1.2矩形的性质与判定第3课时（教学课件）数学北师大版九年级上册

北师大版·九年级上册1.2矩形的性质与判定

第3课时

第一章

特殊平行四边形学

习

目

标1.进一步理解矩形的性质及判定，并能灵活运用矩形的性质和判定进行相关的计算和证明;（重点）2.能应用矩形的性质和判定解决综合问题.（难点）知识回顾矩形的性质：边角对角线对称性对边平行且相等.矩形的四个角都是直角.矩形的对角线互相平分且相等.既是中心对称图形，也是轴对称图形(2条对称轴).知识回顾矩形的判定：有三个角是

.对角线

.有一个角是

.ABCD□ABCD四边形ABCDABCD直角直角相等ABCD∟矩形ABCDABDC矩形ABCDABCD矩形ABCD情境引入问题：某学校要修建一个矩形花坛，工人师傅已经测量出花坛的两条相邻边的长度分别为3米和4米，对角线的长度为5米，你能帮助工人师傅判断这个花坛是否为矩形吗？你能用所学的矩形知识来解决这个问题吗？新知探究

探究：矩形性质与判定的综合应用分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.新知探究

新知探究矩形性质的应用：知识归纳

应用矩形的性质解决问题时，常与勾股定理、等腰三角形性质等结合，求解边长、对角线长、角度等。例如，利用矩形对角线将矩形分成四个等腰三角形，通过等腰三角形边角关系计算线段长度；借助矩形的直角，在关联三角形中推导角的度数。新知探究1.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝5，则BD＝

，AD＝

⁠.10

8

新知探究例2：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．求证：四边形ADCE为矩形.分析：由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得四边形ADCE为矩形.新知探究

新知探究知识归纳

需证明一个图形是矩形时，若已知为平行四边形，可通过“一个角是直角”或“对角线相等”判定；若为一般四边形，可通过“三个角是直角”判定。​矩形判定的应用：新知探究2.下列说法中，不正确的是（

）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．有一组邻角相等的平行四边形是矩形C．有一组对角互补的平行四边形是矩形D．有三个角是直角的四边形是矩形A新知探究想一想在例2中，连接DE，交AC于点F（如图）．求证：四边形ADCE为矩形；（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论；（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.解：（1）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由例2知，四边形ADCE为矩形，则AE=CD，AC=DE．又∵AB=AC，BD=CD，∴AB=DE，AE=BD，∴四边形ABDE是平行四边形.分析：(1)利用例2中矩形的对角线相等推知：AC=DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形.新知探究

如图，所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．例1典例分析解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.在△AEF和△DEC中，∵∠AFE=∠DCE,∠AEF=∠DEC,AE=DE,∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD＝DC.典例分析

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∴AB＝AC，BD＝DC，∴∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．

如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为（

C

）A.6 B.8 C.10 D.12例2典例分析C

2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10cm，则EH等于(

)A．8cm

B．10cm

C．16cm

D．24cm1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1,S2，则S1,S2的大小关系是(

)A．S1>S2

B．S1＝S2C．S1<S2D．3S1＝2S2巩固练习基础巩固题BB3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝

°.巩固练习基础巩固题754.如图，矩形ABCD中，AB＝1，E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝

.

5.如图,点D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,MA＝MC.(1)求证：CD＝AN；(2)若∠AMD＝2∠MCD,求证:四边形ADCN是矩形．

巩固练习基础巩固题证明：(1)证△AMD≌△CMN得AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN.

巩固练习基础巩固题（2）证明：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由(1)知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴四边形ADCN是矩形.

6.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F.

（1）求证：四边形AEBO是矩形；巩固练习基础巩固题（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四边形AOBE是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴平行四边形AOBE是矩形.巩固练习基础巩固题（2）若OE＝10，AE＝8，求菱形ABCD的面积.

课堂小结矩形的性质与判定3-矩形性质与判定的综合应用矩形性质的应用应用矩形的性质解决问题时，常与勾股定理、等腰三角形性质等结合，求解边长、对角线长、角度等。例如，利用矩形对角线将矩