+产=0,其中

A>B>C>D>E>F.现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：

甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；

丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程.

其中，真命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

22

【变式2-3］是“方程工+工=1表示双曲线”的（）

71+1”一3

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题

22

【典例3-1］（2024・高三•重庆・开学考试）设耳耳为双曲线上-乙=1的两个焦点，点P是双曲线上的一点,

42

且N片尸历=90,贝IJ4尸工的面积为.

【典例3-2】已知双曲线的左右焦点分别为耳B，过片的直线与左支交于A8两点，若［4?|=5,且双曲

线的实轴长为8,则居的周长为—.

【方法技巧】

对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即归用-户闾|=2a,在焦点三角形

面积问题中若已知角，则用SAP.=3归片|忖用sin。，归耳|—|P可=2a及余弦定理等知识；若未知

角，则用Sxpg——'2c•|-y0|.

【变式3-1】已知双曲线鼻-丁=13>0）的左、右焦点分别为耳，F2,实轴长为2g,尸为双曲线右支上

a

一点，且满足I尸耳『一|「月『=4瓦，则尸月工的周长为一.

22

【变式3-2】已知双曲线L一匕=1的左、右焦点分别为月，F2,过F2的直线交该双曲线于点A、B,且

98

AFt-AF2=0,F2B+2F2A=0,贝h与AB的面积为一.

2

【变式3-3】已知《、骂是双曲线/一（_=1的左右焦点，过F2的直线/交双曲线右支于两点，弓、4分别

是△△月居和LBFR的内切圆半径，则a+2的取值范围是.

22

【变式3-4］（2024•广东珠海•一模）已知点尸在双曲线C:工-二=1上，小弱分别是双曲线C的左、右

6436

焦点，若.尸耳工的面积为45,则忸耳|+|「蜀=一.

22

【变式3-5］（2024•广西•模拟预测）己知双曲线C的方程为上-匕=1,其左右焦点分别为片，F2,已知

169

0P.pFFF,PF

点尸坐标为（4,2）,双曲线C上的点。小,％）（%>。，%>0）满足设-的g的内

切圆半径为厂，则厂=—,工F］PQ~SAF^PQ+=•

题型四：双曲线上两点距离的最值问题

22

【典例4・1】（2024•江苏南京•模拟预测）已知尸是双曲线C:土-匕=4（4〉0）上任意一点，若。到。的两

84

2

条渐近线的距离之积为］,则。上的点到焦点距离的最小值为

22

【典例4-2】双曲线上-匕=1（加＞0,〃＞0）的离心率是2,左右焦点分别为片,心尸为双曲线左支上一点,

mn

则\高PF2的\最大值是（

【方法技巧】

利用几何意义进行转化.

22

【变式已知双曲线C：工-匕=1的左焦点为尸，且P是双曲线上的一点，则|尸周的最小值为.

916

22

【变式4-2］（2024•高三・浙江台州•期中）已知双曲线C:5-上=1（。＞0）,尸为左焦点，若。=2,则双曲

线离心率为_；若对于双曲线C上任意一点P,线段尸产长度的最小值为1,则实数。的值为

【变式4-3】已知"、尸2为双曲线上-丁=1的左、右焦点，p为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若

尸耳巴内切圆的圆心为/,则圆心I到圆尤2+⑶_Ip=1上任意一点的距离的最小值为.

题型五：双曲线上两线段的和差最值问题

22

【典例5-1】若点P是双曲线C:土-匕=1右支上的一点，点A是圆E:f+(y-5)2=1上的一点，点8是圆

169')

/：(％+5)2+产=1上的一点，则\PA\+|冏的最小值为

22

【典例5-21P是双曲线L-匕=1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5『+y2=4和(X-5)2+/=1上的

916

点，则幽最大值为()

A.6B.7C.8D.9

【方法技巧】

在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义.求解最值问题的过程中，如

果发现动点P在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解.

【变式5-1】过双曲线/-=1的右支上一点P,分别向圆G：(x+犷+/=4和圆：(x-丁+V=1作

切线，切点分别为MN,则俨「的最小值为_；此时P点坐标为—.

22

【变式5-2】歹是双曲线「亍/1的左焦点，P是C右支上一点，过「作与直线-3。夹角为

45的直线，并与/相交于点。，则2|尸石+夜归。|的最小值为

22

【变式5-3］（2024.贵州遵义模拟预测）已知双曲线C：工一二=1的左、右焦点分别为小F2,点A在

1620

双曲线C的右支上，若3（-1,-2）,则|的+|前|的最小值为

22

【变式5-4】已知点M（L2）,点尸是双曲线C:土-匕=1左支上的动点，F?为其右焦点，N是圆

916

。:（x+5『+/=1的动点，则|尸间-|PN|的最小值为___.

【变式5-5】尸为双曲线/-2=1右支上一点，M，N分别是圆"+4）。丁=4和（》-4）2+丁=1上的点,

则归闾-|正时的最大值为.

22

【变式5-6】已知双曲线的方程为土一匕=1,点小尸2是其左右焦点，A是圆5f=4上的一点,

916

点M在双曲线的右支上，则|加耳|+|M4|的最小值是

22

【变式5-7】P是双曲线亍一q_=i的右支上一点，M、N分别是圆（尤+3『+9=2和（x-3y+y2=l上的点,

则1PM—|PN的最大值为.

