数列的基本知识与概念（六大题型）（练习）解析版-2025年高考数学一轮复习

第01讲数列的基本知识与概念

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：数列的周期性...........................................................2

题型二：数列的单调性...........................................................3

题型三：数列的最大（小）项.....................................................5

题型四：数列中的规律问题.......................................................7

题型五：数列的恒成立问题.......................................................9

题型六：递推数列问题..........................................................11

02重难创新练.................................................................13

03真题实战练.................................................................25

题型一：数列的周期性

1.（2024・四川广安•二模）已知数列｛4｝满足q=2,（MN*）,贝（）

A.-3B.--D.2

2c1

【答案】A

—1

【解析】因为6-2,%=",

%+11

a,—11%—11

所以的=4=

，3出+2

ax+131

6Z3-1_=&T=2.......

a5.?，

4—I，。4+1

又2024=4x506,所以。2024=g=-3

故选：A

2.（2024•河南新乡•二模）已知在数列｛〃“｝中，的=—2,%+%+2=。，贝！J%024=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】由。2=-2,。〃+%+2=0可得。4=2,4=-2,。8=2,…,

—

因此a2n—(1)2,故%024=2,

故选：D

3.若数列｛叫满足q=2,%=3,4=上（△3且〃N*）,则〃2024的值为（）

an-2

1?

A.3B.2C.-D.-

【答案】A

【解析】因为4=2,%=3,风=也小23且〃©N*）,

a„-i'

3a.1a.1a.2a,an

所以%=3=54=%=了%=7=14=或=}%=1=2,融=1=3,...,

所以数列｛%｝具有周期性，且7=6,所以为024=。337*6+2=%=3.

故选：A.

、1

4.（2024.广西南宁•一模）已知数列｛r2｝的首项％=〃（其中awl且。。0）,当时，%=匚；—,则

,1

%024=()

1

A.aB.——C.1--D.无法确定

1一〃a

【答案】B

1a-11

1a.,a4~a-l~a,故数列｛4｝的周期为3

【解析】ax=a,cl2=i---，1Lat

\—a

1-Qa

1

故々2024=々3x674+2=〃2=-----

\-a

故选：B

题型二：数列的单调性

5.已知数列｛%｝的通项公式为%=加2—几—2,若｛〃〃｝为递增数列，则上的取值范围为（）

1

A.(l,+oo)B.(0,+动C.—,+ooD.3，+°°

2

【答案】D

【解析】—n—2,若｛%｝为递增数列，则q+i>Q”（〃£N*）,

有左(〃+1)2—(〃+1)—2>kn2-n-2,解得k>—-—(neN*),

2n+l

则左〉（-2〃+l"

当〃=1时,(2"+Jp所以

则％的取值范围为（g,+8）.

故选：D.

3

6.（2024•内蒙古呼伦贝尔•二模）已知递增数列｛%｝的前〃项和为S“，若%=1,S„+1+2fl,i+1-3=1s„,则

K

上的取值范围为（）

A.（0,4）B.（4,+a））C.（0,3）D.（3,+oo）

【答案】C

【解析】当九=1时，S2+2g—3=—E，即1+%+2出一3二—,贝lj%=--------.

kk3k

33

当“22时，由5向+2见+「3=75”,得S,+24一二九，

kk

32k+32k+3

得。用+2。用一2%=/%，则3aM=^^，易知”,产°，即比"

kk〃〃JR

左+、

又一a,=2F一3,所以,｛%｝是首项为1,公比为毛2k+23的等比数列.

63K3K

又｛%｝单调递增，所以与^>1,解得。〈人<3.

