2024-2025学年北京市朝阳区三里屯一中高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市朝阳区三里屯一中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.从集合{1,2,3,4,5}中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为(

)A.10 B.15 C.20 D.252.(x2+1A.30 B.20 C.15 D.103.已知函数f(x)=ln(3x)，则f′(3)=(

)A.3 B.1 C.13 D.4.若函数f(x)=log2(x+a)的图象过点(−2,0)，则a=A.3 B.1 C.−1 D.−35.若随机变量X～N(3,σ2)，且P(X≥5)=0.2，则P(1<X<5)=A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.36.如图(1)、(2)、(3)分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是r1，r2，r3，那么r1，r2，r3A.r3<r2<r1 B.7.某校为全体高中学生开设了15门校本课程，其中人文社科类6门，科学技术类6门，体育美育类3门．学校要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程．从全校高中学生中随机抽取一名学生，设该学生选择的人文社科类的校本课程为X门，则下列概率中等于C65C9A.P(X≤3) B.P(X=3) C.P(X≤5) D.P(X=5)8.已知函数f(x)=x2⋅sinx，则f′(A.0 B.π C.π24 9.随机变量X的分布列是．若E(X)=1，则D(X)=(

)X−212Pab1A.0 B.2 C.3 D.410.已知函数f(x)=x3+3x2+bx+c.若函数g(x)=e−xf(x)有三个极值点m，1，A.(−∞,1) B.(−∞,14) C.(−∞,−1)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.函数y=x−1x的定义域为

.(12.已知事件A，B相互独立，P(A)=0.7，P(B)=0.4，则P(B|A)=

．13.设函数f(x)=x，g(x)=x，ℎ(x)=x3，当自变量x从0变到1时，它们的平均变化率分别记为m1，m2，m3，则m1，m2，m3之间的大小关系为

(用“>”“<”“=”连接14.“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图：

则第8行的第7个数是______．15.将若干红球与黄球放进一个不透明的袋子中，这些球的大小与重量完全相同．已知袋子中红球与黄球个数之比为6：4，其中13的红球印有商标，34的黄球印有商标．现从袋子中随机抽取一个小球，则小球印有商标的概率为

．16.合理使用密码是提升网络空间安全的重要手段．密码安全性强弱与其长度、使用字符种类数及排列规律等相关，其中字符可以是数字、字母及一些特殊符号等．某密码的安全性评分主要分为以下四个方面：长度小于等于4个字符5至7个字符大于等于8个字符得5分得10分得30分字母不含字母含字母，全用小写或全用大写含字母，既含小写又含大写得0分得10分得25分特殊符号不含符号含1个符号含大于1个符号得0分得10分得25分数字不含数字含1至2个数字含大于等于3个数字得0分得10分得20分设密码安全性评分为x，若x≥80为安全性较强；60≤x<80为安全性中等；x<60为安全性较弱．

现有一个长度大于8个字符的密码，其安全性评分为85分，给出如下判断：

①该密码既含有小写字母又含有大写字母；

②该密码至少含有3个数字；

③该密码含多于1个特殊符号；

④该密码一定同时含有字母，特殊符号和数字．

其中所有正确判断的序号是______．三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知函数f(x)=ex−3x+1．

(1)求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)求f(x)18.(本小题14分)

毛猴是老北京的传统手工艺品，制作材料都取自中药材，工序大致分为三步，第一步用蝉蜕做头和四肢；第二步用辛夷做身子：第三步用木通做道具．已知小萌同学在每个环节制作合格的概率分别为34，45，23，只有当每个环节制作都合格时．这件作品才算制作成功，

(1)求小萌同学制作一件作品成功的概率；

(2)若小萌同学制作了3件作品，假设每次制作成功与否相互独立．设其中成功的作品数为X.求19.(本小题15分)

发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路.为调查研究，某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图(单位：百辆)：

