2025高考数学 重难题型与知识梳理 专题17 解三角形（七大题型+模拟精练）（解析版）

专题17解三角形（七大题型+模拟精练）目录：01余弦定理、正弦定理02判断三角形的形状03解三角形与平面向量04解三角形几何的应用05取值范围、最值问题06解三角形的实际应用07解三角形解答题01余弦定理、正弦定理1．（2024·浙江金华·三模）在中，角的对边分别为，，.若，，，则为（

）A．1 B．2 C．3 D．1或3【答案】C【分析】根据余弦定理直接求解即可.【解析】由余弦定理得,即，即，解得或（舍）.故选：C.2．（21-22高一下·江苏连云港·期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】先求得B的余弦值，再根据余弦定理可求得b的值.【解析】，∴，∴.故选：A.3．（2022·河南·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则（

）A． B．5 C．8 D．【答案】A【分析】由三角形的面积和计算出的值，再根据余弦定理求出的值，即可得到答案【解析】由题意可知，，得，由余弦定理可得：整理得：，故选：A4．（2022·山西晋城·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据余弦定理可求得，再根据三角形的面积公式，即可求出结果.【解析】因为，所以，所以，所以的面积为.故选：C.5．（2023·四川南充·三模）在中，角的对边分别是，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理即可求解.【解析】由得，所以，由于,故选：A02判断三角形的形状6．（21-22高二上·广西桂林·期末）内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用余弦定理角化边整理可得.【解析】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.故选：C7．（2023·上海嘉定·一模）已知，那么“”是“为钝角三角形”的（

）A．充分条件但非必要条件 B．必要条件但非充分条件C．充要条件 D．以上皆非【答案】A【分析】利用余弦定理得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案.【解析】，即，由余弦定理得：，因为，所以，故为钝角三角形，充分性成立，为钝角三角形，若为钝角，则为锐角，则，必要性不成立，综上：“”是“为钝角三角形”的充分条件但非必要条件.故选：A8．（2023·贵州·一模）在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根据三角恒等变换得，再由余弦定理解决即可.【解析】由题知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形状为直角三角形，故选：A03解三角形与平面向量9．（2024·江苏盐城·模拟预测）中，若，则（

）A．54 B．27 C．9 D．【答案】A【分析】利用正弦定理求出，再利用数量积的运算律求解即得.【解析】在中，若，由正弦定理得，所以.故选：A10．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则的最大值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，即点四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.【解析】设，由，，，则，所以，又，所以，即点四点共圆，要使最大，即为圆的直径，在中，由余弦定理可得，即，又由正弦定理可得，即的最大值为，故选：A11．（2024·广东东莞·模拟预测）已知在同一平面内的三个点A，B，C满足，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，利用向量数量积的运算性质可得，从而点在度数为的优弧上运动，或点在圆的内部，然后根据三角形中线性质和圆的性质可解.【解析】设，，则是与同方向的单位向量，是与同方向的单位向量，对于，即，两边平方得，化简得，因此可以得到与的夹角，在构成等边三角形时取等号，在如图所示的圆中，点在圆上，其中劣弧的度数为，点在度数为的优弧上运动，或点在圆的内部，若点在圆上，根据正弦定理，可得圆的半径满足，即，设为的中点，则，当时，长达到最大值，此时为等边三角形，可知，即，当点在圆的内部时，则重合时，，此时取最小值，又，综上所述，的取值范围为.故选：D04解三角形几何的应用12．（2024·北京·三模）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则的周长为（

）A．10 B．11 C． D．12【答案】C【分析】根据给定条件，结合棱锥的结构特征，利用全等三角形性质及余弦定理求出即得.【解析】在四棱锥中，连接交于，连，则为的中点，如图，