故选：C

7.（2024・高三.河南・期末）已知数列｛七｝是单调递增数列，%=祖（2"-1）-],〃eN*,则实数加的取值范

围为（）

A.（2,+oo）B.（1,2）

C.||，+口D.（2,3）

【答案】C

【解析】由题意可得。“=皿2"-1）-1,由于数列｛%｝为单调递增数列，

aa

即VMeN*，,,+i~n="z（2"M—1）—（〃+1）-1）—=m-2"—2n—l>0,

整理得根〉丝虫，

令b.=E2〃+32n+l1—2〃

则b~b=<0,

n+ln2n+1

所以数列也｝单调递减，故乙号是数列圾｝的最大项,

则机的取值范围为[],+aoj,故C正确.

故选：C.

8.已知等差数列｛qj的前”项和为S"，公差为d,且｛5｝单调递增，若。5=6,则d的取值范围为（）

A.0,|JB.。,雪C.HD.[0,2）

【答案】D

【解析】由｛%｝为等差数列，且%=6,所以%=6+（〃-5）d,

因为数列｛S“｝为递增数列，则%=5,-Si>0,即｛%｝从第二项开始，各项均为正数，

又因为%>0（〃、2）恒成立，所以数列｛%｝为常数数列或递增数列，所以

贝U有为=6+（2-5）d=6-3d>。，解可得d<2,

综上可得，0<d<2,所以实数d的取值范围为［0,2）.

故选：D.

9.已知数列｛g｝的通项公式为%=r-2切，当它为递增数列时，上的取值范围是（）

,3,3

A.k<—B.k4—

22

C.k<\D.k<\

【答案】A

【解析】因为｛q｝是单调递增数列，所以对于任意的weN*，都有

91

即（〃+1）-2^（n+l）>n2-2kn,化简得左<〃+耳，

1133

所以％<几+7对于任意的〃£N*都成立，因为〃+72大，所以上<彳.

2222

故选：A

题型三：数列的最大（小）项

10.已知数列｛加｝的通项公式为4=9"、：1）,则此数列的最大项为（)

A1099999

A-TB.C.D-m

10谈

【答案】D

9向(〃+2)—9"("1)_9"8-"

【解析】方法一:氏+「q=

10"+110〃10"10

当〃<8时，4+1—>0,即。用>4；

当〃=8时，an+1-an=O,即an+1=an；

当">8时，an+l-an<0,即。“+］〈风，

所以％<%<。3<。8=%>。10>>…，

89

所以数列他「“、｝有最大项，为第8项和第9项，且4=%=谭QX9=京Q

an2an-l

方法二：设数列｛4｝的第"项最大，则

%2an+l

9”(w+l).9f

io"_-IO"-1

即Hn《，

9〃e+l)〉9〃+i(“+2)

、10"10^

角牟得8W〃W9,又ZZEN*，则〃=8或般=9,

Q9

故数列｛为｝有最大项，为第8项和第9项，且为=%=」.

故选：D

11.(2024・广东广州•一模)已知数列｛%｝的前〃项和S,,=1+",当鼠三取最小值时，〃=.

an

【答案】3

2

【解析】因为5“="2+〃，则当“22时，an=Sn-Sn_l=n+n-(n-lf-(n-l)=2n,

又当”=1时，％=S[=2,满足%=2w,故a“=2〃；

,5„+92+n+91(9、1

则n二厂=n1一=-«+-+--

%2n2vnJ2

乂y=x+g在(1,3)单调递减，在(3,+s)单调递增；

95+9

故当〃=3时，〃+=取得最小值，也即〃=3时，-一取得最小值.

n〃〃

故答案为：3.

12.(2024.高三・广东潮州•期末)设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且兀=0,几=25,若…£,则

数列圾｝中最小项的值为

【答案】-49

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d，由品)=0,兀=25,

10%+a,=-3

11in

则15(15-1)，解得，2,所以S“

a=—33

15%+—----Ld=253

2

所以仇=小5“=:"一段"2，

令/(x)=gx3-gx2(x>0),贝i]/'(x)=x2-gx,

on70

所以当0<》<当时r(x)<0,当时用x)>0,

所以/'(X)在上单调递减，在(m，+8)上单调递增,

又d=一48,Z?7=-49,所以4＞Z?7＜为＜为＜…,

所以当〃=7时幻取得最小值-49.