在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为Q．

(Ⅰ)从2017年至2024年这8年中随机抽取1年，求该年Q值超过50%的概率；

(Ⅱ)现从2019年至2024年这6年中依次随机抽取，每次抽取1个年份，若该年的Q值超过50%，则停止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到Q值超过50%的年份.记抽取的次数为X，求X的分布列和数学期望；

(Ⅲ)记2020年至2024年这5年新能源汽车销量数据的方差为s12，且这5年纯电动汽车销量数据的方差为s22，写出s12与s220.(本小题15分)

设函数f(x)=ln(x+1)ex．

(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(Ⅱ)求f(x)的极值点个数；

(Ⅲ)若x>0时，f(x)x21.(本小题12分)

设A是非空实数集，且0∉A.若对于任意的x，y∈A，都有xy∈A，则称集合A具有性质P1；若对于任意的x，y∈A，都有xy∈A，则称集合A具有性质P2．

(1)写出一个恰含有两个元素且具有性质P1的集合A；

(2)若非空实数集A具有性质P2，求证：集合参考答案1.D

2.C

3.C

4.A

5.A

6.B

7.D

8.B

9.B

10.D

11.[1,+∞)

12.0.4

13.mℎ(x)14.28

15.1216.②④

17.解：(1)由f(x)=ex−3x+1，得f′(x)=ex−3，

∴f′(0)=e0−3=−2，又f(0)=e0+1=2，

∴切线方程为y−2=−2x，即2x+y−2=0；

(2)函数的定义域为R，由(1)可知f′(x)=ex−3，

令f′(x)=0，得ex−3=0，∴x=ln3，

当x<ln3时，f′(x)<0，当x>ln3时，f′(x)>0，18.解：(1)根据题意知，由相互独立事件的概率乘法公式得小萌同学制作一作品成功的概率为：P=34×45×23=25．

(2)根据题意知，X的可能值为：0，1，2，3，显然X～B(3,25)，X0123P2754368所以X的数学期望：E(X)=3×2519.解：(Ⅰ)设从2017年至2024年这8年中随机抽取1年，且该年的Q值超过50%为事件A，

由图表知，

2017年的Q值为3580×100%<50%，2018年的Q值为55121×100%<50%，2019年的Q值为62163×100%<50%，2020年的Q值为85182×100%<50%，

2021年的Q值为121221×100%>50%，2022年的Q值为298398×100%>50%，2023年的Q值为312412×100%>50%，2024年的Q值为366528×100%>50%，

所以在2017年至2024年这8年中，有且仅有2021年至2024年这4年的Q值超过50%，

所以P(A)=48=12；

(Ⅱ)由图表知，在2019年至2024年这6年中，Q值超过50%的有4年，

X

1

2

3

P

2

41所以E(X)=1×23+2×415+3×115=75；

(Ⅲ)s12>s22，理由如下：

从2020年至2024年这5年新能源汽车销量数据的平均数为15(182+221+398+412+528)=17415=348.2，

所以从2020年至2024年这5年新能源汽车销量数据的方差s12=15[(182−348.2)2+(221−348.2)2+(398−348.2)2+(412−348.2)2+(528−348.2)2]=16536.16，

从2020年至2024年这5年纯电动汽车销量数据的平均数为15(85+121+298+312+366)=11825=236.4，

从2020年至2024年这5年纯电动汽车销量数据的方差s22=15[(85−236.4)2+(121−236.4)2+(298−236.4)2+(312−236.4)2+(366−236.4)2]=12509.04，

所以s12>s22．

20.解：(Ⅰ)易知f(x)的定义域为(−1,+∞)，

可得f′(x)=1x+1⋅ex−ln(x+1)⋅exe2x=1x+1−ln(x+1)ex，

此时f′(0)=1，

又f(0)=0，

所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−0=1(x−0)，

即y=x；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=1x+1−ln(x+1)ex，

设g(x)=1x+1−ln21.A是非空实数集，且0∉A.若对于任意的x，y∈A，都有xy∈A，则称集合A具有性质P1；

若对于任意的x，y∈A，都有xy∈A，则称集合A具有性质P2；

(1)由(−1)×(−1)=1，(