2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第3节　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式

第3节两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式【课标要求】（1）会推导两角差的余弦公式；（2）能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并会简单应用.知识点一两角和与差的余弦、正弦、正切公式1.公式C（α－β）：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.2.公式C（α＋β）：cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ.3.公式S（α－β）：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ.4.公式S（α＋β）：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ.5.公式T（α－β）：tan（α－β）＝tanα－tan6.公式T（α＋β）：tan（α＋β）＝tanα＋tan结论两角和与差的公式的常用变形（1）sinαsinβ＋cos（α＋β）＝cosαcosβ；（2）cosαsinβ＋sin（α－β）＝sinαcosβ；（3）tanα±tanβ＝tan（α±β）（1∓tanαtanβ）；（4）tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtan（（1）（2024·全国甲卷理8题）已知cosαcosα－sinα＝3，则tan（α＋π4）A.23＋1 B.23－1C.32 D.1－解析：（1）根据题意有cosα－sinαcosα＝33，即1－tanα＝33，所以tanα＝1－33，所以tan（α＋π4）＝tanα+1（2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α－β）＝（A）A.－3m B.－mC.m3 D.3解析：（2）因为cos（α＋β）＝m，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝m，而tanαtanβ＝2，即sinαsinβcosαcosβ＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，故cosαcosβ－2cosαcosβ＝m，即cosαcosβ＝－m，从而cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝3cosαcosβ规律方法应用三角函数公式解题的策略（1）使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征；（2）特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的；（3）逆用和变形用两角和与差的三角函数公式更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.练1（1）（人A必修一P229习题2题改编）已知0＜α＜π2＜β＜π，cosβ＝－13，sin（α＋β）＝79，则tanα＝解析：（1）由题意知sinβ＝223，∵0＜α＜π2＜β＜π，∴π2＜α＋β＜3π2，又sin（α＋β）＝79，∴cos（α＋β）＝－429，∴sinα＝sin[（α＋β）－β]＝sin（α＋β）cosβ－cos（α＋β）sinβ＝79×（－13）＋429×223＝1（2）tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1.解析：（2）原式＝tan10°tan20°＋tan60°（tan20°＋tan10°）＝tan10°tan20°＋3tan（20°＋10°）（1－tan20°tan10°）＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°＝1.知识点二二倍角的正弦、余弦、正切公式1.基本公式（1）sin2α＝2sinαcosα；（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；（3）tan2α＝2tanα2.公式变形（1）升幂公式：1－cosα＝2sin2α2；1＋cosα＝2cos2α2；tanα＝2tanα21－tan2α2；1±sinα＝（2）降幂公式：sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1+cos2α2；tan2α提醒（1）二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况；（2）二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2（1）化简1+cos4＝（D）A.sin2 B.－cos2C.2cos2 D.－2cos2解析：（1）因为1+cos4＝2cos22，又cos2＜0，（2）〔多选〕（2025·海口模拟）已知α∈（π，2π），sinα＝tanα2＝tanβ2，则（A.tanα＝3 B.cosα＝1C.tanβ＝43 D.cosβ＝1解析：（2）因为sinα＝tanαcosα＝tanα2，所以cosα＝12，又α∈（π，2π），所以sinα＝－32，tanα＝－3，故A错误，B正确.tanβ2＝－32，所以tanβ＝2tanβ21－tan2β2＝－43，cos规律方法应用二倍角公式解题的策略（1）注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系；（2）结合诱导公式恰当变化函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式的形式.练2（1）（2024·九省联考）已知θ∈（3π4，π），tan2θ＝－4tan（θ＋π4），则1+sin2θ2A.14 B.C.1 D.3（2）〔多选〕下列各式中，值为12的是（ACDA.tan22B.tan15°cos215°C.33cos2π12－33D.1解析：（1）∵tan2θ＝－4tan（θ＋π4），∴2tanθ1－tan2θ＝－4tanθ+11－tanθ，∴2tan2θ＋5tanθ＋2＝0，∴tanθ＝－12或－2，∵θ∈（3π4，π），∴tanθ∈（－1，0），∴tanθ（2）∵tan22.5°1－tan222.5°＝12tan45°＝12，tan15°cos215°＝sin15°cos15°＝12sin30°＝14，33cos2π12－33sin2π12＝33知识点三辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin（α＋φ），其中sinφ＝ba2＋（1）（人A必修一P220练习4题改编）求值：cos5π12－3sin5π12＝（A.