故答案为：-49

13.(2024.上海普陀.一模)若数列｛叫满足％=12,an+I=an+2n(n>l,”N),则生的最小值是.

【答案】6

【解析】由已知%-4=2,。3-。2=4,…，an-an_x=2(n-l),n>2,

所以=%+(2_4)+(〃3_〃2)-----(an~1)=12+2+4+…+2(n—1)=12+n(n—l)=n2—n+12,n>2,

又q=12也满足上式，所以4=/一〃+12,

设/（尤）=1+=-1,由对勾函数性质知/（力在（0,2%）上单调递减，在（26,+切）递增,

X

因此｛2｝在“V3时递减，在〃24时递增,

n

D%C1214121-

又一=3-1------1=6,—=4-1-------1=6,

3344

所以生的最小值是6,

n

故答案为：6.

14.已知数列｛4｝的通项公式%=且坐，则数列｛%｝的最大项的值为_______;数列｛%｝的最小项的值

n—11.5

为.

【答案】25-23

.ATI工L、〃+0.512

【解析】由2=——=1+

〃一11.5n-11.5

则当时，。〃随〃的增大而减小，且。〃＜。；

当〃N12（〃£Z）时，。〃随“的增大而减小，且为＞0,

所以数列｛4｝的最大项的值为牝=25；最小项的值为4=-23.

故答案为：25；-23.

题型四：数列中的规律问题

15.（2024・浙江•模拟预测）任意大于1的正整数机的三次幕均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5,

33=7+9+11,43=13+15+17+19，…，按此规律，若加分裂后,其中有一个奇数是2019,则m的值是（）

A.46B.45C.44D.43

【答案】B

【解析】题目所给规律可以表示为等式/=(m2-m+l)+(m2-m+3)+...+(m2-m+2m-l),

故由题目条件知机2—m+1<2019<m2—m+2m—1,即m2—m-2018<0,firn2+m—2020>0.

故<加(加一1)<2018,fm+—>m(m+l)>2020,

这得至I]44<J2020-^<m<J2018+1<46,从而加=45.

2

故选：B.

16.（2024・福建厦门.一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒

或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1,5,12,22被称为五边形数，将所有的五边形数从

小到大依次排列，则其第8个数为（）

【解析】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为4,7,10,13,16,19,22,…，

所以五边形数依次为L5,12,22,35,51,70,92,…，即第8个数为92.

故选：C

17.（2024•全国•模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩

上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”.用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用

6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形.毕达哥拉斯学派把1,3,6,10等叫作“三角数”或“三角形

数”.同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数.如图所示即摆出的六边形数，那

么第20个六边形数为（）

【解析】六边形数从小到大排成一列，形成数列{%},

依题意，4=1=lx[/=6=2x3,%=15=3x5,=28=4x7,%=45=5x9,归纳得—,

所以的）=780.

故选：C

18.（2024.海南•模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释

中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为

0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,­­•,据此可以推测,该数列的第15项与第60项的和为（）

A.1012B.1016C.1912D.1916

【答案】C

【解析】观察此数列，偶数项为2,8,18,32,50,…,可得此时满足」=2/,

奇数项为°,4,12,24,40,…，可得,

所以"16=2x8?=128,Wgg=2x302=1800,则=46-2x8=112,

所以。15+=112+1800=1912.

故选：C.

题型五：数列的恒成立问题

19.（2024・高三・陕西渭南.期中）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，数列｛£｝的前〃项和为1，满足％=2,

3s“=（〃+2应，且。也=：.若对任意〃©N*,2＞北恒成立，则实数2的最小值为.

