统计案例-2023年高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）

专题08统计与概率

第26练统计案例

1维练基础

1.（2022•河南洛阳•模拟（文））甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计

算出相关指数笈，则线性相关程度最高的是（）

甲乙丙T

R20.870.910.580.83

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【解析】R2越接近于1,两个变量的线性相关程度越高.

0.91>0.87>0.83>0.58,则线性相关程度最高的是乙

故选：B.

2.（2022•辽宁葫芦岛•二模）某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：。C）的关系.

现收集了7组观测数据（4％）（，=L2,L,7）得到下面的散点图：

350

300

4/-

聂250

昌200

It150

100

50-♦

o'-------1-

为2224262830323436

温度/°C

由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度尤的回归方

程类型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+—C.y=a+bQxD.y=a+b\nx

x

【答案】c

【解析】由散点图可以看出红铃虫产卵数y随着温度x的增长速度越来越快，

所以y=。+加'最适宜作为红铃虫产卵数y和温度X的回归方程类型.

故选：C

3.（2022•四川成都•模拟（理））下图是某地区2001年至2021年环境保护建设投资额（单位：万元）的

折线图.

投资额/万元

350

300311

250226248

256

200230

150183204

100

4753

50

*

年份

根据该折线图判断，下列结论正确的是（）

A.为该地2022年的环境保护建设投资额，应用2001年至2021年的数据建立回归模型更可靠

B.为该地2022年的环境保护建设投资额，应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠

C.投资额与年份负相关

D.投资额与年份的相关系数厂<0

【答案】B

【解析】因2009年之前与2010年之后投资额变化较大，故为该地2022年的环境保护建设投资额，应用2010

年至2021年的数据建立回归模型更可靠，所以A错误，B正确；随年份的增长，投资额总体上在增长，所

以投资额与年份正相关，厂>0,故CD错误.

故选:B.

4.（2022•陕西宝鸡•一模（文））某机构通过抽样调查，利用2x2列联表和K?统计量研究患肺病是否与吸

烟有关，计算得K?=3.305,经查对临界值表知尸（片22.706）。0.10,P（^2>3.841）^0.05,现给出四个结

论，其中正确的是（）

A.因为K?>2.706,故有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关"

B.因为3.841,故有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”

C.因为甚2>2.706,故有90%的把握认为“患肺病与吸烟无关”

D.因为片<3.841,故有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”

【答案】A

【解析】因K?=3.305,5.3.305>2.706,由临界值表知，P(K2>2.706)-0.10,1-0.1=90%,

所以有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；.

因临界值3.841>3.305,则不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，

也不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”，即B,D都不正确.

故选：A

5.（2022•陕西•西北工业大学附属中学模拟（理））设变量y与x的回归模型A、模型8、模型C相应的相

关系数厂的值分别为0.28、0.35、0.3,则拟合效果最好的是模型______.

【答案】B

【解析】因为相关系数的绝对值越接近于1,则回归模型的拟合效果越好，

又因为0.35>0.3>0.28,所以拟合效果最好的是模型B.

故答案为：B.

6.（2022•江苏扬州•模拟）用模型y=去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设z=lny,求得线

性回归方程为z=0.3尤+4,则k的值为.

【答案】0.3

【解析】由题意知，y=ce",故lny=lnc+日，

设z=lny,求得线性回归方程为2=0.3x+4,

两式相比较，.・"=0.3,

故答案为：0.3

7.（2022•福建•莆田二中模拟）已知变量y关于龙的回归方程为>若对>=/皿两边取自然对数,

可以发现Iny与x线性相关，现有一组数据如下表所示，x=5时，y值为.

