人教A版高二寒假作业04数列

人教A版高二寒假作业4：数列【基础巩固】一、单选题1.(2024·重庆市市辖区·月考试卷)数列{an}满足a1=2,aA.12 B.−1 C.2 D.2.(2024·广东省·联考题)已知等差数列{an}前n项和为Sn，若a7A.913 B.1213 C.753.(2024·浙江省·模拟题)如图，战国时期楚国标准度量衡器——木衡铜环权1954年出土于湖南长沙，“木衡”杆长27厘米，铜盘直径4厘米.“环权”类似于砝码，用于测量物体质量.九枚“环权”重量最小的为1铢，最大的为半斤(我国古代1两=24铢，1斤=16两)，从小到大排列后前3项为等差数列，后7项为等比数列，公比为2.若铜盘一侧某物体为2两13铢，则另一侧需要放置的“环权”枚数为(

)

A.2枚 B.3枚 C.4枚 D.5枚4.(2024·安徽省合肥市·模拟题)已知数列{an}各项均为正数，{bn}满足an2=bnA.10121013 B.10111012 C.20242025二、多选题5.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，aA.d=−2 B.a10=4

C.S7=98 6.(2024·山东省济南市·期末考试)若数列{an}满足a1=1，a2=1，an=A.a7=13 B.a1+a3三、填空题7.(2024·甘肃省·月考试卷)写出一个递减数列{an}，且|an|≤18.(2024·北京市市辖区·期中考试)已知等比数列{an}满足：an>0，a4+a6=5，a四、解答题9.(2024·江苏省南京市·期末考试)已知等差数列an的公差d不为0，前n项和为Sn，a2是a1与(1)求an和S(2)若bn=an2Sn10.(2024·广东省中山市·期末考试)对于数列{an}，规定数列{Δan}为数列(1)已知数列{an}的通项公式为an=n3ⅰ.求An;ⅱ.记数列{3n+1}的前n项和为Tn，数列{n2}的前(2)北宋数学家沈括对于上底有ab个，下底有cd个，共有n层的堆积物(堆积方式如图)，提出可以用公式S=n6[(2b+d)a+(b+2d)c]+n6(c−a)求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”【拓展提升】一、单选题1.(2024·天津市市辖区·期末考试)《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是(

)A.6766升 B.176升 C.10933升 2.(2024·山东省济宁市·模拟题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)+f(x)=4，正项等比数列an满足a1012⋅a1013A.1012 B.2024 C.3036 D.4048二、多选题3.(2024·浙江省·模拟题)已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，且a1<0，若aA.数列{an}是递增数列 B.a13是数列an中的最小项

C.S12和S13是{Sn4.(2023·重庆市市辖区·期中考试)已知f(x)=x3，数列an满足a1=3，且对一切n∈NA.an是等比数列 B.log3an是等比数列

C.log3an三、填空题5.(2024·山东省·单元测试)唐僧师徒四人去西天取经，他们遇庙烧香，遇塔扫塔，一日他们一行来到一座塔前，唐僧说好塔，便让猪八戒前去数一下台阶总数，八戒应声而去，不一会就满头大汗跑回来：启禀师傅，为徒没用，没有搞清台阶数，不过我正在数着，突然一位老者挡住了我的去路，他说：不用数了，我告诉你，此塔共九层，每一层向上台阶数逐渐减少，减少的数目相同，并且多于4，第四层到第六层台阶数共有54个，就这样了，请回吧.听罢，唐僧阴沉着脸，沙僧也不停的埋怨着，八戒倍感自责，转身准备再去数，这时孙悟空站了出来，大声说“且慢，我算出来了”，请问：孙悟空算出该九层塔台阶总数为

．四、解答题6.(2024·江苏省南京市·月考试卷)

对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an−k+an−k+1+…+an−1+an+1+…an+k−1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an【基础巩固】1.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．

根据已知的递推关系式求得周期为3，进而求解结论．【解答】

解：因为a1=2，an+1=1−1an，

所以a2=1−1a1=12，a3=1−1a2=−1，a2.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查等差数列前n项和公式的应用，根据等差数列性质转化为项之间的关系是解决本题的关键．