【答案】:/0.5

【解析】因为3s“=（”+2）为，所以当“22时,3sl=（〃+1）%,

相减得3%=（〃+2）%—（几+1）q_1,即二一77（"22）,

an-ln-L

a,n+1nn—1

所以见=Jj/x-x—x-x=---x----x----x〃（几+1）

321

an-\an-23a2axn-1n—2n—3

当〃=1时，q=2也适合4+,所以4+

又。也=；，7111

所以d=玉=玩

所以W+g11

--1--

33

对任意“eN*，4＞北恒成立，所以彳2：,即实数2的最小值为;.

2z

故答案为：g

20.已知数列｛%｝的通项公式为为=2〃-1.若对于任意〃eN*,不等式2%(4T)>(4-丁恒成立，则实数

2的取值范围为.

【答案】卜8，1)

【解析】由2"%(4一4)>(见—1)2,得2"(2〃-1)(4一㈤>(2〃-2)2,

(〃-1)?

所以4一2>

2,,-2(2n-l)

(IT

设d=

(2n-l)-2"-2

4(1)2-2n3+5rr-2

则2+1—2=

(2M+1)-2"-1(2M-1)-2"-2

2

设/(n)=-2/+5n2_2(n>1),则尸(〃)=-6M+10〃=-2n(3«-5),

令/⑺>0,解得IWwvg,即/⑺在1,［上单调递增，

令广⑺<0,解得w>|,即八"，在g,+8)上单调递减，

又/⑴=1,/(2)=2,/(3)=-11,

所以当“23时,/(«)</(3)<0,即%「bn<0,

所以4>b4>b5>L.

当”=1,2时,f(n)>0,即bn+i-2>0,所以仇<仇<4.

综上，b„<b3=-,所以4一%>*,即彳<£,

555

所以4的取值范围为卜双g)

故答案为：[

21.在数列｛%｝中，％=5,%=44-3,若对任意的”€4,以4-1)22〃-5恒成立，则实数上的最小

值___________.

【答案】77

64

d—1

【解析】由。〃+1=4。〃—3整理得％-1=4&-1),即管3=4,又4—1=4,

an-[

故数列｛9-1｝是以4为首项，4为公比的等比数列，可得4-1=4”,

不等式％(4T)N2九-5,可化为女2女二，

令于8=空安，当1W〃W2时，/(n)<0；

4

当时，/W>0,〃〃+1)一/(〃)=等一亨=一^2<°，

故当“23时，/⑺单调递减，故/("厅/⑶二^，

64

综上，/(〃)工士，

64

所以左2」，故左最小值为

6464

故答案为：--

题型六：递推数列问题

22.（2024・陕西咸阳•三模）在数列｛〃〃｝中，6=1,an+i=an+2n-l,则%=（）

A.43B.46C.37D.36

【答案】C

【解析】法一：由题得%=（4-%）+…+（%-q）+q

=（2〃-3）+（2〃-5）+―+3+1+1=（"吼（；-3）+1]+1=〃2-2〃+2（“22）,

所以%=72-2x7+2=37.

法二：由题6=1,。〃+1—。〃=2几—1,

所1以%=（%一线）+（"6-%）+…+（02—q）+q=11+9+7+5+3+1+1=37.

故选：C.

23.（2024•北京昌平・二模）已知数歹U｛为｝满足为+1=2%,%=4,则数列｛%｝的前4项和等于（）

A.16B.24C.30D.62

【答案】C

【解析】由已知可得，

当〃=1时，—=%=2%=>%=2；

当〃=2时，〃2+1=。3=2%=>〃3=8；

当〃=3时，/+1=%=2%=&=16；

所以数列｛%｝的前4项和等于2+4+8+16=30,

故选：C.

24.我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进

行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲I,同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设从今年

起第〃年绿洲面积为凡万平方千米.

⑴求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an_x(n>2)的关系；

(2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%?(1g2^0.3010)

［解析［(1)由题意得为=(1一4%)4_］+(1—@T)X16%=0.96^+0.16-0.16^

44

=+0.16=jan_x+—,

44

所以4=二。1+玉("EN/22).