－22 B.－C.2 D.2解析：（1）∵cos5π12－3sin5π12＝2（12cos5π12－32sin5π12）＝2（cosπ3cos5π12－sinπ3sin5π12）（2）若sinα＋3cosα＝1，则cos（α－π6）＝（BA.32 B.C.－12 D.－解析：（2）因为sinα＋3cosα＝1，所以2sin（α＋π3）＝1⇒sin（α＋π3）＝12，所以cos（α－π6）＝cos（π6－α）＝sin［π2－（π6－α）］＝sin（α＋π规律方法对asinx＋bcosx化简时，要清楚辅助角φ的值如何求.练3（1）（人A必修一P254复习参考题13（2）题改编）在等式（tan10°－3）·sin（*）＝－2cos40°的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是80°；解析：（1）因为等式（tan10°－3）·sin（*）＝－2cos40°可以转化为sin（*）＝－2cos40°tan10°－3＝－2cos40°·cos10°sin10°－3cos10°＝－2cos40°（2）若函数f（x）＝Asinx－3cosx的一个零点为π3，则f（π12）＝－2解析：（2）依题意得f（π3）＝A×32－3×12＝0，解得A＝1，所以f（x）＝sinx－3cosx＝2sin（x－π3），所以f（π12）＝2sin（π12提能点角的变换（1）已知cosα＝45，cos（α＋β）＝35，且α，β均为锐角，则sinβ＝（DA.－750 B.－C.750 D.解析：（1）∵cosα＝45，α为锐角，∴sinα＝35，∵α，β均为锐角，∴α＋β∈（0，π），又∵cos（α＋β）＝35，∴α＋β∈（0，π2），∴sin（α＋β）＝45，∴sinβ＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα＝45×45－35（2）已知cos（α＋π3）＝－45，α∈（0，π2），则sin（α＋π12）＝解析：（2）因为cos（α＋π3）＝－45，α∈（0，π2），所以α∈（π6，π2），sin（α＋π3）＝35，所以sin（α＋π12）＝sin（α＋π3－π4）＝sin（α＋π3）cosπ4－cos（α＋π3）·sinπ4规律方法1.三角函数公式求值中变角的解题思路（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常用拆角、拼角技巧2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝α＋β2－α－β2＝（α＋2β）－（α＋β）；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；π4＋α＝π2－练4（1）（2025·湖南师大附中模拟）已知tan（α＋β）＝12，tan（α－β）＝13，则tan（π－2α）＝（AA.－1 B.1C.－2 D.2解析：因为tan（π－2α）＝－tan2α，tan2α＝tan（α＋β）＋tan（α－β）1－tan（α（2）（2025·临沂模拟）已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos（π4＋α）＝－35，sin（3π4＋β）＝513，则sin解：因为π4＜α＜3π4，所以π2＜π4＋α＜π，所以sin（π4＋α）＝1－cos2（π4＋α）＝45.又因为0＜β＜π4，所以3π4＜3π4＋β＜π，所以cos（3π4＋β）＝－1－sin2（3π4＋β）＝－1213，所以sin（α＋β）＝－sin（π＋α＋β）＝－sin［（π4＋α）＋（3π4＋β）］＝－［sin（π4＋一、单项选择题1.若cosα＝－45，α是第三象限角，则sin（α＋π4）＝（A.7210 B.C.－210 D.解析：B∵α是第三象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－1－（－45）2＝－35，∴sin（α＋π4）＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝2.（2025·扬州模拟）3sin20°－1cos20A.8 B.－8C.4 D.－4解析：C3sin20°－1cos20°＝3cos20°－sin20°sin20°3.（2025·天水模拟）若α＋β＝－3π4，则（1＋tanα）（1＋tanβ）＝（A.12 C.2 D.5解析：Ctan（－3π4）＝tan（α＋β）＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1，所以1－tanαtanβ＝tanα＋tanβ，则1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝2，即（1＋tanα）4.（2025·甘肃高考诊断考试）已知sin（α＋π3）－sinα＝45，则sin（2α－π6）A.725 B.－C.2425 D.－解析：B因为sin（α＋π3）－sinα＝32cosα－12sinα＝cos（α＋π6）＝45，所以sin（2α－π6）＝sin［2（α＋π6）－π2］＝－cos［2（α＋π6）］＝1－2cos2（α5.已知a＝22（sin14°＋sin76°），b＝1－cos122°2，c＝cos20°－sin30°cos40°sin40°A.a＜c＜b B.c＜a＜bC.a＜b＜c D.b＜a＜c解析：Aa＝22（sin14°＋cos14°）＝sin（14°＋45°）＝sin59°，b＝1－cos122°2＝sin261°＝sin61°，c＝cos20°－sin30°cos40°sin40°＝cos（60°－40°)−cos60°cos40°sin40°＝sin606.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为1∶25，则cos（α－β）＝（）A.2425 C.725 解析：A设大正方形的边长为1，由小正方形与大正方形面积之比为1∶25，则小正方形的边长为15，可得：cosα－sinα＝15①，sinβ－cosβ＝15②，由图可得：cosα＝sinβ，sinα＝cosβ，①×②可得125＝cosαsinβ＋sinαcosβ－cosαcosβ－sinαsinβ＝sin2β＋cos2β－cos（α－β）＝1－cos（α－β），解得cos（α－7.