专题21.6实际问题与一元二次方程（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题21.6实际问题与一元二次方程教学目标掌握列一元二次方程解决实际问题的基本步骤，能够熟练的从各种实际问题中抽象出方程并解决问题。教学重难点重点（1）利用一元二次方程解决实际问题的基本步骤；（2）一元二次方程解决实际问题的基本类型及基本公式；2.难点（1）从数学文化中抽象出一元二次方程。（2）一元二次方程解决实际问题中的销售利润问题（每每问题）；（3）一元二次方程解决实际问题中的几何图形问题。知识点01列一元二次方程解决实际问题的步骤列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．④解：准确求出方程的解．⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．⑥答：写出答案。知识点02一元二次方程与传播问题一元二次方程与传播问题：计算公式：原病例数（1＋传播数）2=总病例数。【即学即练1】1．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（）A．（n+1）2＝1641 B．（n﹣1）2＝1641 C．n（n+1）＝1641 D．1+n+n2＝1641【答案】D【解答】解：第一轮传播人数为：1+n，第二轮又增加n2，由题意，得：1+n+n2＝1641；故选：D．【即学即练2】2．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有81人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？【答案】每轮传染中平均一个人传染了8个人．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则一轮传染后共有x+1人被传染，两轮传染后共有x+1+x（x+1）人被传染，∴x+1+x（x+1）＝81，整理得，x2+2x﹣80＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣10（舍去），∴每轮传染中平均一个人传染了8个人，答：每轮传染中平均一个人传染了8个人．知识点03一元二次方程与数字问题一元二次方程与数字问题：数字问题：若一个两位数，个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a。若是一个三位数，则百位乘100，十位乘10，把他们相加再加上个位数字就是该数。【即学即练1】3．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学趣题：周瑜寿属而立之年督东吴，早逝英年两位数．十比个位正小三，个位六倍与寿符．哪位同学算的快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜30岁的时候已经是东吴的都督，病逝的年龄是个两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数，如果设这个两位数个位上的数字为x，下列方程正确的是（）A．（x﹣3）+x＝6x B．10（x﹣3）+x＝6x C．x（x+3）＝6x D．（x﹣3）+10x＝6x【答案】B【解答】解：设这个两位数个位上的数字为x，则这个两位数十位上的数字为（x﹣3），由题意可列方程：10（x﹣3）+x＝6x．故选：B．【即学即练2】4．一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．【答案】这个两位数为92或29．【解答】解：设个位数字为x，则十位数字为（11﹣x），x2+（11﹣x）2＝85，解得：x1＝2，x2＝9．当x＝2时，两位数为92，当x＝9时，两位数为29．答：两位数为92或29．知识点04一元二次方程与单（双）循环问题一元二次方程与单（双）循环问题：计算公式：单循环（两两之间比赛（握手）一次）：nn−12双循环（两两之间比赛（握手）两次）：n（n1）=总数。【即学即练1】5．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．12x(x+1)=28 【答案】D【解答】解：根据题意得：12x（x故选：D．【即学即练2】6．2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位.2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛240场．求本次联赛共有多少支球队．【答案】本次联赛共有16支球队．【解答】解：设本次联赛共有x支球队，根据题意得：x（x﹣1）＝240，整理得：x2﹣x﹣240＝0，解得：x1＝16，x2＝﹣15（不符合题意，舍去），答：本次联赛共有16支球队．知识点05一元二次方程与平均增长率一元二次方程与平均增长率：若起始量为a，终止量为b，n为增长或降低次数，若平均增长率（或下降率）为x计算公式：平均增长类型：a1+xn平均下降类型：a1−xn【即学即练1】7．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（）A．560（1+x）2＝1860 B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860 C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860 D．560+560（1+2x）2＝1860【答案】C【解答】解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁560（1+x）吨，三月份生产钢铁560（1+x）2吨，又∵该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨，∴列方程为560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860．故选：C．【即学即练2】8．某地区为了大力发展乡镇经济，推进乡村道路建设，计划用三年时间对整个地区的乡村公路进行全面改造，已知2024年省政府已拨原款4亿元人民币，若每年拨款的增长率相同，预计2026年拨款6.25亿元人民币，则每年拨款的增长率为多少？【答案】25%．