中职数学一轮复习：弧度制及任意角的三角函数（含答案）

5.1弧度制及任意角的三角函数

【考点梳理】

1.任意角

(1)角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.我们规定：按逆时针

方向旋转形成的角叫做正角，按顺时囹:方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转，我们

称它形成了一个零角.

(2)象限角

使角的顶点与原点重合，角的始边与无轴的非负半轴重合.角的终边在第几象限，就说这个角是第几

象限角.

①a是第一象限角可表示为｛a|2«7r<a<24兀+与，kWZ｝；

②a是第二象限角可表示为|«|2fc7t+^<ct<2fc7r+7t,左ez｝；

③a是第三象限角可表示为\2kn+Tt<a<2kTt+-it,&ez｝；

④a是第四象限角可表示为｛a|2A7r+5<a<2«7t+27t,左ez｝或｛a|24k—彳<0：<2«兀，&GZ｝.

(3)非象限角

如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.

①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作｛a\a=2kn,k^Z｝；

②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作｛a|a=2依r+小左GZ｝；

③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作｛a|a=2而+去0｝；

④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作｛a|a=2痴+|兀，"ez｝；

⑤终边在x轴上的角的集合可记作｛a|a=E,FZ｝；

⑥终边在y轴上的角的集合可记作{函=加+去左ez}；

⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作{a|a=y,«ez}.

(4)终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S={"=a+2E,k^Z}或

{fi\fi=a+k-3^°#GZ}.

2.弧度制

(1)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.同=：,/是半径为

r的圆的圆心角a所对弧的长.

(2)弧度与角度的换算：360°=&jrad,180°=7t_rad,1°=^rad^0.01745rad,反过来lrad=g^)~57.30°

=57°18'.

(3)若圆心角a用弧度制表示，则弧长公式1=|如；扇形面积公式S扇制|a|/

3.任意角的三角函数

(1)任意角的三角函数的定义

设a是一个任意角，它的终边上任意一点P(x,y)与原点的距离为r(r>0),则sina=夕cosa=%,tana=?

xrr

(xWO).Xcota=-(yWO),seca=-(%WO),csca=-(yWO).

yxy

⑵正弦、余弦、正切函数的定义域

三角函数定义域

sinaR

cosaR

tana

⑶三角函数值在各象限的符号

yy

十十++

0XO0%

———十+—

sinacosatana

4.特殊角的三角函数值

角a0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

71匹7C匹2兀3兀5兀3兀

角a的弧度数0712兀

6432T~6~2

1或近近正1

sinot010-10

222222

亚近1—也

cosa10-101

222~222

不不

近—近

tana01存一小-10存0

3小3

在在

考点一任意角和弧度制

【例题】（1）下列说法正确的是（）

A.终边相同的角相等B.相等的角终边相同

C.小于90。的角是锐角D.第一象限的角是正角

【答案】B

【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于90。的角

是锐角可以是负角，C错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误，故选：B.

（2）与2022。终边相同的角是（）

A.-488°B.-148°C.1420D.222°

【答案】D

【解析】v2022°=5x360°+222°,与2022°终边相同的角是222°,故选：D.

（3）角子所在的象限为（）

O

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】•••％〈一〈三，，角子位于第三象限，故选：C.

626

（4）已知圆心角是2弧度的扇形的周长为4,则扇形的面积为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】由扇形的周长公式得C=2r+/=2r+2r=4厂=4,解得厂=1,所以扇形的面积为

S=-r2-\a\=-xlx2=l,故选：A.

2112

（5）已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A.0B.6C.2D.2a

【答案】C

【解析】依题意可知，半圆的弧长为2兀-1=2兀，圆心角的弧度数为兀，由弧长公式可得该圆锥的母线长为

2冗

—=2,故选：C.

71

7T

（6）与巳终边相同的角的集合是.

【答案】｛川代工+2版，狂Z｝

12

【解析】所有与角a终边相同的角连同角a在内，可构成一个集合S=｛川£=a+k36（T/GZ｝=｛用£=a+2E,/GZ｝.

JTJT兀

与77终边相同的角的集合是｛小丑=7；+2E,kGZ）,故答案为：｛川左w+ZE,kH].

【变式】（1）教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋转多少弧度？（

71717171

A.B.C.D.

1212~66

【答案】A

【解析】将钟表校正的过程中，需要顺时针旋转时针15。，其大小为-15。，故时针需要旋转一冗二弧度，故选:

12

A.

(2)已知々=30。，则下列四个角中与角&终边相同的是()

A.390°B.210°C.150°D.330°

【答案】A

【解析】与a=30°终边相同的角的集合为：{ak=3(T+h360°/eZ},令k=L得a=390。，故选：A.

(3)集合］［及万WaW上万+中的角所表示的范围(阴影部分)是()

【答案】B

TTTT

【解析】当k—2n(nEZ)Ht，2mi<<2mi-\(〃£Z),此时a的终边和0<a0—的终边一样，当左=2〃+l(〃£Z)

44

jrJT

时，2“兀+无。w2师+?t+—(n£Z),此时a的终边和让aw兀+一的终边一样，故选：B.