（2025·连云港一模）若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos（π4＋α）＝13，cos（π4－β2）＝33，则cos（A.33 B.－C.539 D.解析：Ccos（α＋β2）＝cos［（π4＋α）－（π4－β2）］＝cos（π4＋α）cos（π4－β2）＋sin（π4＋α）sin（π4－β2）.∵0＜α＜π2，则π4＜π4＋α＜3π4，∴sin（π4＋α）＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，∴sin（π4二、多项选择题8.下列结论正确的是（）A.sin（α－β）sin（β－γ）－cos（α－β）cos（γ－β）＝－cos（α－γ）B.315sinx＋35cosx＝35sin（x＋π6C.f（x）＝sinx2＋cosx2D.tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1解析：AD对于A，左边＝－[cos（α－β）cos（β－γ）－sin（α－β）sin（β－γ）]＝－cos[（α－β）＋（β－γ）]＝－cos（α－γ），故A正确；对于B，315sinx＋35cosx＝65（32sinx＋12cosx）＝65sin（x＋π6），故B错误；对于C，f（x）＝sinx2＋cosx2＝2sin（x2＋π4），∴f（x）的最大值为2，故C错误；对于D，∵1＝tan45°＝tan（12°＋33°）＝tan12°＋tan33°1－tan12°tan33°，∴tan12°＋tan339.（2025·临川模拟）已知α，β，γ∈（0，π2），sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则下列说法正确的是（A.cos（α＋γ）＝12 B.cos（β＋γ）＝－C.β－α＝π3 D.β－α＝－解析：ABC由已知，得sinγ＋sinα＝sinβ，cosα－cosγ＝cosβ，两式分别平方相加，得（sinγ＋sinα）2＋（cosα－cosγ）2＝1，sin2γ＋sin2α＋2sinγsinα＋cos2α＋cos2γ－2cosαcosγ＝1，整理得2（sinγsinα－cosαcosγ）＝－1，∴cos（α＋γ）＝12，∴A正确；同理由sinβ－sinγ＝sinα，cosβ＋cosγ＝cosα，两式分别平方相加，易得cos（β＋γ）＝－12，∴B正确；由sinβ－sinα＝sinγ，cosα－cosβ＝cosγ，两式分别平方相加，易得cos（β－α）＝12.∵α，β，γ∈（0，π2），∴sinγ＝sinβ－sinα＞0，∴β＞α，∴β－α＝π3，∴C正确，D错误.故选A三、填空题10.求值：sin220°（tan10°－3）＝1.解析：原式＝－sin40°（sin10°cos10°－3）＝－sin40°·sin10°－3cos10°cos10°＝－sin40°·11.（2025·滨州一模）“在△ABC中，cosAcosB＝＋sinAsinB”，已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是b＜a＜c.解析：由题意，得横线处的实数等于cos（A＋B），即cos（π－C），故当C是直角时，a＝cos（A＋B）＝cosπ2＝0；当C是锐角时，－1＜b＝cos（A＋B）＜0；当C是钝角时，0＜c＝cos（A＋B）＜1，故b＜a＜c12.（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝2＋1，则sin（α＋β）＝－223解析：法一由题意得tan（α＋β）＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝41−(2+1）＝－22，因为α∈（2kπ，2kπ＋π2），β∈（2mπ＋π，2mπ＋3π2），k，m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－22＜0，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋3π2，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，则sin（α＋β）＜0，则sin（α＋β）cos（α＋β）＝－法二由法一得tan（α＋β）＜0，sin（α＋β）＜0，故α＋β为第四象限角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－22），则r＝｜OP｜＝1+8＝3，所以sin（α＋β）＝－22法三易得tan（α＋β）＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝41－2－1＝－22.又tanα＋tanβ＝sinαcosα＋sinβcosβ＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＝4，所以sin（α＋β）＝4cosαcosβ.由α为第一象限角，β为第三象限角，得cosα＞0，cosβ＜0，所以sin（α＋β）＝4cosαcosβ＜0.由tan（α＋β四、解答题13.已知函数f（x）＝2cos2x＋23sinxcosx.（1）求f（π3）的值（2）若f（α2）＝115，α∈（0，π3），求cos解：（1）因为f（x）＝2cos2x＋23sinxcosx＝1＋cos2x＋3sin2x＝1＋2sin（2x＋π6）所以f（π3）＝1＋2sin（2π3＋π6）＝1＋2sin5π6＝（2）由f（α2）＝115，α∈（0，π3），得sin（α＋π6）＝35，cos（α＋所以cosα＝cos［（α＋π6）－π6］＝cos（α＋π6）cosπ6＋sin（α＋π6）14.（2024·安庆期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α（π6＜α＜π2）的顶点是坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O交于点A（x1，y1），将角α的终边绕原点逆时针方向旋转π3，交单位圆O于点B（x2，y（1）若x1＝35，求x2的值（2）分别过A，B向x轴作垂线，垂足分别为C，D，记△AOC，△BOD的面积分别为S1，S2.若S1＝2S2，求角α的大小.解：（1）由已知得cos