【解答】解：设每年拨款的增长率为x，依题意得，4（1+x）2＝6.25，整理得，4x2+8x﹣2.25＝0，解得：x1＝0.25，x2＝﹣2.25（不合题意舍去），答：每年拨款的增长率为25%．知识点06一元二次方程与销售利润问题一元二次方程与销售利润问题：计算公式：总利润＝单利润×数量现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分）现数量＝原数量－涨价部分涨价基础×变化数量（原数量＋降价部分降价基础【即学即练1】9．山西剪纸是一项古老的民间艺术，有极高的审美价值．某经销商销售“广灵剪纸”“浮山剪纸”“晋城剪纸”“中阳剪纸”等礼盒，进价均为每盒50元，售价为每盒70元，平均每天可售出100盒，经市场调查发现，单价每降低2元，平均每天可多售出20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，则每盒剪纸礼盒应降价多少元？设每盒剪纸礼盒应降价x元，根据题意可列方程为（）A．(70+x−50)(100+xB．(70−x−50)(100+xC．(70−x−50)(100−xD．(70+x−50)(100−【答案】B【解答】解：根据题意可列方程为（70﹣x﹣50）（100+x故选：B．【即学即练2】10．“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的20万人增加到2024年的33.8万人．（1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率．（2）某网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为50元时，12月份售出了150组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为x，由题意得：20（1+x）2＝33.8，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去），答：该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为30%；（2）设该哑铃组每组应降价m元，则1月份销售量为（150+10m）组，由题意得：（50﹣m﹣30）（150+10m）＝3060，整理得：m2﹣5m+6＝0，解得：m1＝2（不符合题意，舍去），m2＝3，答：该哑铃组每组应降价3元．知识点07一元二次方程与几何图形一元二次方程与几何图形：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。【即学即练1】11．如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分未种花草，使绿化面积为126平方米，设路宽为x米，则可列方程（）A．（15﹣x）（10﹣x）＝126 B．15（10﹣x）＝126 C．10（15﹣x）＝126 D．15×10﹣10x﹣15x＝126【答案】A【解答】解：由题意可得，（15﹣x）（10﹣x）＝126，故选：A．【即学即练2】12．数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为60cm，宽为40cm的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒．（1）当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积；（2）当礼盒的侧面ABCD的面积为750cm2，求剪去的小正方形的边长．【答案】（1）4032cm3；（2）5cm．【解答】解：（1）设小正方形的边长为x，则礼盒底面的长是12(60−2x)=30−x，宽为由题意得30﹣x＝4x，解得x＝6，∴长为24，宽为6，高为40﹣2×6＝28，∴体积为：24×6×28＝4032（cm3）；（2）设小正方形的边长为m，根据题意可得一元二次方程为：（30﹣m）（40﹣2m）＝750，整理得m2﹣50m+225＝0，解得m＝5或m＝45（舍），∴剪去的小正方形的边长为5cm．题型01由实际问题抽象一元二次方程【典例1】一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（）A．x2＝72 B．x（x﹣1）＝72 C．（x﹣1）2＝72 D．x(x−1)2【答案】B【解答】解：由题意得，x（x﹣1）＝72．故选：B．【变式1】某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，则下列方程中正确的是（）A．x2＝36 B．（1+x）2＝36 C．1+x+x2＝36 D．1+x+（1+x）2＝36【答案】C【解答】解：依题意得：1+x+x2＝36．故选：C．【变式2】根据乘联会（简称CPCA）数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势．2025年1月新能源汽车国内月销量达到74.4万辆，2025年前三个月新能源汽车国内总销量达到241.8万辆．若设2025年1月至3月新能源汽车销量的月平均增长率为x，依题意，可列出方程为（）A．74.4+74.4（1+x）+74.4（1+x）2＝241.8 B．74.4（1+3x）＝241.8 C．74.4（1+x）2＝241.8 D．74.4×3（1+x）＝241.8【答案】A【解答】解：∵2025年1月新能源汽车国内月销量达到74.4万辆，且设2025年1月至3月新能源汽车销量的月平均增长率为x，∴2025年2月新能源车国内月销量达到74.4（1+x）万辆，2025年3月新能源车国内月销量达到74.4（1+x）2万辆．根据题意得：74.4+74.4（1+x）+74.4（1+x）2＝241.8．故选：A．【变式3】读诗词，列方程：大江东去，浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（）A．10x+（x﹣3）＝x2 B．10（x﹣3）+x＝x2 C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2【答案】B【解答】解：∵周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，且十位数字比个位数字小3，∴周瑜逝世时的年龄的十位数字为（x﹣3）．根据题意得：10（x﹣3）+x＝x2．故选：B．