第04讲等边三角形的性质和判定（知识解读题型精讲随堂检测）

第05讲等边三角形的性质和判定知识点1：等边三角形的概念和性质知识点2：等边三角形的判定知识点3：含30°的直角三角形等边三角形概念三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.注意：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.2.等边三角形的性质（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.（2）三个角都是60°【题型1：利用等边三角形的性质求边长】【典例1】如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．若BE=2，AE=8，则CE的长是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明△ACD≌△BCESAS，再根据全等三角形的性质即可求解．【详解】解：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，CD=CE，∠ACB−∠DCB=∠ECD−∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE=2，∵AE=8，∴DE=AE−AD=8−2=6，∴CE=DE=6，故选：C．【变式1】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，连接EB、EC，若∠EBC=45°,BC=6，则ED等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明BD=CD=3，∠BDE=90°，再证明∠BED=∠EBC=45°，从而可得答案．【详解】解：在等边三角形ABC中，AD⊥BC，BC=6，∴BD=CD=3，∠BDE=90°，∵∠EBC=45°，∴∠BED=∠EBC=45°，∴DE=DB=3，故选：A【变式2】如图，等边△ABC的边长为2，点D、E分别在边AB、BC上（不与△ABC的顶点重合），将△BDE沿DE翻折，点B落在点F处，则三个阴影三角形的周长和为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，应用转化思想是解题的关键．由折叠的性质可得BD=FD,BE=FE，再把三个阴影三角形的周长和转化成等边△ABC的三边之和，即可解答．【详解】解：∵由折叠的性质可得：BD=FD,BE=FE，∴三个阴影三角形的周长和为：AC+DF+EF+AD+CE=AC+BD+BE+AD+CE，∵AB=AD+BD，BC=BE+CE，∴三个阴影三角形的周长和=AC+AB+BC=2故选：B．【变式3】如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM=10，则DE+DF=（

）A．5 B．10 C．8 D．6【答案】B【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积额，利用等积法求解是解答本题的关键．连接AD，根据S△ABC【详解】解：连接AD，∵△ABC是等边三角形，AM=10，∴AB=AC=BC．∵S△ABC∴12即12∴DE+DF=10．故选：B．【题型2：利用等边三角形的性质求角度】【典例2】如图，△ABC是等边三角形，E为BC上一点，在AB上取一点D，使AD=AE，且∠AED=65°，则∠EAC的度数是（

）A．10° B．20° C．15° D．5°【答案】A【分析】根据等边对等角可得∠ADE=65°，再根据三角形内角和定理求出∠DAE=50°，最后根据等边三角形的性质即可求解．本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用．【详解】解：∵AD=AE，且∠AED=65°，∴∠ADE=65°，∴∠DAE=50°，∵△ABC是等边三角形，∴∠EAC=∠BAC−∠DAE=10°，故选：A．【变式1】如图，等边△ABC的顶点A、B分别在直线a，b上，且a∥b，若∠2=80°，则∠1的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．45°【答案】A【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由平行线的性质可得∠3=80°，再根据等边三角形的性质结合三角形外角的定义及性质求解即可．【详解】解：如图：∵a∥b，∴∠2=∠3=80°；∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∴∠1=∠3−∠C=80°−60°=20°．故选：A．【变式2】如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的中线，点E在AC边上，连接DE，若AD=AE，则∠CDE的度数为（

）A．20° B．25° C．10° D．15°【答案】D【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，先根据等边三角形的性质得∠CAD=12∠BAC=30°,∠ADC=90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADE【详解】解：∵△ABC是等边三角形，且AD是BC边上的中线，∴∠CAD=1∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=180°−30°∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=90°−75°=15°．故选：D．【变式3】如图，在等边三角形ABC中，BD=CE，AD于BE相交于点P，则∠APE的度数是（

）A．80° B．45° C．60° D．70°【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠C=∠ABC=60°，再根据三角形全等的判定定理证出△ABD≌△BCE，然后根据三角形全等的性质可得∠BAD=∠CBE，最后根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：∵ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠C=∠ABC=60°，在△ABD和△BCE中AB=BC∠ABD=∠C∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°，故选：C．（1）三个角相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.【题型3：等边三角形的判定】【典例3】下列条件中，能判定△ABC为等边三角形的是（

