第04讲 直线、平面垂直的判定与性质（七大题型）（练习）（原卷版）

第04讲直线、平面垂直的判定与性质目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：垂直性质的简单判定 2题型二：证明线线垂直 2题型三：证明线面垂直 4题型四：证明面面垂直 5题型五：面面垂直的性质定理 7题型六：垂直关系的综合应用 8题型七：鳖臑几何体中的垂直 1102重难创新练 1303真题实战练 19题型一：垂直性质的简单判定1．设、是两个平面，、是两条直线，且．下列四个命题：①若，则或

②若，则，③若，且，则

④若与和所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④2．（2024·四川成都·三模）已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．，，，则题型二：证明线线垂直4．（2024·四川宜宾·三模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，点E为线段的中点，点F在线段AB上，且．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．5．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.

证明：；6．如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．证明：；7．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图1，在平面四边形中，，，垂足为，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.

(1)设平面与平面的交线为，证明：.题型三：证明线面垂直8．如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点，求证：EF⊥平面PBC；9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面．求证：平面；10．（2024·全国·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是的中点.

(1)求该圆柱体的体积；(2)证明：平面；11．（2024·宁夏银川·一模）如图，在四棱锥中，已知是的中点.(1)证明：平面；(2)若，点是的中点，求点到平面的距离.题型四：证明面面垂直12．（2024·四川资阳·二模）如图，在四面体ABCD中，，，E，F分别为AB，AC的中点.(1)证明：平面平面BCD；(2)求点A到平面BDF的距离.13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，．

(1)证明：平面平面；(2)若，，为中点，求三棱锥的体积．14．（2024·广西·模拟预测）在长方体中，点E，F分别在，上，且，．求证：平面平面AEF；15．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，为边上的点，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且三棱柱的体积为.证明：平面平面；题型五：面面垂直的性质定理16．如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，.现将沿边折起，使得平面平面，点是的中点.求证：平面；17．（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，斜三棱柱的各棱长均为，侧棱与底面所成角为，且侧面底面．

证明：点在平面上的射影为的中点；18．如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2．(1)若点在棱上，平面，求证：；(2)求点到平面的距离．19．（2024·甘肃张掖·模拟预测）在三棱柱中，侧面平面，，侧面为菱形，且为中点．证明：平面；题型六：垂直关系的综合应用20．如图，在直三棱柱：中，，，是的中点，在上，为中点.

(1)求证：平面；(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使平面？并证明你的结论.①为的中点；②；③.21．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点．(1)求证：；(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论．22．已知正方体的棱长为，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；(3)求到平面的距离．23．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.

(1)证明：平面；(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.24．（2024·高三·山西大同·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线.(1)求证：；(2)若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面.题型七：鳖臑几何体中的垂直25．（2024·全国·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，是上一点，，，，将沿着翻折，使运动到点处，得到四棱锥．证明：；26．国家主席习近平指出：中国优秀传统文化有着丰富的哲学思想、人文精神、教化思想、道德理念等，可以为人们认识和改造世界提供有益启迪.我们要善于把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来，在继承中发展，在发展中继承.《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方,得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.刘徽注解为：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云”.鳖臑，是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.在四面体中，PA⊥平面ACB.(1)如图1，若D、E分别是PC、PB边的的中点，求证：DE平面ABC；(2)如图2，若，垂足为C，且，求直线PB与平面APC所成角的大小；(3)如图2，若平面APC⊥平面BPC，求证：四面体为鳖臑.27．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.

证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；28．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接.

证明：平面；1．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下面结论中错误的是（

）A．B．平面C．平面平面D．平面2．（2024·江西景德镇·三模）已知，是空间内两条不同的直线，，，是空间内三个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则或3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线，和平面，，，，则的必要不充分条件是（

）A． B． C． D．4．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在正方体中，M是棱上一点，平面与棱交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（

）①四边形是平行四边形；②四边形可能是正方形；③存在平面与直线垂直；④任意平面都与平面垂直.

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④5．（2024·重庆·模拟预测）已知两条直线m，n和三个平面α，β，γ，下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，，则6．（2024·江苏常州·模拟预测）已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法不正确的是（

）A．若平面，则，B．存在平面，使得，，C．有且只有一对互相平行的平面和，其中，D．至少存在两对互相垂直的平面和，其中，7．（2024·广东·一模）已知点分别在平面的两侧，四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，则下列结论正确的是（

）A．四边形可能是的菱形B．四边形一定是正方形C．四边形不可能是直角梯形D．平面不一定与平面垂直8．（2024·全国·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》将两底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，已知直三棱柱是堑堵，其中，则下列说法中不一定正确的是（

）A．平面 B．平面平面C． D．为锐角三角形9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为2，则在三棱锥中（

）A．的面积为 B．C．平面平面 D．三棱锥的体积为10．（多选题）（2024·江苏·二模）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（

）A．若，，，则B．，，，则C．若，，，则D．若，，，则11．（多选题）（2024·山西吕梁·二模）如图，在平行六面体中，底面是正方形，为与的交点，则下列条件中能成为“”的必要条件有（

）

A．四边形是矩形B．平面平面C．平面平面D．直线所成的角与直线所成的角相等12．（2024·陕西·三模）如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于的一点，则下面结论中正确的序号是．（填序号）①；②；③平面；④平面平面．13．（2024·黑龙江·模拟预测）已知矩形，其中，，点D沿着对角线进行翻折，形成三棱锥，如图所示，则下列说法正确的是（填写序号即可）．①点D在翻折过程中存在的情况；②三棱锥可以四个面都是直角三角形；③点D在翻折过程中，三棱锥的表面积不变；④点D在翻折过程中，三棱锥的外接球的体积不变．14．如图，在平行四边形中，，，且交于点，现沿折痕将折起，直至折起后的，此时的面积为．15．（2024·四川·一模）如图，在矩形中，，，点为线段的中点，沿直线将翻折，点运动到点的位置．当平面平面时，三棱锥的体积为．16．（2024·广东·二模）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面．(1)证明：；(2)求点到平面的距离．17．（2024·河南郑州·二模）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点．(1)证明：平面；(2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论．18．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱柱中，平面和平面均垂直于平面．(1)求证：平面平面；(2)若为的中点，底面是正方形，，求三棱锥的体积．19．（2024·四川成都·三模）如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，.(1)证明：；(2)若的面积为，求三棱锥的体积.1．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正方体，则（

）A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；3．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；4．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；7．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；8．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．，所以，9．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥中，底面．(1)证明：；10．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面平面；11．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；12．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.（1）求