X1234

yee3e4e6

【答案】,

［角军析］对,=3>05两边取对数，得lny=fcc—0.5令z=lny贝I］z=6x_0.5

X1234

yee3e6

z1346

-1+2+3+4――1+3+4+6、「

x——2.5,z-=3.5

44

代入彳=宸一0.5得3.5=。2.5—0.5故力二1.6

L6%-05

故z=1.6%—0.5,y=e-

当X=5时，y=e1.6x5-0.5_e5

故答案为：/

2维练能力

1.（2022•云南师大附中模拟（理））某中学有学生近600人，要求学生在每天上午7：30之前进校，现有

一个调查小组调查某天7：00~7：30进校人数的情况，得到如下表格（其中纵坐标》表示第x-l分钟至第x

分钟到校人数，14尤W30,xeN*,如当x=9时，纵坐标y=4表示在7：08~7：09这一分钟内进校的人数

为4人）.根据调查所得数据，甲同学得到的回归方程是y=3.6尤-27（图中的实线表示），乙同学得到的回

归方程是y=0.82e°®（图中的虚线表示），则下列结论中错误的是（）

A.7：00~7：30内，每分钟的进校人数y与相应时间x呈正相关

B.乙同学的回归方程拟合效果更好

C.根据甲同学得到的回归方程可知该校当天7：09~7：10这一分钟内的进校人数一定是9人

D.该校超过半数的学生都选择在规定到校时间的前5分钟内进校

【答案】C

【解析】对于A,根据散点图知，7：00~7：30内，每分钟的进校人数，与相应时间x呈正相关，故A正

确；对于B,由图知，曲线y=Q82e。a的拟合效果更好，故乙同学的回归方程拟合效果更好，故B正确；

对于C,表格中并未给出对应的值，而由甲的回归方程得到的只能是估计值，不一定就是实际值，故C错

误；对于D,全校学生近600人，从表格中的数据知，7：26~7：30进校的人数超过300,故D正确，

故选：C.

2.（2022•宁夏•银川一中模拟（文））已知下列命题：

①回归直线§恒过样本点的中心15）；

②两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近于1；

③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.

则正确命题的个数是（）.

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】由回归方程的性质可得，回归直线》=%+》恒过样本点的中心口,亍），①对，

由相关系数的性质可得，两个变量线性相关性越强，则相关系数『|就越接近于1,②对，

根据残差的定义可得，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，③对，

故正确命题的个数为3,

故选：D.

3.（2022•河北唐山•三模）下列说法正确的是（）

A.数据玉,马，W，…，马的方差是0.1，则有数据1。%-1,109T，1°WT，…I。%T的方差为9

B.将4名学生分配到2间宿舍，每间宿舍2人，则不同的分配方法共有C：A；种

C.从4名男医生和5名女医生中选出3名医生组成一个医疗小分队，既有男医生又有女医生的组队方案共

有C；c；c；种

D.在回归直线方程9=0.25x+1.5中，相对于样本点（2,1.2）的残差为-0.8

【答案】D

【解析】对于A,由已知得，DX=0.1,则对于10X-1,可得，r>（10X-l）=102xDX=10,A错误；对于

B,将4名学生分配到2间宿舍，每间宿舍2人，则不同分配方法有C：种，B错误；对于C,从4名男医生

和5名女医生中选出3名医生组成一个医疗小分队，既有男医生又有女医生的组队方案共有

C-C：-C；=84-4-10=70种，而C；C£；=140种，故C错误；对于D,残差

e.=y.-y.=y.-bxt-a=1.2-0.25x2-1.5=-0.8,故D正确；故选：D

4.（2022•湖北武汉•模拟）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表:

性别

跳绳合计

男女

爱好402060

不爱好203050

合计6050110

m知K=”(ad-bcY

(a+b)(c+d)(a+c)(6+1)

P(K2>k)0.050.010.001

k3.8416.63510.828

则以下结论正确的是（）

A.根据小概率值c=0.001的独立性检验，爱好跳绳与性别无关

B.根据小概率值a=0.001的独立性检验，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001

C.根据小概率值a=0.01的独立性检验，有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别无关”

D.根据小概率值a=0.01的独立性检验，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别无关”

【答案】A

n(ad-bc)~110(40x30-20x20)2

【解析】由题知片=工7.822

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)60x50x60x50

因为7.822V10.828,所以爱好跳绳与性别无关且这个结论犯错误的概率超过0.001,故A正确，B错误，又

因为7.822>6.635,所以有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别有关，或在犯错误的概率不超过1%的前提

下，认为“爱好跳绳与性别有关.故C和D错误.