）A．∠A=60° B．∠B+∠C=120°C．∠B=∠C D．∠B=60°,AB=AC【答案】D【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为60°，或一个角为60°的等腰三角形．【详解】解：A、不能判定△ABC为等边三角形，不符合题意；B、不能判定△ABC为等边三角形，不符合题意；C、不能判定△ABC为等边三角形，不符合题意；D、能判定△ABC为等边三角形，符合题意；故选D．【变式1】下列条件不能判断△ABC是等边三角形的是（

）A．∠A=∠B=∠C B．AB=BC,∠A=∠CC．AB=BC,∠B=60° D．AB=BC,AC=BC【答案】B【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可．【详解】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；B、AB=BC得到∠A=∠C，那么只能得到△ABC是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意；C、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；D、AB=BC,AC=BC，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意；故选：B．【变式2】若△ABC的三边长a，b，c满足a−b2+∣b−c∣=0，则△ABC的形状是（

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定【答案】C【分析】本题考查非负性和等边三角形的判定，根据非负性得到a−b=0,b−c=0，从而得出a=b=c，即可得出结果．【详解】解：∵∴∵∴a−b=0,b−c=0∴a=b=c，即△ABC是等边三角形．故选：C．【变式3】如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，AD⊥BC．若添加一个条件可以证明△ABC是等边三角形，则这个条件可以是（

）A．∠B=60° B．∠BAD=30° C．AB=BC【答案】D【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定．先证明AD是线段BC的垂直平分线，推出AB=AC，∠DAB=∠DAC，再根据等边三角形的判定定理即可判断．【详解】解：∵D是BC的中点，AD⊥BC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，∠DAB=∠DAC，当添加∠B=60∴△ABC是等边三角形；当添加∠BAD=30°时，则∠BAC=2∠BAD=60∴△ABC是等边三角形；当添加AB=BC时，则AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形；故选：D．【题型4：等边三角形的判定与性质】【典例4】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB，AC=4，∠EDF=60°，∠EDF的两边分别交AB，AC于点E，F，AF=1．(1)求证：△ABD是等边三角形．(2)求AE的长．【答案】(1)见详解(2)3【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=60°，再由AD=AB，即可得出结论；（2）由△ABD是等边三角形，得出∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD，证出∠BDE=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF，结合已知和【详解】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC=1∵∠BAC=120°，∴∠BAD=∠DAC=1又∵AD=AB，∴△ABD是等边三角形．（2）证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD．∵∠EDF=60°，∴∠ADB=∠EDF．∴∠ADB−∠ADE=∠EDF−∠ADE，∴∠BDE=∠ADF．在△BDE与△ADF中，∠DBE=∠DAF=60°BD=AD∴△BDE≌∴BE=AF，又∵AF=1，∴BE=1，∵AC=4，AB=AC，∴AE=AB−BE=AC−BE=3．【变式1】如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，交AE于点P，连接MN．(1)求证：AE=BD；(2)求∠APD的度数；【答案】(1)见解析(2)60°【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质得到AC=DC,∠ACD=60°,EC=BC,∠ECB=60°，证明∠ACE=∠DCB，即可证明△AEC≌△DBC(SAS（2）根据全等三角形的性质得到∠EAC=∠BDC，根据三角形内角和定理即可得到答案．【详解】（1）证明：∵等边△ACD和等边△BCE，∴AC=DC,∠ACD=60°,EC=BC,∠ECB=60°，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE=60°+∠DCE，∠DCB=∠DCE+∠ECB=∠DCE+60°，∴∠ACE=∠DCB，在△AEC和△DBC中，AC=∠DC∠ACE=∠DCB∴△AEC≌△DBC(SAS∴AE=BD；（2）解：∵△AEC≌△DBC(SAS∴∠EAC=∠BDC，∵∠AMC=∠DMP，∠MAC+∠ACM+∠AMC=180°,∠MDP+∠DMP+∠APD=180°，∴∠APD=∠ACD=60°．【变式2】如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=20°，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点D作DE∥AB，交AC于点E．(1)求∠ADC的度数．(2)若△ADC与△EDC的周长分别为11和9，求DE的长．【答案】(1)100°(2)2【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，证明△ADE是等边三角形是解题的关键．（1）由三角形内角和定理得到∠BAC=180°−∠B−∠C=120°，由AD平分∠BAC得到∠BAD=∠CAD=12∠BAC=60°（2）证明△ADE是等边三角形，则AD=DE=AE，由三角形周长得到AD+CD+AC=DE+CD+AC=11,DE+CD+CE=9，则AE=AC−CE=11−9=2，即可得到DE=AE=2．【详解】（1）解：∵∠B=40°，∠C=20°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=120°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=1∴∠ADC=∠BAD+∠B=100°，（2）∵DE∴∠ADE=∠BAD=60°，∴∠AED=180°−∠ADE−∠CAD=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE=AE∵△ADC与△EDC的周长分别为11和9，∴AD+CD+AC=DE+CD+AC=11,DE+CD+CE=9，∴AE=AC−CE=11−9=2，∴DE=AE=2．【变式3】如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．(1)求证：△CDE是等边三角形；(2)若AO=12，求OE的长．【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）证明∠C=60°，CD=CE，即可解决问题．（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠ABD=∠DBC=30°，所OA=OB，再根据直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可得OE的长，即可解决问题．【详解】（1）证明：△CDE是等边三角形．理由如下：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，∴AC=BC，CD=CE=12AC=∴△CDE是等边三角形；（2）解：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，∴AE、BD分别是△ABC的中线，∴∠BAE=∠ABD=∠DBC=30°，∴OA=OB，∴OB=2OE，∴AO=2OE，而AO=12，∴OE=6．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质，在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，做题的关键是掌握在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【题型5：含30°角的直角三角形的性质】【典例5】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，则AB的长为（

