相交线（原卷版）-2024年七年级数学寒假提升学与练（人教版）

第01讲相交线

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制卜角：衢卜角互补

TS情况----------------------

相-----------对顶角：对顶角相等

-----------------------------

交-----------存在性和唯f

相交成直角一垂线

线----------------------垂线段最短T点到直线的距离

।市—一士d二'同位角、内错角、同旁内角

JH两条直线被第三条直线所载-------------------------

国板回回

知识点1：相交线

1.相交线的定义

在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的

交点.如图1所示，直线AB与直线8相交于点O.

图1

2.对顶角的定义

若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角.

如图2所示，/I与N3、/2与/4都是对顶角.

注意：两个角互为对顶角的特征是:

（1）角的顶点公用;

（2）角的两边互为反向延长线;

（3）两条相交线形成2对对顶角.

3.对顶角的性质：对顶角相等.

4.邻补角的定义

如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为

邻补角.如图3所示，N1与/2互为邻补角，由平角定义可知/1+/2=180。.

知识点2：垂线

1.垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一

条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如下图，两条直线互相垂直，记作或ABLCD

垂足为点O.

注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即：

ZAOC=90°、暨'CDLAB.

'性质

2.垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角

边和己知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直

线就为已知直线的垂线(如图所示).

(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上,

也可能在线段的延长线上.

(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段.

3.垂线的性质：

(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.

4.点到直线的距离：

定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.

图4

如图4所示，式的垂线段PB的长度叫做点P到直线m的距离.

注意：

（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；

（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度.

知识点3：三线八角

两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示.

（1）同位角：可以发现/I与N5都处于直线/的同一侧，直线。、6的同一方，这样位置的一对角就是同

位角.图中的同位角还有/2与N6,/3与N7,/4与/8.

（2）内错角：可以发现/3与/5处于直线/的两旁，直线。、〃的两方，这样位置的一对角就是内错角.图

中的内错角还有/4与/6.

（3）同旁内角：可以发现N4与/5都处于直线/的同一侧，直线6的两方，这样位置的一对角就是同

旁内角.图中的同旁内角还有/3与/6.

图5

应回生晅

，考点剖析

考点一：邻补角

【典例1】如图所示，直线A3,CO交于点0,射线ON平分NAOC,若=36。，则—3OC等于（）

C.108°D.54°

【变式1-1】下列图形中，4与N2是邻补角的是（）

【变式1-3】如图，已知。是直线C。上的点，平分/30C,ZAOC=35°,则-30。的度数为.

考点二：对顶角及其性质

【典例2］如图，已知直线AB与CD相交于点孔E4平分NCEE,若NCFE=70°,则N3ED度数是（）

【变式2-1】光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示.小华为了观察光线的折射现象，设计了图

②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块.图③是实验的示

意图，点4C,B在同一直线上，下列各角中，的对顶角是（）

法线

I

A.ZBCDB.NFDBC.ZBDND./CDB

【变式2-2］如图，两条直线相交于点。，若/1+/2=60。，贝1/2=度.

【变式2-3】【真实问题情境】如图，为了测量古塔外墙底角/AO3的度数，王明设计了如下方案：作40,

BO的延长线OD,0C,量出NCOD的度数,就得到了-493的度数，王明这样做的依据是

考点三：垂线的定义

【典例3】如图，直线至，CZ）相交于点O,NAOC:NAOD=7:11,OE_LO£OE平分N30D,则ZDO尸

的度数为（）

F

C

A.55°B.45°C.65°D.70°

【变式3-1］如图，在同一平面内，OALl,OBU,垂足为。，则。4与。8重合的理由是（）

"B

<<A

——#---------/

A.两点确定一条直线

B.垂线段最短

C.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D.垂直于同一直线的两条直线平行

【变式3-2］如图，直线AB、CD相交于点于点。，且/BQD=35。，则/COE=（）

【变式3-3］如图，OA1m,OB1m,则A,O,5三点共线的理由是（）

A

_______c______m

O

B

A.垂线段最短

B.两点确定一条直线

C.过一点只能作一条垂线

D.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

考点四：垂线的画法

【典例4】如图，已知直线8C和直线外一点A,按下列要求作图：过点C作垂足为点D

A

B

【变式4-1】下列各图中，过直线/外一点尸画它的垂线CO,三角板操作正确的是（）

D

P

C

C.C.

MM

A--BA--B

图1图2

⑴若要从C走到码头V,请在图1中作出最短路线示意图.

（2）现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图2上作出所需水管最短的铺设方案.

考点五：垂线段的性质

【典例5】如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是（）

起

跳「

8

线LL

4

短

线段最

B.垂

直线

定一条

两点确

A.

定义

垂直的

D.

短

线段最

点之间

C.两

斑

走过

方向

路的

直马

沿垂

行人

觉得

.小丽

马路

通过

全地

人安

导行

了引

是为

作用

线的

，斑马

】如图

5-1

【变式

）

是（

依据

数学

现的

法体

一想

，这

合理

更为

马线

段最短

.垂线

垂直B

直线

已知

线与

条直

有一

且只

点有

过一

A.

直线

定一条

两点确

D.

短

线段最

间，

点之

C.两

后

。，然

点

于

作

点P

家，过

水到

引河

小河

门前

划从

处，计

在点尸

畅家住

，小

所示

】如图

5-2

【变式

是.

依据

法的

样做

，这

工钱

料和

省材

可节

管，

铺水

沿尸。

一

上的

段AD

为线

,E

接AO

点，连

意一

的任

边上

为BC

,。

BC

AC±

中，

ABC

角形

，三

如图

5-3］

【变式

）

为（

小值