44

(4)已知某扇形的周长是6cm,面积是2cm"则该扇形的圆心角的弧度数为()

A.1B.4C.1或4D.1或5

【答案】C

2r+l=6

1=2/=4I

【解析】设扇形的弧长为/,半径为L所以1,c,解得r=2或,，所以圆心角的弧度数是a=—=l

r=1r

I2

或4,故选：C.

(5)已知圆锥的底面直径为2,圆锥的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积为()

A.2兀B.3兀C.4兀D.5TI

【答案】B

2兀

【解析】设圆锥的母线长为X,其侧面展开图的弧长为2无，所以三=兀，解得x=2,所以圆锥的表面积为

X

—X7IX4+K=3TI,故选：B.

(6)已知角a=-2020。，则与。终边相同的最小正角是.

【答案】140°

【解析】与a=—2020°终边相同的角的集合为步|，=一2020°+公360。,左eZ},令一2020。+公360。>0。，解得

故当％=6时，6=140。满足条件，故答案为：140。.

考点二任意角的三角函数

[例题](1)已知角a的终边与单位圆交于点,上)则sina的值为()

-且立

A.B.--C.口.1

222

【答案】C

【解析】因为角1的终边与单位圆交于点尸}:，#1所以根据三角函数的定义可知，sine=>=更，故

2

选：C.

(2)已知角。的终边经过点“0,3-〃z),且tan”；，则根=()

D.2

A.yB.1C.2

2

【答案】c

【解析】由题意tand=土*=解得m=2,故选：C.

m2

(3)已知(l,g)是角。终边上一点，则cos2a=()

A.--B.JC.-近D.B

2

【答案】A

1

--11

【解析】因为(1,6)是角。终边上一点，所以c°s“一卜2十(下)22，则8$2]=28$2]-1=-5，故选：A.

(4)已知角6的顶点为坐标原点，始边为X轴的正半轴.若尸(4,y)是角e终边上一点，且Sin6=-笠，则

y=()

A.-6B.-8C.-10D.-12

【答案】B

【解析】因为sin6=-拽，P(4,y)是角。终边上一点，所以y<0,sin6=-'丁-泞,解得>二一8.

5,16+y3

故选：B.

(5)若6满足sin6<0,tan6»>0,则。的终边在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】由sine<0可知e的终边在第三象限或第四象限，又tane>0,则e的终边在第三象限，故选：c.

【变式】(1)已知角a的终边与单位圆交于点A[，-#1,贝IJSina的值为()

A.-立B.--C.且D.1

2222

【答案】A

【解析】根据三角函数的定义可知，sina=y=-正，故选：A.

-2

(2)已知角。的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点(sin30°,cos30°),贝i]cosa=()

A.JB.在C.3D.1

【答案】A

【解析】由三角函数的定义可得cosa=/,sin30'=],故选：A.

Vsin2300+cos23002

(3)已知sin6・tane<0,则角。位于第象限.

【答案】二或三

【解析】当夕为第一象限角时,sin>0,tan>0,sin6-tan6>0；当6为第二象限角时,sin0>0,tan0<0,

sin6Man6<0；当。为第三象限角时，sin6<0,tan6»>0,sin夕tan6<0；当。为第四象限角时，sin6»<0,

tan6<0,sinPtan。〉。，综上，若，则位于第二或第三象限，故答案为：二或三.

(4)已知角a的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，且角a的终边上一点P(2,l),则sin2a=(

A.--B.一至C.正D.-

5555

【答案】D

【解析】由题意，角a的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，且角a的终边上一点尸(2,1),所以

1122124

Sin=722+12=~75'c°sa=J22+12=忑,所以sin2a=2sinacosa=2x存x^=y,故选：D.

(5)已知角a的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与无轴的正半轴重合，终边经过点(-2,%),若

兀

a=?2,则为的值为().

A.-273B.—巫C.243D.撞

33

【答案】C

【解析】因为角a终边经过点(-2,%),且a=?，所以tan?=?,解得%=2后，故选：C.

33—2

【方法总结】

1.要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限

角，但第一象限角不一定是锐角.

IT

2.在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.如a=2fat+30°/GZ),。=上360°十］(左GZ)的

写法都是不规范的.

3.一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷.

4.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

5.牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正

负进行讨论.

6.已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，若含有参数，则要注意对可能情况进

行分类讨论.

5.1弧度制及任意角的三角函数

一、选择题

1.将210。化成弧度为（）

5兀-5兀-4兀-7兀

A.——B.——C.——D.——

6636

【答案】D

717

【解析】210°=210x---=—,故选：D.

1806

2.-2021。的始边是x轴正半轴,则其终边位于第（）象限.

A.一B.二C.三D.四

【答案】B

【解析】-20210=-360°x6+139°,所以-2021。的终边和139。的终边相同，即落在第二象限，

故选：B.