A．30 B．15 C．12 D．10【答案】C【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质．直接根据30度角的性质作答即可．【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=2BC=12故选：C【变式1】如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=52cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠QDB=30A．62 B．54 C．64 D．74【答案】A【分析】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为【详解】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，∠PCA=∠BDQ=30°则Rt△ACE中，AE=12同理可得，BF=26cm又∵点A与B之间的距离为10cm∴通过闸机的物体的最大宽度为26+10+26=62(cm)，故选：A．【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD⊥AB于点D，且BD=2，则AD=【答案】6【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握30°所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．先根据直角三角形两锐角互余可得∠A=30°，进而得到∠BCD=30°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得BC=2BD=4；同理可得AB=2BC=8，最后根据AD=AB−BD即可解答．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=60∴∠A=30°，∵CD⊥AB，∴∠BCD=30°，∵BD=2，∴BC=2BD=4，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=8，∴AD=AB−BD=8−2=6．故答案为：6．【变式3】某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知∠A=150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要元．【答案】150a【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于作出AB边上的高，根据相关的性质推出高CD的长度，正确的计算出△ABC的面积．作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，则∠DAC=30°，由AC=30m，即可求出CD=15m，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积为【详解】解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°，∵CD⊥BD，AC=30m∴CD=15m∵AB=20m∴S∵每平方米售价a元，∴购买这种草皮的价格：150a元．故答案为：150a．一、单选题1．已知等腰三角形的一边长为5，且其有一个内角的度数为60°，则该等腰三角形的周长是（

）A．10 B．15 C．18 D．20【答案】B【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，当等腰三角形有一个内角为60°时，该三角形必为等边三角形．因此，无论已知边长为5的是底边还是腰，其余两边均为5，周长可直接计算．【详解】解：∵一个等腰三角形的一个内角为60°，∴该等腰三角形是等边三角形，又∵其一边长为5，∴它的周长是5×3=15．故选：B．2．如图，一辆货车为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1.6m，则AB的长为（

）mA．1.6 B．0.8 C．3.2 D．2.8【答案】C【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据30°所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握30°所对直角边是斜边的一半是解题的关键．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴BC=1∴AB=3.2m故选：C．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，∠B=90°．若AC=2，则AB的长为（

A．12 B．1 C．2 【答案】B【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．【详解】解：∵∠C=30°，∠B=90°，AC=2，∴AB=1故选B．4．如图是某景区一段索道示意图，点A、B之间的距离为30米，∠BAC=30°，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（BC的长）为（