正方形中，，，在与中，，则≌，于是，由余弦定理得，所以的周长为.故选：C13．（2024·广东广州·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由设，可得的值，进而可求得的值，结合余弦定理可得，由可求得，即可求得结果.【解析】由题意知，设，则，如图所示，由可得，整理得，即，又因为，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，由是边上的中线，得.所以，中线长.故选：A14．（2023·四川南充·二模）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】B【分析】利用正弦定理和余弦定理有，再根据条件整体代换即可.【解析】因为，则根据正弦定理和余弦定理有.故选：B.05取值范围、最值问题15．（2024·江苏连云港·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦推理得，又由正弦定理得，根据角A的范围利用余弦函数性质求解值域即可求解.【解析】由，得，，由正弦定理可得，即，所以，所以或（舍去），所以，由正弦定理得,，而，，所以，所以，所以，所以的取值范围为.故选：B16．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可.【解析】在中，由可得，由正弦定理得：又为锐角三角形，所以，解得，令，则，因为在时单调递增，所以，则.故选：C17．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】由正弦定理得，再通过两角和的正切公式得，最后使用基本不等式求解即可.【解析】因为，由正弦定理得，所以，又因为，所以，所以，即.所以，显然必为正（否则和都为负，就两个钝角），所以，当且仅当，即取等号.所以.故选：B.18．（2023·陕西榆林·一模）的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦、余弦定理可得，结合即可求解.【解析】因为，由正弦定理得.又，所以.因为，所以，故.故选：A.06解三角形的实际应用19．（2024·陕西西安·模拟预测）在高的楼顶处，测得正西方向地面上两点与楼底在同一水平面上）的俯角分别是和，则两点之间的距离为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据图形，利用直角三角形求解即可.【解析】由题意，而，所以.故选：D20．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设钟楼的高度为，根据相似得到，代入数据计算得到答案.【解析】如下图，设钟楼的高度为，由，可得：，由，可得：，故，故，故选：D.

21．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（

）太阳高度角时间太阳高度角时间43.13°08:3068.53°10:3049.53°09:0074.49°11:0055.93°09:3079.60°11:3062.29°10:0082.00°12:00A． B． C． D．【答案】B【分析】作出示意图形，在四边形中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形的外接圆直径大小，然后在中利用锐角三角函数定义，算出的大小，即可得到本题的答案.【解析】如图所示，设两竖直墙面的交线为，点被太阳光照射在地面上的影子为点，点分别是点在两条墙脚线上的射影，连接，，，由题意可知就是太阳高度角.∵四边形中，，，∴，∴中，，可得，∵四边形是圆内接四边形，是其外接圆直径，∴设的外接圆半径为，则，在中，，所以，对照题中表格，可知时刻时，太阳高度角为，与最接近.故选：B.22．（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，根据给定条件，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求解即得.【解析】连接，在中，，又，则是正三角形，，由，，得，，在中，，由正弦定理得，则，在中，由余弦定理得.故选：A

07解三角形解答题23．（2024·内蒙古·三模）在中，内角的对边分别为，且.(1)求的值；(2)若，证明：为直角三角形.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由正弦定理和逆用正弦和角公式得到，求出答案；（2）由（1）得到，结合，得到，化简得到，，得到答案.【解析】（1）由，可得，所以，所以，则，即.（2）证明：由（1）可得.又，所以，即，故，所以，即，因为，所以为锐角，解得（负值舍去），即，所以为直角三角形.24．（2024·四川绵阳·模拟预测）三角形三内角，，的对边分别为，，.已知.(1)求角的大小；(2)若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长.【答案】(1)(2).【分析】（1）由正弦定理以及条件边化角得，再结合辅助角公式即可求解.（2）先由面积公式得，再在中，由余弦定理结合基本不等式即可得中线的最小值，进而可得长.【解析】（1）在中，由正弦定理得，.因为,，所以，所以，即，又，则，所以.（2）由（1）得，所以，在中，由余弦定理可得：，当且仅当，即，时，等号成立，