题型六：离心率的值及取值范围

方向1:利用双曲线定义去转换

【典例6-1】已知双曲线C：—1=l（a>0,6〉0）的左、右焦点分别为耳耳,焦距为2c（c>0）.若双曲线

C右支上存在点尸，使得|P阊=4°,且S两为=12",则双曲线C的离心率0=（）.

A.遥B.—C.76+1D.而

22

【典例6-2]（2024•河南周口•模拟预测）已知双曲线C:3-斗=1（。>0,。>0）的左、右焦点分别为耳，F2,

ab

过点片作倾斜角为30。的直线/与C的左、右两支分别交于点尸，Q,若W+声号.（外尸-玛。）=0,则

心尸|\F2Q\）

C的离心率为（）

A.72B.6C.2D.75

【变式6-1]（2024・高三•河北邢台•开学考试）已知双曲线M的左、右焦点分别为耳,耳，过点K且与实轴垂

直的直线交双曲线M于A3两点.若鸟为等边三角形，则双曲线"的离心率为（）

A.73B.金C.2D.73+1

方向2：建立关于。和c的一次或二次方程与不等式

22

【典例7-1】已知双曲线C：3-2=l(a>0,b>0)的右焦点为E(c,O),若a,b,c成等比数列，则C的离

ab

心率为()

A^3—1口A/5—1r45+1八y/3+1

2222

22

【典例7-2】若双曲线C：。一斗=l(a>0,6>0)的渐近线与圆(x-2y+y2=3没有公共点，则双曲线C

ab

的离心率的取值范围为()

C.(1,2)

22

【变式7-1】已知双曲线C：二一一=1(“>0,6>0)的上、下焦点分别为片，F2,尸是C上支上的一点

ab

(不在y轴上)，P居与x轴交于点A,VPM的内切圆在边上的切点为2,^\AB\>2b,则C的离心

率的取值范围是()

A.(1,^^)B.,+oo)C.(1,—)D.(—,+oo)

方向3：利用《=生，其中2c为焦距长，2a=||明一|明|

【典例8-1】已知不工分别是双曲线C:£-方=l（”>0,b>0）的左、右焦点，斜率为g的直线/过耳，交

C的右支于点8,交>轴于点A,且/54&=/ABE，则C的离心率为（）

A.正B.空C.73D.6

33

r223

【典例8・2】已知双曲线U*-2=的左、右焦点分别为FB，过及斜率为;的直线与。的右

ab4

支交于点p,若线段尸耳恰被y轴平分，则c的离心率为（）

A.1B.垣C.2D.3

23

22

【变式8-1】已知耳（-c,0）,g（c,0）分别是双曲线C二一2=1">0,&>0）的两个焦点，P为双曲

ab

TT

线C上一点，尸耳,尸鸟且/月名月=§,那么双曲线C的离心率为（）

A.9B.6C.2D,6+1

方向4：坐标法

22

【典例9-1】已知双曲线C:'-1=1（。>0,。>0）的左焦点为£5为双曲线C的虚轴的一个端点，直线

EB与双曲线C交于点P,若FB=BP，则双曲线C的离心率为.

22

【典例9-2】（2024・四川雅安.三模）设片，鸟分别为双曲线C:鼻-1=1（°＞0,6＞0）的左右焦点，过点F?

ab

的直线交双曲线右支于点河，交y轴于点N,且尸2为线段"N的中点，并满足耳月N,则双曲线C的

离心率为（）

A.B.73+1C.2D.75+1

2

2

【变式9-1］（2024•安徽•模拟预测）已知双曲线C:尤2一七=1仅＞0）的左焦点为凡过坐标原点。作C的

b

一条渐近线的垂线/,直线/与C交于A,8两点，若△钻尸的面积为2叵，则C的离心率为（）.

3

A.3B.V5C.2D.73

方向5：找几何关系，利用余弦定理

22

【典例10-1】已知双曲线C：三-七=1（。＞0,6＞0）的左、右焦点分别为片，F2,。为原点，若以

ab

闺段为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P,且闺尸|=6|0耳，则C的离心率为.

22

【典例10-2】已知双曲线C:1r-方=1（。＞0,。＞0）的左、右焦点分别是耳，不，过点耳的直线与C交于

A,8两点，且片工，现将平面A月工沿片月所在直线折起，点A到达点尸处，使面尸耳后，面84月,

若cos/P鸟B=则双曲线C的离心率为.

22

【变式10-1】（2024•高三•湖南•开学考试）已知々为双曲线C:与-斗=l（a>0,b>0）的左焦点，。为双曲

ab

22

线C左支上一点，ZOFlQ=^,2\QF^=yla+b,则双曲线C的离心率为（）

A.3B.2C.百D.屈+1

【变式10-2】已知片、耳是双曲线C:3-当=1（。>0,6>0）的焦点，点P是双曲线C上的动点，若

ab

PF}=2PF2,ZfJPF,=60,则双曲线C的离心率为

方向6：找几何关系，利用正弦定理

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【典例11一1】（多选题）已知双曲线C:「-2=l（6>a>0）的左、右焦点分别为久,后，双曲线上存在点P