【变式4】某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（）A．（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220 B．（20﹣15+x）（50+5x）＝220 C．（20﹣15﹣x）（50﹣5x）＝220 D．（20﹣15+x）（50﹣5x）＝220【答案】A【解答】解：根据题意得，（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220，故选：A．【变式5】傣族剪纸源于生活，傣族剪纸分“剪”与“凿”两种方法：剪无需稿样，随手可剪；凿则需稿样，按样制作．傣族剪纸内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等，展现了傣族人民的生活和信仰，对美好生活的追求和想象．如图，在一幅长60cm，宽40cm的傣族剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽度为xcm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则下列方程正确的是（）A．（60+x）（40+2x）＝2816 B．（60+2x）（40+2x）＝2816 C．（60+2x）（40+x）＝2816 D．（60+x）（40+x）＝2816【答案】B【解答】解：∵在一幅长60cm，宽40cm的傣族剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，金色纸边的宽度为xcm，∴矩形挂图的长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm．根据题意得：（60+2x）（40+2x）＝2816．故选：B．题型02一元二次方程的实际应用【典例1】九年级某班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的n名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他n名同学，这样全班43名同学恰好都接到了一次通知，求n的值．【答案】6．【解答】解：由题意可得，1+n+n•n＝43，解得n1＝6，n2＝﹣7（不符合题意，舍去），即n的值是6．【变式1】随着合肥都市圈的成立，合肥市将加大对都市圈内基础设施投入，尽快形成合肥都市圈“1小时通勤圈”和“1小时生活圈”．在都市圈内，计划四年完成对某条重要道路改造工程，2019年投入资金2000万元，2021年投入的资金为2420万元，设这两年间每年投入资金的年平均增长率相同．（1）求出这两年间的年平均增长率．（2）若对该道路投入资金的年平均增长率不变，预计完成这条道路改造工程的总投入．【答案】（1）这两年间的年平均增长率为10%；（2）完成这条道路改造工程的总投入为9282万元．【解答】解：（1）设这两年间的年平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2＝2420，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．答：这两年间的年平均增长率为10%；（2）根据题意，2020年投入资金为2000×（1+10%）＝2200（万元），预计到2022年投入资金为2420×（1+10%）＝2662（万元），所以完成这条道路改造工程的总投入为2000+2200+2420+2662＝9282（万元）．【变式2】某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．设台灯售价为x（元），月销售量为y（个）．（1）求出在售价为40～60元范围内（包含40元和60元）y与x的函数关系式；（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？（3）商场能否实现平均每月15000元的销售利润？【答案】见试题解答内容【解答】解（1）设台灯售价为x元，月销售量为y个，∵这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，∴这种台灯的售价每上涨（x﹣40）元，其销售量就将减少10（x﹣40）＝0（个），列方程得，y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000；（2）依题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝10000，整理得：x2﹣130x+4000＝0．解得x1＝50，x2＝80（不合题意，舍去）．答：这种台灯的售价应定为50元；（3）依题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝15000，整理得：x2﹣130x+4500＝0．∵Δ＝1302﹣4×4500＜0，∴方程无解．∴商场不能实现平均每月15000元的销售利润，答：商场不能实现平均每月15000元的销售利润．【变式3】八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计：（1）若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？（2）小江的说法有道理吗？请通过计算说明；（3）赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为4．【答案】4．【解答】解：（1）由题意，得6个人需比赛的局数为6×(6−1)2答：若参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛；（2）小江说的有道理，理由如下：设有x人报名参赛，由题意得x(x−1)2整理得x2﹣x﹣80＝0，解得x=1±∴方程的解不符合实际，小江说的有道理；（3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意得，(x−1)(x−2)2整理得x2﹣3x+2n﹣78＝0，解得x=3±当n＝4时，x＝10（符合题意）或x＝﹣7（不符合题意），∴共有10名参赛者报名本次比赛．故n的值为4．故答案为：4．【典例4】某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．