44

(2)由⑴得”〃=二"〃-1+石,

341(4114

又4=白，所以4T=4，所以是以t为首项，1为公比的等比数列,

J.J乙IJJJ

41MY-1

•••—H，

4?

两边取常用对数得(〃-

,2

所以"一1々J27g5Jg2一(7g2)

1421g2-lg521g2-(l-lg2)

5

_21g2-l^2x0,3010-1_0,398

31g2-l3x0.3010-10,097''

.'.AZ>5.1,

•••至少经过6年，绿洲面积可超过60%.

25.(2024•天津河西•模拟预测)已知桶4中盛有3升水，桶为中盛有1升水.现将桶&中的水的(和桶当中

的水的1倒入桶中,再将桶与桶中剩余的水倒入桶耳中；然后将桶中的水的2;和桶中的水的!1

jA4B0ABX

倒入桶4中，再将桶A与桶B,中剩余的水倒入桶B2中；如此继续操作下去.

（1）求操作1次后桶耳中的水量;

（2）求操作〃次后桶纥中的水量;

（3）至少操作多少次，桶4（〃eN*）中的水量与桶立（〃eN*）中的水量之差小于金升？（参考数据:

lg2ao.3010,lg3~0.4771）

【解析】（1）记桶4中的水量为4,桶纥中的水量为纥，〃cN,

125

所以4=]4+耳'°=§.

1?

（2）根据题意可得：4+纥=4,纥=§4_]+§纥T，

所以纥=g（"纥一1）+^纥一1=g纥.1+；所以纥—2=g（Bn_x-2）,

即数列｛用-2｝是以反-2=-；为首项，（为公比的等比数列，

■■-^-2=(-1)-^,所以纥=2-.

(3)4=4-用=[1+2,二凡一用=21£|,

令2.仕[‘<，，得冉<—,两边取对数,

64（3）128

1Igl28_71g27x0.3010

得〃>logi«4.4,

3商二"^二营0.4771

所以至少经过5次操作，才能使桶4eN*）中的水量与桶4eN*）中的水量之差小于妥.

3册+1,4为奇数

1.（2024.甘肃兰州.一模）数列｛%｝满足％=2]叫%=11则“2024=

[尹%为偶数

A.5B.4C.2D.1

【答案】B

3%+1,%为奇数

【解析】因为q=2叫。用=1

~an,凡为偶数

所以的二34：）"。，a3=La2=^tL,q°u=2,

%012=1，"1013=4,"1014=2,“1015—1,L

又2024=1012+3x337+1,

所以〃2024=^1013=4.

故选：B

2.（2024•高三•山西大同•期末）等比数列｛%｝中，S”为其前〃项和，4=1,且4%,2出,生成等差数列，则

〃eN*）的最小值为（

n

4

A。—2B.D.1

9c/

【答案】D

【解析】设公比为4,

由4%,2%,生成等差数列,得4a2=4。]+a3,

又数列｛4｝为等比数列，所以得4a”=44+°口2,解得“=2,

所以&=七口=",

nn[l-q)n

A,2n—1

令么=----

n

2n+1-12n-l_(n-l)2n+l

则2+i-=>0,

n+1n+

所以数列］:［递增数列,

所以当〃=1时，工取得最小值1.

n

故选：D.

3.（2024•山东济南.二模）已知｛为｝是各项均为正整数的递增数列，｛〃“｝前〃项和为S"，若S.=2024,当〃

取最大值时，an的最大值为（）

A.63B.64C.71D.72

【答案】C

【解析】因为5“=2024是定值，要使当n取最大值时an也取得最大值，｛an｝需满足各项尽可能取到最小值,

又因为｛4｝是各项均为正整数的递增数列，所以4=1，/=2,%=%,♦，am=m,即｛%,｝是首相为1,公差

为1的等差数列，其中根=〃-1；｛/｝的前加项和为也磬;

当机=63时，7T,=63(63+1)=2016<2024；

2

当m=64时，TM=—^--=2080>2024；

又因为2024-2016=8<63,

所以"的最大值为63,此时q=l,a2=2,%=3,…，a62=62,。“取得最大值为。63=63+8=71.

