第01讲集合的概念及表示-原卷版

第01讲集合的概念及表示知识点1：集合的概念1、概念把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成的一个集合（有时简称集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．2、要点辨析（1）对象：现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的事和物等，都可以看作“对象”，即集合的元素，它具有广泛性，组成集合的对象可以是数、图形、人、物等．（2）集合：集合是一个原式的、不加定义的概念，就如几何重点、线、面一样无法被“定义”；（3）元素：具有共同特征或共同的属性的对象；（4）总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”的含义，因此，一些对象一旦组成集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个体．3.集合的三个特性：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明.（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.知识点2：元素与集合的关系1、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．2、集合中元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．注意：如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如著名的科学家；比较高的人等（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．知识点3集合的表示方法与分类1、常用数集及其记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法或（1）正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作或.（2）自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作.（3）整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作.（4）有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作.（5）实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作.2、集合的表示方法（1）自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合.（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．=1\*GB3①元素与元素之间必须用“，”隔开；=2\*GB3②集合中的元素必须是明确的；=3\*GB3③集合中的元素不能重复；=4\*GB3④集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．=1\*GB3①首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．=2\*GB3②若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．=3\*GB3③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．（4）图示法：画一条封闭曲线，用它的内部表示集合．3、集合的分类（1）一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅；（2）集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成含有0个元素的集合，所以空集是有限集．4、集合相等给定两个集合A和B，如果组成他们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B．知识点4区间的概念1、一般区间的表示设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间2、实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3、特殊区间的表示定义符号数轴表示≥≤在数轴上，用实心点表示包括区间的端点，用空心点表示不包括区间的端点．【常用方法技巧】1、判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2、元素与集合关系的判断方法（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．3、利用集合中元素的特异性求参数（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．4、集合与方程的综合问题（1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集．集合中的元素就是方程的实数根．（2）当方程中含有参数时，往往要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，有时还要进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性．5、集合的新定义问题解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．题型1：判断元素是否构成集合1．下列各组对象不能构成集合的是（

）A．上课迟到的学生 B．2025年高考数学难题C．所有有理数 D．小于的正整数2．下列四组对象中能构成集合的是（）A．宜春市第一中学高一学习好的学生B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数D．倒数等于本身的数3．下列各组对象的全体能构成集合的有（

）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．下列对象能构成集合的是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④5.下列所给的对象能构成集合的是__________．（1）高中数学必修第一册课本上所有的难题；（2）高一（3）班的高个子；题型2：判断是否为同一集合1.下列各组集合中，M与P表示同一集合的是（

）3.下列说法中正确的是（

）A．1与表示同一个集合4.（多选）下面表示同一个集合的是（

）5.（多选）下列说法正确的是（）B．与是同一个集合题型3：判断元素和集合的关系1.下列关系正确的是（

）4．下列元素与集合的关系中，正确的是（

）A．0M B．4M C．2∈M D．4∈M9.若是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是（

）A．3.14 B．5 C． D．题型4：根据元素与集合的关系求参A．或 B． C． D．(3)在集合S中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由.题型5：根据集合元素互异性求参A．2 B．3 C． D．5A．，3 B． C．，3，8 D．，8A．等腰三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形题型6：列举法表示集合7.用列举法表示下列给定的集合：8．用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有正整数组成的集合；(4)由所有正整数组成的集合..A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{，2，3，4}12．用列举法表示下列集合：(1)既是质数又是偶数的整数组成的集合；(2)大于10而小于20的合数组成的集合；(4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合.题型7用描述法表示集合1.对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（

）4.集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合5.用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；6．用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐标系中第一象限的角平分线上的所有点组成的集合；(2)3的所有倍数组成的集合.7．用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的所有自然数组成的集合；(2)比1大又比10小的所有实数组成的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合.8．在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为（

）A．{（x，y）|x＝0，y≠0或x≠0，y＝0}B．{（x，y）|x＝0且y＝0}C．{（x，y）|xy＝0}D．{（x，y）|x，y不同时为零}9．由大于且小于的偶数所组成的集合是（