根据等差数列的性质进行转化求解．【解答】

解：在等差数列中，S13S9=13(3.【答案】B

【解析】【分析】本题考查数列的实际应用，属于较易题．

求出an=3⋅2n−3，3⩽n⩽9，由a1，a2，【解答】

解：记九枚“环权”重量从小到大构成数列{an}，a1=1，a9=192，

由a3，a4，⋯，a9成等比数列，公比为2，

则a9=a3·26=192，

则a3=3，

所以an=3×2n−3,3⩽n⩽9，

则a5=12，a6=24，

由a1，a24.【答案】C

【解析】【分析】本题考查等差数列的判定、求数列通项公式和裂项相消法求和，是中档题．

根据递推关系式，利用等差数列的性质可求得数列通项公式an=b【解答】

解：∵an>0，an2=bnbn+1，∴an=bnbn+1，

∵bn+1=an+an+12>0，∴bn>0，

又∵an+an+1=2bn+1，∴bnb5.【答案】AC

【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的性质，以及等差数列的前n项和，属于基础题．

先由题意可得a1【解答】

解：∵a2=18，a6=10，

∴a1+d=18a1+5d=10,

解得d=−2，a1=20，故A正确，

a10=a1+9d=20−18=2，故B错误，

∴S7=7a1+7×626.【答案】AB

【解析】【分析】本题主要考查数列的新定义问题，属于较难题．

根据斐波那契数列的定义求出前7项，从而可判定选项A和C，然后根据递推关系求出an+2=Sn+1【解答】解：因为a1=1，a2=1，an=an−1+an−2(n≥3,n∈N+)，

所以a3=a2+a1=2，a4=a3+a2=3，a5=a4+a3=5，7.【答案】1n(结论不唯一【解析】【分析】本题考查数列的单调性，写出一例即可【解答】

解：满足题意的数列不唯一，an=18.【答案】2；1【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式，是基础题．

由a3a5=1，可得a4=1，再代入a4+a【解答】

解：由a3a5=1，可得a42=1，

又因为an>0，所以a4=1，

因为a4+a6=5，即1+q2=5，解得q=2;

因为a4=1，q=2，所以an=2n−4，

所以a1a9.【答案】解：(1)因为a2是a1与a5的等比中项，所以a22=a1a5，

即(a1+d)2=a1(a1+4d)，整理得d2=2a1d，

因为d不为0，所以d=2a1，

因为S3=9，所以3a2=9，即a2=3，

所以a2=a【解析】本题主要考查等比中项，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，错位相减法求和，属于基础题．

(1)根据等比中项的性质、等差数列的通项公式列式求解首项与公差即可；

(2)利用错位相减法求和即可．10.【答案】解：(1)ⅰ.由题意，Δan=an+1−an=(n+1)3−n3，

所以，An=Δan+Δan−1+⋯+Δa1=(n+1)3−n3+n3−(n−1)3+⋯+23−13，

即An=(n+1)3−1．

ⅱ.由题意知，Δan=(n+1)3−n3=3n2+3n+1，

所i=1n△ai=i=1n(3i2)+i=1n(【解析】本题考查了数列的新定义、裂项相消法求和，等差数列的定义以及等差数列的前n项和公式，属于难题．

(1)根据一阶差分数列的定义，由数列{an}的通项公式表示出数列{△an}的通项，再用类似于裂项相消的方法求前n项和，由An的算式，找到与Tn，Pn的关系，解出λ的值【拓展提升】1.【答案】A

【解析】【分析】本题考查等差数列的实际应用，属于中档题．

设此等差数列为{an}，利用方程思想求出a【解答】

解：根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列{a设其首项为a1，公差为d由题意可得a所以4a1所以a5即第5节竹子的容积为6766故选：A．2.【答案】D

【解析】【分析】本题考查数列与函数的性质综合应用，属于中档题．

由题意知f(x)+f(2−x)=4，由等比数列性质和对数运算可求出f(lgak)+f(lg【解答】

解：正项等比数列an满足a1012⋅a1013=100，

由等比数列的性质知，a1·a2024=a2·a2023=...=a1012·a1013=100，

故lg(a1·a20243.【答案】AC

【解析】【分析】

本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，属于中档题．

由等差数列的性质，可得a10+a15=a12+

a13，又已知

a10+a15=a12，所以

a13=0，即

a1+12d=0，得出

a1=−12d，代入

an与

Sn，对选项依次判断即可．

【解答】

解：由等差数列的性质，可得a10+a15=a12+

a13，

又已知

a10+a15=a12，所以

a13=0，即

a1+12d=0，

所以

a1=−12d，而a1<0，可得d>0，所以数列{an}是递增数列，故A正确;

由a1<0，d>0，所以最小项是首项

a1，故B错误;

由数列{4.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式、等比数列的判定以及等比数列的前n项和公式，是中档题．

易得log3an+1【解答】

解：an+1=an3

∵a1=3，∴an>0，

∴log3an+1=3log3an，

∵5.【答案】164

【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列前n项和，属于中档题．

由题意，求出等差数列的通项，进而利用前n项和公式，求出结果即可．【解答】

设数列{an}为8项的等差数列，每层减少的阶梯数为d，

由题意，a4+a5+a6=54=3a5，

所以a56.【答案】解：(1)证明：设等差数列{an}首项为a1，公差为d，则an=a1+(n−1)d，

则an−3+an−2+an−1+an+1+an+2+an+3，

=(an−3+an+3)+(an−2+an+2)+(an−1+an+1)，

=2an+2an+2