故选：A.

5.（2022•广西桂林•模拟（文））一只红铃虫产卵数，和温度x有关，现测得一组数据（乙,%）（，=1,2,…,10）,

可用模型＞=c声/拟合，设z=lny,其变换后的线性回归方程为1=法一4,若占+%+…+.%=300,

…％0=/,e为自然常数，贝!|%2=.

【答案】0.31

【解析】y=c声/经过z=lny变换后，得到z=lny=C2X+lnq,根据题意lnq=-4,故。1=片4,又

%+々+--+/=300,故［=30，nlnM+ln%+…+111%=50,故［=5，于是回归方程为

z=bx—4-■定经过(30,5),故3()3—4=5，解得5=0.3，即。2=。3,于是c©=0.3e".

故答案为：0.3e-4.

6.（2022•安徽蚌埠•模拟（理））已知变量%》的关系可以用模型y=ceh拟合，设z=lny,其变换后

得到一组数据如下:

X46810

Z2356

由上表可得线性回归方程z=0.7X+O，则C=______.

【答案】e-«

_

・A力工l、-j-rnL4+6+8+10—2+3+5+6

【解析】由表格数据知：1二-----------=7,z=----------=4.

44

由z=0.7%+〃，得7x0.7+a=4,则6=—0.9.

z=0.7x—0.9,

由y=c-e"，,得z=Iny=ln(c-ela)=\nc+\nela=\nc+kx,

/.Inc=-0.9,即,=r9.

故答案为：e《9.

7.(2022•江西赣州•二模(理))用模型7="*拟合一组数据(4％)(，=1,2,,10),若%+%++/=10,,

,跖W)=e7°,设z=lny,得变换后的线性回归方程为2=治+4,,贝Ija仁.

【答案】3e,

【解析】由题意得元=一+々需+%0=13=4+221+Z|o=ln（x：0%。）-7,因为（元君在回归直线

z=bx+4h,所以7=刃+4,另=3,由y=ae*得z=lny=lno+履与2=3x+4比较得：lna=4,a

=e4,k=3,ak=3e4.

故答案为：3e4.

3维练素养

1.（2022•辽宁•鞍山一中模拟）用模型y=£'拟合一组数（4%）［=1,2,…,10）,若%+9++项。=10,

了M为）=e7°,设z=lny,得变换后的线性回归方程为z=灰+4，则成=（）

A.12B.3e4C.4e3D.7

【答案】B

【解析】由已知，X+Z++为。=10,所以；=%+♦、+%。=1,

/%,%o=e7°,z=lny,所以

；_Z1+Z2++=_ln%+ln%++”0_ln（必％,,Xo）_lne70_

z———/,

10101010

由题意，卜,Z）满足线性回归方程为）=放+4，所以7=41+4，所以6=3，

此时线性回归方程为z=3x+4，即Iny=3x+4,

可将此式子化为指数形式y=e3j+4,即为y=e4.e3\

因为模型为模型'=改匕所以°=e4,k=3,

所以成=3e4.

故选：B.