此时，故.25．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且满足.(1)求角的大小；(2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得答案；（2）由正弦定理得，，代入三角形面积公式化简得，结合角的范围求出答案.【解析】（1）由正弦定理得，，所以，即，化简得：，即，又，所以.（2）由正弦定理得：，所以，，所以，因为是锐角三角形，所以，解得，所以，所以，所以.26．（2024·江西·模拟预测）在中，角，，所对的边分别记为，，，且．(1)若，求的大小．(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得，再利用两角和差的正余弦公式化简，进而可求得的关系，即可得解；（2）利用正弦定理求出，再根据的关系结合三角函数的性质即可得解.【解析】（1）因为，所以，即，即，所以，即，而，所以或，所以或（舍去），又因为，所以，所以；（2）由（1）得，因为，所以，，则，又由，得，所以，所以，所以.27．（2023·全国·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求A；(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用二倍角公式及和角公式代入化简解方程即可.（2）根据锐角三角形得B的范围，运用正弦定理边化角，将所求式子转化为关于的对勾函数，研究其值域即可.【解析】（1）∵，∴，∴，又∵，∴，即，又∵，∴，又∵，∴，又，即，∴，又∵，∴.（2）由（1）知，①当时，因为，所以，即，与△ABC为锐角三角形矛盾，所以不成立；②当时，因为，所以，所以．由，得．所以，故．因为，所以，，令，则，所以在上单调递增，所以，所以的取值范围为．一、单选题1．（2024·湖南·模拟预测）在中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理，求出，从而求出角.【解析】由正弦定理得，，所以，解得，由为三角形内角，所以，故选：B.2．（2024·吉林·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，“”是“”（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据正弦定理和正切函数的性质以及充要条件的判定即可得到答案.【解析】当，根据正弦定理得，显然A，，则，因为A，B为三角形内角，则,则充分性成立；当，因为A，B为三角形内角，则不会存在的情况，则A，，则，则，根据正弦定理则，故必要性成立；则“”是“”的充分必要条件.故选：C．3．（2024·江西九江·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】运用正弦定理进行边角互化，结合诱导公式以及两角和的正弦公式即可解决.【解析】因为，由正弦定理，因为，展开化简，又.故选:B.4．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且，若，，则（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】A【分析】利用正弦定理和三角恒等变换的化简计算可得，结合余弦定理计算即可求解.【解析】，由正弦定理得，又，所以，即，得，即，又，所以，而，由余弦定理得.故选：A5．（2024·浙江绍兴·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则A等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题先根据诱导公式对条件式进行化简，再用余弦定理进行边角互化，即可得出答案.【解析】因为，所以，即，如图，过B点作于D，可知，，所以，所以，又，所以.故选：D.6．（2024·重庆·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理求得，进而利用三角形的面积公式求得正确答案.【解析】由余弦定理得，即，所以三角形的面积为.故选：A7．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三角形中，角，，的对边分别为，，且满足，，则面积取最大值时，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据条件，结合正、余弦定理，得到角的关系，再用角的三角函数表示的面积，换元，利用导数的分析面积最大值，对应的角的三角函数值，再利用角的关系，求.【解析】因为，又由余弦定理：，所以，所以.由正弦定理得：，所以或（舍去），故.因为，所以.由正弦定理：.所以.因为，所以.设，.则，由，由，所以在上单调递增，在上递减，所以当时，有最大值.即当时，的面积最大.此时.故选：A【点睛】关键点点睛：本题用到了三倍角公式，因为有些教材不讲这个公式，所以该公式的记忆或推导在该题中就格外重要.8．（2024·全国·模拟预测）在锐角中，若，且，则能取到的值有（

）A．5 B．4 C． D．3【答案】B【分析】由可求，再根据，化简可得，用对应角的正弦来表示边，得，最后结合两角差的正弦公式、辅助角公式即可求解.【解析】由，又，所以，则．因为,根据正弦定理得，故，即，所以，即．根据正弦定理得，所以，．因为为锐角三角形，且，所以，，即，，解得，所以．因为，所以，则，所以，即．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题关键在于用正弦定理的边角互化，求出和用对应角表示对应边，将所求边长之和转化为关于角的三角函数进行化简，再根据所求角的范围来求值域即可.二、多选题9．（2023·安徽·模拟预测）在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是（