（1）若除丝绸花边外白色部分的面积为1750cm2，求丝绸花边的宽度；（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付各种费用2000元．根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司把单价降低多少元时，当日所获利润为10000元；（3）当销售单价定为多少元时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设条带的宽度为xcm，根据题意，得（60﹣2x）（40﹣x）＝1750．整理，得x2﹣70x+325＝0，解得x1＝5，x2＝65（舍去）．答：丝绸条带的宽度为5cm．（2）设每件工艺品降价y元出售，由题意得：（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝10000．解得：y1＝0，y2＝50．答：当单价降低50元时能达到利润10000元．（3）设利润为W，每件工艺品降价y元出售，则：W＝（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝﹣20y2+1000y+10000＝﹣20（y﹣25）2+22500∵﹣20＜0，∴当y＝25，即：降价25元，定价为75元时，利润最大为22500．1．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（）A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16 C．16（1+2x）2＝23 D．23（1﹣2x）2＝16【答案】B【解答】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，∴23（1﹣x）2＝16．故选：B．2．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（）A．12x（x+1）＝90 B．x（x+1）＝90C．12x（x﹣1）＝90 D．x（x【答案】D【解答】解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝90．故选：D．3．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人【答案】C【解答】解：设每个人传染x人，根据题意列方程得，3（x+1）2＝192，整理得，3x2+6x﹣189＝0，解得x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去），综上所述，只有选项C正确，符合题意，故选：C．4．如图，长为20m、宽为15m的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为252m2，若设小道的宽为xm，则根据题意，可列方程为（）A．x2+20×15﹣2x＝252 B．20×15﹣20x﹣2×15x＝252 C．（20﹣x）（15﹣2x）＝252 D．（20﹣2x）（15﹣x）＝252【答案】D【解答】解：可列方程为（20﹣2x）（15﹣x）＝252，故选：D．5．嘉琪改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英才两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜．假设周瑜去世时年龄的个位数字是x，则下列说法正确的是（）A．列方程为x2＝10（x+3）+x B．列方程为x2﹣10x+30＝0 C．列方程为x2＝10（x﹣3）+x D．周瑜去世时25岁【答案】C【解答】解：假设周瑜去世时年龄的个位数字是x，则十位数字为x﹣3，由题意可得：x2＝10（x﹣3）+x，化简可得：x2﹣11x+30＝0，解得x1＝5，x2＝6，则周瑜去世时年龄为25或36岁，即C选项正确，A、B、D选项错误，不符合题意，故选：C．6．“立身以立学为先，立学以读书为本，”为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆1260人次，若进馆人次的月增长率相同，设为x，依题意可列方程（）A．180（1+x）2＝1260 B．180（1+x）+180（1+x）2＝1260 C．180+180x+180x2＝1260 D．180+180（1+x）+180（1+x）2＝1260【答案】D【解答】解：由题意可得，180+180（1+x）+180（1+x）2＝1260，故选：D．7．《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为x尺，则可列方程为（）A．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝2x2 B．（x﹣2）2+42＝x2 C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 D．（x﹣4）2+x2＝（x﹣2）2【答案】C【解答】解：根据勾股定理可得：（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2，故选：C．8．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价x元，由题意可列方程（）A．（60﹣x）（20+4x）＝1400 B．（40﹣x）（20+4x）＝1400 C．（60﹣x）（20+2x）＝1400 D．（40﹣x）（20+0.5x）＝1400【答案】B【解答】解：设每件商品降价x元，由题意可得：（60﹣20﹣x）（20+4x）＝1400，即（40﹣x）（20+4x）＝1400，故选：B．9．如图，小军的爸爸用一段15m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6m）的矩形鸭舍，其面积为24m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（）A．4m或12m B．4m C．2m或6m D．2m【答案】B【解答】解：设BC长为xm，则AB的长为12（15+1﹣x）m根据题意得：12（15+1﹣x）x解得：x1＝4，x2＝12（不符合题意，舍去），即BC长为4m，故选：B．10．