）A．60米 B．45米 C．30米 D．15米【答案】D【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=30则BC=1故选：D．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB,D为垂足，DE交BC于点E，若BE=10，则AC的长为（A．5 B．53 C．10 D．【答案】A【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角定理，含30°角的直角三角形的性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．先利用线段垂直平分线的性质和外角定理得出∠AEC=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴EA=EB=10，∴∠EBA=∠EAB=15°，∴∠AEC=∠EBA+∠EAB=30°，∵∠C=90°，∴AC=1故选：A．6．如图，在等边三角形△ABC中，E为AB上一点，过点E的直线交AC于点F，交BC延长线于点D，作EG⊥AC垂足为G，如AE=CD,AB=6，则GF的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键，作EM∥BC交AC于点M，证明△AEM是等边三角形，进而证明△EMF≌△DCF，得出FM=CF=12CM【详解】解：作EM∥BC交AC于点M，在等边三角形△ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°,AB=AC=6，∴∠AEM=∠B=∠AME=∠ACB=∠A=60°，∴△AEM是等边三角形，∴AE=EM，∵AE=CD，∴EM=CD，∵EM∥BC，∴∠MEF=∠D,∠EMF=∠DCF∴△EMF≌△DCF∴FM=CF=∵△AEM是等边三角形，EG⊥AC，∴GM=AG=∴GF=GM+MF=1故选：B．二、填空题7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为点E，连接AD，若AD平分∠CAB，CD=2，则BD【答案】4【分析】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠DAB=∠DBA，根据角平分线的性质得到DE=DC，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠DBA，∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴∠DAB=∠DAC，DE=DC，∴∠DAB=∠DBA=∠DAC=30°，∴DE=1∴CD=1∴BD=4，故答案为：4．8．在△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=60°，则BC=【答案】4【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，先根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得到△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质解答即可．【详解】解：∵AB=AC=4cm，∠B∴△ABC是等边三角形，∴BC=AB=4cm故答案为：4．9．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠ECD=20°，则∠ABE=°．【答案】40【分析】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由等边三角形三角形的性质推出AD垂直平分BC．由等边三角形的性质推出∠ABC=60°,AD垂直平分BC，得到BE=CE，推出∠EBD=∠ECD=20°，即可求出∠ABE的度数．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD=CD，∠ABC=60°，∴AD垂直平分BC，∴EB=EC，∴∠EBD=∠ECD=20°，∴∠ABE=∠ABC−∠EBD=40°，故答案为：40．10．已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°【答案】80°【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、角形的内角和定理等知识点，掌握折叠后的对应角相等及三角形内角和定理是解题关键．由题意可得∠A=∠B=∠C=60°，由折叠可知∠BDE=∠B′DE，∠B′【详解】解：∵三角形ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．由折叠可知，∠BDE=∠B∵∠ADF=80°，∴∠BDE=∠B∴∠B∴∠CEG=180°−∠BED−∠B∴∠EGC=180°−∠CEG−∠C=180°−40°−60°=80°．故答案为：80°．三、解答题11．如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且AD=CE，求∠BOD的度数．【答案】60°【分析】本题等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点．先根据SAS证明△BCE≌△CAD，再由三角形的外角性质即求解．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE=∠CAD=60°，BC=CA，在△BCE和△CAD中，BC=CA∠BCE=∠CAD∴△BCE≌△CADSAS∴∠CBE=∠ACD，∴∠BOD=∠OCB+∠CBE=∠OCB+∠ACD=∠ACB=60°．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°(1)尺规作图：过点C作斜边AB边上的高CD，垂足为D；（不写作法，只保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若∠A=30°,BC=6，求BD的长．【答案】(1)图见解析(2)3【分析】本题考查尺规作图—作垂线，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键：（1）根据尺规作垂线的方法，作图即可；（2）根据同角的余角相等，结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．【详解】（1）解：如图，CD即为所求；（2）解：∵∠ACB=90°,CD⊥AB，∴∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=∠BDC=90°，∴∠BCD=∠A=30°，∵∠CDB=90°,BC=6，∴BD=113．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交(1)求证：BC=3AD．(2)若AB=6，AD=4，求【答案】(1)见解析(2)18【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，（1）根据等腰三角形的性质得∠C=∠B=30°，再求出∠BAD=∠B，进而得出AD=BD，然后根据直角三角形的性质得DC=2AD，则答案可得；

（2）作AE⊥BC，根据直角三角形的性质得AE=12AB=3，再由（1）得BC=3AD【详解】（1）证明：