）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8【答案】BC【分析】根据即可求解.【解析】根据题意可得：满足条件的有两个，可得，故选:BC10．（2024·江苏南京·二模）已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（

）A． B．C．的面积的最大值为 D．的最小值为【答案】ABC【分析】延长交于点，根据平面向量的线性运算可得出，可判断选项A；结合，利用平面向量的数量积定义、数量积运算法则及基本不等式可判断选项B；由和平面向量数量积的定义可得出，由求出，再根据三角形面积公式可判断选项C；结合选项B得出，再利用余弦定理即可判断选项D.【解析】延长交于点.因为是的重心，所以点是中点，，则.对于选项A：因为，故选项A正确；对于选项B：由得：，所以，当且仅当时等号成立.又因为，即，，所以，即，当且仅当时等号成立，故选项B正确；对于选项C：因为，当且仅当时等号成立，，所以，故选项C正确；对于选项D：由，，得，所以由余弦定理可得：，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故选项D错误.故选：ABC.11．（2024·贵州黔南·二模）已知锐角的三个内角，，的对边分别是，，，且的面积为.则下列说法正确的是（

）A．B．的取值范围为C．若，则的外接圆的半径为2D．若，则的面积的取值范围为【答案】ABD【分析】对A：借助面积公式与余弦定理计算即可得；对B：借助锐角三角形定义与三角形内角和计算即可得；对C：借助正弦定理计算即可得；对D：借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量表示出来，结合的范围即可得解.【解析】对A：由题意可得，由余弦定理可得，即有，即，由，故，即，故A正确；对B：则，，解得，故B正确；对C：由正弦定理可得，即，故C错误；对D：若，则，由正弦定理可得，即，即，由，则，故，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：D选项关键点在于借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量表示出来，结合的范围即可得解.三、填空题12．（2024·湖南长沙·二模）在中，若，，，则.【答案】【分析】由同角三角函数关系求解，再由正弦定理可得解.【解析】由已知，，则，，又，所以，，又根据正弦定理，则，故答案为：.13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）在中，，点D在线段上，，，，点M是外接圆上任意一点，则最大值为.【答案】【分析】根据题中条件，结合勾股定理、余弦定理，可得，，由正弦定理，可得外接圆半径，根据向量的线性运算法则，结合数量积公式，可得的最大值，即可得答案.【解析】由题意可得：，，所以，解得，则，设的外心为，外接圆的半径为，由正弦定理得：，解得，可得．由平面向量的线性运算知，，所以，由图可知：．当且同向时，，所以最大值为．故答案为：．【点睛】方法点睛：平面向量解题方法1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．14．（2024·江苏·模拟预测）在中，角所对的边分别为，若分别在边和上，且把的面积分成相等的两部分，则的最小值为.【答案】【分析】根据题目中，可求出b及角B大小，再根据三角形面积公式及题意可求出，进而可得出，根据余弦定理表示出，最后利用基本不等式即可求出的最小值.【解析】由，得，即，解得，，，令，令，得，，所以，当且仅当即时等号成立.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是求出与的等量关系，利用基本不等式的性质求出的最小值.四、解答题15．（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，的外接圆半径为.(1)求的面积；(2)求边上的高.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理可求出，利用面积公式计算即可；（2）根据三角形面积公式即可求.【解析】（1）在中，由正弦定理可得，，则，根据余弦定理，得，所以，所以，所以.（2），所以.16．（2024·四川南充·模拟预测）在中，.(1)求；(2)若，求周长的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解.【解析】（1）因为，由正弦定理可得，即，由余弦定理，，.（2）因为，即，，当且仅当时取等号，，即，又，所以，当且仅当时取等号，周长，即周长的最大值为17．（2024·陕西西安·模拟预