故选：C.

4.（2024・河南•模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人

又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3

再加1,如果是偶数就除以2,这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数旬，按照上述规则实施第〃次

运算的结果为e（〃eN）,若。5=1，且4G=1,2,3,4）均不为1,则/=（）

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

【答案】B

3a,+1,%为奇数

【解析】由题知a-因为%=1,则有:

为偶数

、2

若为为奇数，贝U%=3g+l=l,得g=0,不合题意，所以知为偶数，贝iR=24=2；

若。3为奇数,则。4=3/+1=2,得q=g，不合题意，所以为偶数，a3=2a4=4；

若出为奇数，则。3=32+1=4,得。2=1，不合题意，所以《为偶数，且“2=2%=8；

若生为奇数，则的=3%+1=8,得4=（,不合题意，所以的为偶数，且4=2%=16；

若。0为奇数，则％=3g+l=16,可得％=5；若即为偶数,则%=2%=32.

综上所述：。（）=5或32.

故选：B

5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数

分成许多类，如图中第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1,4,9,16称为正方形数，第三行

的1,5,12,22称为五边形数.则三角形数、正方形数所构成的数列的第5项分别为（）

【答案】B

【解析】三角形数：

第一个数1,第二个数1+2=3,第三个数：1+2+3=6,

第四个数1+2+3+4=10,第五个数1+2+3+4+5=15,

正方形数：

第一个数俨=1，第二个数2?=4,第三个数：3?=9,

第四个数4?=16,第五个数52=25.

故选:B

6.（多选题）（2024•浙江绍兴•二模汨知等比数列｛4｝的公比为,前〃项和为S”，前〃项积为I,且V/eN*,

用<0,则（）

"q

A.数列｛%｝是递增数列B.数列｛。“｝是递减数列

C.若数列｛s.｝是递增数列，则4>1D.若数列｛1｝是递增数列，则4>1

【答案】ACD

【解析】由题意可知5“=—^—^=q（qq）…（q/i）=2，且V〃eN*,<0,

故有六<°旦">°（否则若"。，则普的符号会正负交替，这与V〃N.,普<。,矛盾）,

4>0、Jo1Vo

也就是有q>]或[o<q<1

无论如何，数列｛%｝是递增数列，故A正确，B错误；

,、隆>0

对于C,若数列｛s〃｝是递增数列，即S用-S.=a用>0,由以上分析可知只能,故C正确;

对于D,若数列｛1｝是递增数列，显然不可能是<1,（否则北=“阳〒的符号会正负交替，这与数

列｛1｝是递增数列，矛盾），

从而只能是且这时有冬=4">1,故D正确.

故选：ACD.

7.（多选题）（2024•辽宁・一模）已知数列｛%｝的首项为由,且为+#“-。”=7,贝l］（）

A.存在%使数列｛q｝为常数列

B.存在％使数列｛4｝为递增数列

C.存在为使数列｛4｝为递减数列

D.存在%使得42。"恒成立

【答案】ABD

【解析】因为4+e%"%=7,所以a,=7-e%…<7,

又e""i=7-%，则―=a„+ln(7-an),设/(x)=x+ln(7—x),(x<7),

所以「（尤）=1-/-="，

/-X1-x

所以当x<6时当6<x<7时/'（x）<0,

所以/（x）在（-哂6）上单调递增，在（6,7）上单调递减，

所以〃尤）W〃6）=6,

当q=6时的uq+lna—oJuG,L,an=6,

故当q=6使数列｛a0｝为常数列，故A正确；

当％<6时,由/⑺在（F,6）上单调递增,又〃x）W〃6）=6,

所以为+1=ln（7-见）>。，故B正确；

当6<%<7时,由“X）在（6,7）上单调递减，又〃x）V〃6）=6,

所以/uq+lnO—aJvG,又/（x）在（ro,6）上单调递增且⑹=6,

所以药</<&<…<风<6,所以存在可使得卬24,恒成立，即D正确；

由上述分析可知，不存在的使数列｛为｝为递减数列，故C错误.