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图1，以a2和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD=a2，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程x2+4mx＝36，按照图1的图解法构造图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连结CD，若SA．1.25 B．2.5 C．5 D．8【答案】A【解答】解：根据题意得：BC＝BD＝2m，∵S△BCD∴AD=165∵AC＝6，AB2＝BC2+AC2，∴（2m+165m）2＝（2m）2+6∴57625m2解得：m1＝1.25，m2＝﹣1.25（不符合题意，舍去），∴m的值为1.25．故选：A．11．某中学组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛，若设共有x支队伍参加比赛，则可列方程为x(x−1)2=【答案】x(x−1)2【解答】解：依题意得：x(x−1)2故答案为：x(x−1)212．如图，在Rt△ABC中，AC＝40cm，CB＝32cm，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB向点B以3cm/s的速度移动，当△PCQ的面积等于300cm2时，经过的时间是10s．【答案】10s．【解答】解：设经过t秒时，点P的速度是2cm/s，移动时间为t秒，AC＝40cm，则PC＝（40﹣2t）cm；点Q的速度是3cm/s，移动时间为t秒，则CQ＝3tcm．∵∠C＝90°，∴△PCQ的面积S=1∴12整理为t2﹣20t+100＝0，解得t1＝t2＝10．所以经过的时间是10s．故答案为：10s．13．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少19人？”【答案】19．【解答】解：设这群人共有x人，则共摘了x(1+x)2根据题意得：x(1+x)2=10整理得：x2﹣19x＝0，解得：x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝19，∴这群人共有19人．故答案为：19．14．某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是15元．【答案】15．【解答】解：设每个口风琴的降价x元，则每个口风琴的定价应该是（20﹣x）元，销量为（8+x由题意得：（8﹣x）（8+x整理得：x2﹣7x+10＝0，解得：x1＝5，x2＝2（不符合题意，舍去），∴20﹣x＝15，即每个口风琴的定价应该是15元，故答案为：15．15．《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图1．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图2所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为7.2m2，则这些桌面的宽度为0.6m．【答案】见试题解答内容【解答】解：设这些桌面的宽度为xm，则由图2可得，小桌的长为2xm，中桌的长为3xm，长桌的长为4xm，∴根据题意列方程得，2x2×3+3x2×2+4x2×2＝7.2，整理得，20x2＝7.2，解得x＝0.6或﹣0.6，∵x＞0，∴x＝﹣0.6舍去，即x＝0.6，即这些桌面的宽度为0.6m．故答案为：0.6．16．6月是吃小龙虾的月份，长沙市马王堆批发市场某批发商原计划以每千克36元的单价对外批发销售小龙虾．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克25元．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某夜宵摊准备到该批发商处购买50千克小龙虾做成油爆虾和香辣虾两种产品进行销售，每份产品标准是1千克，油爆虾每份盈利12元，香辣虾每份盈利22元，请问该摊主至少卖多少份香辣虾才能盈利超过800元？【答案】（1）平均每次下调的百分率约为16.7%；（2）该摊主至少卖20份香辣虾才能盈利超过800元．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：36（1﹣x）2＝25，解得：x1=16≈16.7，x答：平均每次下调的百分率约为16.7%；（2）设该摊主卖m份香辣虾，则卖（50﹣m）份油爆虾，根据题意得：22m+12（50﹣m）≥800，解得：m≥20，答：该摊主至少卖20份香辣虾才能盈利超过800元．17．如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC边上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积恰好为40m2．（1）求此时花圃AB边的长；（2）花圃的面积能达到50m2吗？若能，求出AB边的长；若不能，请说明理由．【答案】（1）花圃AB边的长为4米；（2）花圃的面积不能达到50m2，理由见解析．【解答】解：（1）设花圃AB边的长为x，则花圃的边BC的长为（22﹣3x）米，∵墙的最大可用长度为11m，∴根据题意列一元一次不等式得，22﹣3x≤11，整理得，3x≥11，解得：x≥11由题意可列方程得：x（22﹣3x）＝40，整理得：3x2﹣22x+40＝0，解得：x＝4或103答：花圃AB边的长为4米；（2）花圃的面积不能达到50m2，理由如下：令x（22﹣3x）＝50，整理得：3x2﹣22x+50＝0，因为Δ＝（﹣22）2﹣4×3×40＝﹣116＜0，所以方程3x2﹣22x+50＝0无解，即花圃的面积不能达到50m2．18．活动背景：制作无盖方形纸盒．现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是2：1．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围成一个无盖的方形纸盒（如图③）．任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是10cm、容积12000cm3的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是896cm2的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，