2.（2022•天津•一模）下列说法正确的是（）

A.若随机变量X~N（1,4），尸（X>2）=0.2,则P（0<X<l）=0.2

B.数据7,4,2,9,1,5,8,6的第5。百分位数为5

C.将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变

D.设具有线性相关关系的两个变量无，y的相关系数为r,则越接近于0,x和y之间的线性相关程度越

强

【答案】C

【解析】A.因为随机变量X~N（l,b2）,所以〃=1,因为尸（X>2）=0.2,所以尸（X<0）=0.2,则

P（0<X<2）=l-0.2-0.2=0.6,所以P（0<X<l）=0.3,故错误；B.数据7,4,2,9,1,5,8,6的第50

百分位数为5.5,故错误；C.设一组数据为国,则平均数为尤=_*_«+%+...+%）,方差为

n

S2-布+卜2T2+…+N,将数据中的每一个数据加上同一个常数后为

一］

3+a,4+2...,X”+a,则平均数为X'=一（芯+4+..•+3）+a,方差为

s'?——［（a+己-x'）+（万2+己-X，）+.••+（N〃+a—犬'）］，

=:［■-7）2+但+...+（3-7）］,所以将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差

不变，故正确；D.设具有线性相关关系的两个变量x,y的相关系数为r,则“越接近于1,x和y之间的

线性相关程度越强，故错误；故选：C

3.（2022•黑龙江•哈尔滨三中三模（文））下列命题中正确的是（）

A.数据1,2,3,3,4,5的众数大于中位数

B.对一组数据可（力=1,2,3,一小，如果将它们变为%+C（i=l,2,3,…，小，其中C*0,则平均数和标准差均

发生改变

C.有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9,则样本容量为30

D.一般可用相关指数用来比较两个模型的拟合效果，长越大，模型拟合效果越好

【答案】D

【解析】对于A,数据1,2,3,3,4,5的众数是3,中位数是亨=3,众数等于中位数，故A错误；

对于B,数据％（7=1,2,3,…,〃），如果将它们变为七+C（i=l,2,3,…,〃），其中CwO,则平均数增加C,标准

差不变，故B错误；对于C,有甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9,

则样本容量为：x（3+l+2）=18,故C错误；对于D,由相关指数的性质可得可以通过比较相关指数F的大

小比较两个模型的拟合效果，且R?越大，模型拟合效果越好，故D正确.

故选：D.

4.（多选题）（2022•山东临沂•二模）对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的

结论正确的是（）

yk

16-

12-

8-

4-

O12345O12345%

线性相关系数八线性相关系数乃

A.<0B.r2>1C.{+4>0D.同>|目

【答案】AC

【解析】由散点图可知，线性相关系数石的图像表示y与x成负相关，故故A正确；线性相关系

数G的图像表示y与x正相关，故1＞4＞。，故B错误；•••线性相关系数々的点较线性相关系数彳的点密集,

故|司＞同，故4+4＞。，故C正确，D错误.

故选：AC.

5.（多选题）（2022•湖北武汉•二模）在研究某种产品的零售价x（单位：元）与销售量》（单位：万件）

A.x与y的样本相关系数厂＞0

B.回归直线必过点（16,14.2）

C.b＜0

D.若该产品的零售价定为22元，可销售量是9.7万件

【答案】BCD

【解析】由表中数据可知

-12+14+16+18+2080

x=--------------------------=—=16,

55

17+16+14+13+1171-

y=——=14.2,

55

对于A,根据相关性系数的公式为r=I「_“_,

住(七一x)2力y-y)2

Vz=li=l

故相关系数的正负取决分子

5__

Z(苦一x)(%一y)=(-4)X2.8+(-2)X1.8+0X(-0.2)+2x(-1.2)+4x(-3.2)=-30<0

i=l

故A不正确；对于BC,由变量X与y的均值，得样本点的中心为(16,14.2),

所以样本点的中心(16,14.2)必过线性回归方程，故B正确；将。6,14.2)代入9=加+26.2中，得

14.2=^x16+26.2,解得刃=-0.75，

所以各=一0.75<0，故C正确；因为3=-0.75，所以回归直线方程为9=-0.75X+26.2,

当x=22时，y=-0.75x22+26.2=-16.5+26.2=9.7,

所以该产品的零售价定为22元，可销售量是9.7万件，故D正确.

故选：BCD.

6.(多选题)计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的.处理图像时，常会通过批量调整各

像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观.特别地，当图像像素点规模

为1行〃+1列时，设第i列像素点的亮度为王,则该图像对比度计算公式为之a,-%".已知某像素

〃1=1

点规模为1行〃+1列的图像第i列像素点的亮度％e[0,9](z=1,2,...,«+!),现对该图像进行调整，有2种调整

方案：®yt-aXi+b(a>0,b>0,i=l,2,-,n+l)；②z；=clg(x,+l)(c>0,i=l,2,…,〃+l),则()

A.使用方案①调整，当b=9时,片"C=L2,…,〃+1)

B.使用方案②调