故选：ABD

8.（多选题）意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,

13,.…即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下

面关于斐波那契数列｛%｝说法正确的是（）

A.〃口=144

B.42022是奇数

C.々2022—"1+02+03+，，，+々2020

D.a2020+a2024=3。2022

【答案】AD

【解析】由已知得数列｛4｝满足递推关系乙+2=«„+,+

选项A：

Q[2=41+。10=2。]0+a。~3a9+2cL3—5a8+3ci~j—=8x13+5x8=144,A正:石角•

选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，2022=674x3,恰好能被3整除，且的为偶

数，所以。2靖也为偶数，故B错误；

选项C：右选项C正确，又。2022="2021+。2020，贝U的021=+“2+…+”2019，

同理的020=%+。+…+”2018，%）19=%+。+—+出017,依次类推，可得知=%+生，显然错误,故C错误；

选项D:%024="2023+“2022=2a2022+^2021，

所以物）20+%）24=%）20+2%）22+^2021=2%）22+（%）20+%）21）=^^2022，故D正确.

故选：AD.

9.（2024・四川雅安・模拟预测）已知数列｛%｝满足%+2=3。用-2%,q="%=2,｛4｝单调递增，则九的

取值范围为.

【答案】（-02）

【解析】因为。,+2=3%+1-2丹，所以%+2-%+I=2（a“+J-%）,

又因为｛见｝单调递增，所以

所以数列｛。向-。“｝是以。2-％=2-2为首项，2为公比的等比数列，

所以。用一4=（2—九）？修，

所以（2—X）D'T＞即2—九＞0=九＜2,

则2的取值范围为（-e,2）,

故答案为：（一42）.

10.数列｛%｝的通项公式是-妨，若数列｛%｝是递增的，则实数上的取值范围是.

【答案】k＜3

【解析】由数列｛4｝是递增的，则—＞为，即（〃+l）2-M〃+l）＞〃2-加，

整理可得2〃+1—左＞0,由一次函数的单调性且〃eN*,贝U2+1—左＞0,

解得后＜3.

故答案为：k<3.

11.（2024.重庆.二模）记正项数列｛4｝的前〃项和为S“，若.=+LeN*,则+的最小值

23〃

为.

【答案】誓

【解析】当及=1时，q=d=当⑴，则4=1或q=。（舍去），

当“22时，由S"%+1）,得S%（%+1）,

n2"T2

两式相减得2%=一-a,—,得+a“_J（。“一a,--1）=。，

因为。">。，所以。“一a"i=l,

所以数列｛%｝是等差数列，则％=〃,S,=#D,

4>/（x）=x2+—,x>0,则/（x）=2x—厚=2卜「4）,

当X£（O,4）时，/r（x）<0,当X£（4,+8）时，>0,

所以/（X）在（0,4）上单调递减，在（4,内）上单调递增，

,„nfn+1）„.02x3一03x4,

由5=-------随"的增大而增大，S=——=3,S=——=6,

“22232

02128八12815502128“64172

贝”1+k=9+T=T，s；+k=36+w=T，

_128155

所以s；2+k的最小值为号.

故答案为：-^―-

12.（2024•全国•模拟预测）已知等差数列&｝和等比数列出｝满足q+a2=bl+b2=30,a3+a4=b3+2=10,

则数列｛«A｝在n=时取到最小值.

【答案】2或6

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d,等比数列｛£｝的公比为q,

f1ax+d=4（1+q）=30

，

则卜4+54=如2（i+<?）=io

解得q=彳，q2=；,

d=-53

,,35,/1、_45

故见=--5（«-l）=-