）10．用描述法表示一元二次方程的全体，应是（

）题型8：根据集合元素个数求参A．1 B． C．0 D．2A．B．1C．D．27.由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（

）A．1 B．－2 C．－1 D．2A．0 B．1 C．1 D．3(1)若A是空集，求实数a的取值范围；(2)若集合A中只有一个元素，求集合A；(3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.题型9：利用集合中元素性质求集合元素个数A．5 B．6 C．8 D．9A．2 B．3 C．4 D．53．“booknote中字母”构成一个集合，该集合的元素个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．84．若A={2，3，4}，B={x|x=n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B的元素个数为A．2 B．3 C．4 D．5A．5 B．6 C．7 D．8A． B． C． D．A．2 B．4 C．6 D．8A．1 B．2 C．3 D．4题型11：集合元素互异性的应用1.有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（

）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形2.已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形题型12：集合的分类1.（多选）下列集合是有限集的是（

）A．不超过π的正整数构成的集合B．平方后等于自身的数构成的集合C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合D．所有小于2的整数构成的集合2.下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（

）A．所有很大的实数组成的集合C．所有大于的偶数组成的集合D．所有到轴距离均为1的点组成的集合3．设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（

）A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集4.（多选）下列集合是无限集的是（

）5.选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集．(1)大于1且小于70的正整数构成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合C；题型13：根据集合相等关系进行计算A． B．0 C．1 D．2A． B．0 C．1 D．2题型13：根据两个集合相等求参数A．或 B． C． D．或3.已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且两集合相等，求a，b的值．题型14：区间与集合的相互表示2.下列叙述正确的是（

）题型15：集合与方程的综合问题】A．1或0 B．0 C．1 D．1或2(1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合.(2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围.题型16：集合的新定义问题A．1 B．2 C．4 D．5A． B． C．8 D．16A．4 B．3 C．2 D．1A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素5.【多选】若对任意x∈A，1x∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“A．-1,1 B．12,2 C．xx7.对于任意两个正整数，，定义运算⊕如下：8.【多选】当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”，对于集合A=-1,12,B=x|ax2=1,A．0 B．1 C．2 D．4巩固练习【选择题】1.下列各组对象不能组成集合的是（

）A．2019篮球世界杯参数队伍 B．中国文学四大名著C．抗日战争中著名的民族英雄 D．我国的直辖市2.若，，，为集合中的4个元素，则以，，，为边长构成的四边形可能是（

）A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形下列命题中正确的是（

）①与表示同一个集合A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对4.下列说法正确的是（

）A．0，2 B．0，1C．1，2 D．0，1，2A．7 B．8 C．9 D．10A．1 B．2 C．3 D．49.（多选）下列说法正确的是（

）A． B．2 C．4 D．6【填空题】【解答题】1.试用集合表示图中阴影部分（含边界）的点.2.已知集合A＝{x|ax2+3x+1＝0}中有且只有一个元素，求由实数a组成的集合．（2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由；（3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由.4.下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？(4)我国的少数民族组成的集合.5.选择适当方法表示下列集合：(4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合；6．用适当的方法表示下列集合：(1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合；(2)被3除余1的所有自然数组成的集合；(3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合；7．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.(3)由大于且小于9的偶数组成的集合.(1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围；(2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围；(3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素.巩固练习2一、选择题1.有下列说法：①集合N中最小的数为1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3A．－1或3 B．0或1C．3 D．－13.已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是（

）A．等腰三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形二、填空题4.由下列对象组成的集体属于集合的是_____(填序号).①不超过10的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数.5.已知集合A=∅,∅，下列选项中均为A①∅

②∅

③∅

④∅6.用符号“∈”或“∉”填空:(1)设集合B是小于11的所有实数的集合,则23________B,1+2________B.

(2)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x的集合,则3________C,5________C.

(3)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)的集合,则1________D,(1,1)________D.(4)若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合,则点(0,0)____A