3.下列与角仔的终边一定相同的角是（）

A.—B.kn-^-[kGZ）C.2左刀■+军（kWZ）

333

D.（2%+l）乃+g（%eZ）

【答案】C

【解析】对于选项C：与角夸的终边相同的角为2勿r+g传eZ）,C满足；对于选项B：

/I/I'rr

当k=2几（〃wZ）时，k7i--=ln7r一一^-（左£Z,〃EZ）成立；当左=2〃+l（〃£Z）时，

AjrAjrjr

ki——=（2〃+l）»———2n/r——（^k£Z,〃£Z）不成立；对于选项D：

（2左+1）乃+子=2左左+茎（＞eZ）不成立，故选：C.

4.己知扇形所在圆的半径为2,圆心角的弧度数是2,则该扇形的弧长为（）

A.1B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】因为扇形所在圆的半径厂=2,圆心角的弧度数。=2,所以该扇形的弧长

/=ra=2x2=4,故选：B.

5.一个扇形的半径为3,圆心角为仪，且周长为8,则。二（)

【答案】B

/2

【解析】设扇形的弧长为/,则1=8-3-3=2,则戊=一=；,故选：B.

r3

TT1

6.“尤=_”是“sinx=—”的（）

62

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当X=JTT时，sinx=\：,所以“x=TJT”是“sinx=\9的充分条件，当sinx=1:时，

62622

7TST?"7T1TT

x=—+2版•或x=—+2左乃,keZ,所以=—”是“sinx=—"的不必要条件，即“％=—

66626

是“sinx=!"的充分不必要条件，

2

故选：A.

7.若某时钟的分针长4cm,则从10：10到10：45,分针扫过的扇形面积为（）

A.Ken?C7"2_287r-14»2

B.—cmC.-----cm2D.-----cm

6233

【答案】C

9jr7T

【解析】由题意得,1分钟所对应的弧度数为，则从10:10至IJ10:45分针转过的角的

冗712x16=28兀2,,但

弧度数为-白'35=-?，所以分针扫过的扇形面积为7x飞―cm,故选：C.

30626

8.若点尸（-4,a）在角240。的终边上，则实数。的值是（)

A.4^/3B.-4^C.±4-\/3D.V3

【答案】B

【解析】由三角函数定义，可得tan240。=―^,解得。=-4•tan240。=-4有，故选：B.

9.已知一扇形的周长为28,则该扇形面积的最大值为（）

A.36B.42C.49D.56

【答案】C

【解析】设扇形的半径为R，弧长为/,由题意得2R+/=28,则扇形的面积

119

S=-7?/=-7?（28-2^）=-7?2+147?=-（7?-7）+49<49,所以该扇形面积的最大值为49,

故选：C.

10.在平面直角坐标系中，若角。的终边经过点尸[-sin%,cos§J,贝l]cos〃=（）

A.1B.--C.变D.-巫

2222

【答案】D

1

【解析】由角6的终边经过点「（-si吟,cos",即尸（-g，；），所以cos。=/丁=-/，

\4+4

故选：D.

二、填空题

11.兀的角化为角度制的结果.

【答案】-300。

【解析】一：兀=一13、180）=-300°,故答案为：一300、

12.若扇形的圆心角为210。，半径为6,则该扇形的面积为.

【答案】21%

77T17TT

【解析】圆心角为210。，即?，所以扇形的面积为彳*62*丁=2反，故答案为：2br.

13.2022。是第象限角.

【答案】三

【解析】2022。=5x360。+222。.而222。是第三象限角，因此2022。是第三象限角，故答案

为：三.

14.已知角a的终边与单位圆的交点为尸,则2sina+tana.

9

【答案】痴

433

【解析】角的终边与单位圆的交点为，贝！Jsina=一,tana=——,贝！J

aP5,5

6399

2sin«+tana=故答案为：—.

15.已知扇形的圆心角为2rad,半径为1,则扇形的周长是.

【答案】4

【解析】根据弧长公式/=axr,可得弧长为2x1=2,则扇形的周长为2+1+1=4,故答案

为4

3

16.已知角。的终边经过点。(%3)),且sina=y,则加.

【答案】±4

33

【解析】由题意可知sina=j2+32==^，则加+9=25,解得加=±4.,故答案为：±4.

17.扇形半径为〃，圆心角为60。，则扇形的弧长是.

乃

【答案】=2

3

7T

【解析】扇形半径为万，圆心角为60。，所以，圆心角对应的弧度为1,所以扇形的弧长为

n万2

/=a-r=—-71=——.

33

乃2

故答案为：—.

3

18.已知角6的终边经过点P(x,l)(x>0),且tan(9=x,贝ijsin。的值为.

【答案】互

2

【解析】由于角夕的终边经过点尸(x」)(x>0),所以tand=—=x,得x=l,所以

sin6=T==4,故答案为：也.

2

三、解答题

19.写出在-360。<a<360。之间与-60°的角终边相同的角.

【答案】｛300。,-60。｝

【解析】解：与-60°的角终边相同的角的集合为｛。3=-60。+公36（T/eZ｝,由

157

-360°<-60°+k-360°<360°,得一一<k<~,因为女wZ,所以女=0或左=1,所以。=-60。

186

或300。，所以所求的角的集合为｛300。,-60。｝.

20.已知角a的终边在函数y=尤>0）的图像上，求sina,cosa的值.

【答案】sina=,cosa=

55

【解析】解