2024~2025学年吉林省长春市高三上学期12月考试数学试卷【有解析】

/2024-2025学年吉林省长春市高三上学期12月考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．若集合，则（）A． B． C． D．2．设（其中为虚数单位），则（）A． B． C． D．3．若单位向量满足，则的夹角为（）A． B． C． D．4．已知正项等比数列的前3项和为21，且，则（）A．6 B．4 C． D．25．设，则（）A． B． C． D．6．在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，°，则异面直线与直线所成角的正弦值为（）A． B． C． D．7．给出下述三个结论：①函数的最小正周期为；②函数在区间单调递增；③函数的图象关于直线对称.其中所有正确结论的编号是（

）A．①②③ B．②③ C．①③ D．②8．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（

）A． B．C．

D．二、多选题（本大题共3小题）9．如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则下列判断正确的是（

）A．B．平面平面C．三棱锥的体积是D．三棱锥的外接球的体积是10．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（

）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若是等差数列，则D．若是等比数列，且，，则11．定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（

）A． B．C．当时， D．在上单调递增三、填空题（本大题共3小题）12．设函数,若方程至少有3个不同的实数根，则实数m的取值范围为．13．已知函数，下列说法正确的是（填序号）①为奇函数；

②为偶函数；③在上单调递减；

④在上单调递增．14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知向量，设函数．(1)求函数的最小正周期和最大值；(2)设锐角△三个内角的对边分别为，若且，求．16．已知数列满足，，为数列的前项和．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)求数列的前项和．17．已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)若存在，使得，求实数的取值范围.18．如图，已知三棱锥，底面是等腰三角形，，是等边三角形，为线段上一点，，二面角的大小为.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.19．已知椭圆的左焦点为，离心率为，为上一点，为圆上一点，的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若圆与轴正半轴交于点，过作直线，与相交于不同的两点，，求面积的最大值．

答案1．【正确答案】D【详解】，，所以.故选：D.2．【正确答案】B【详解】，所以，故选：B.3．【正确答案】C【详解】依题意可知，由可得，即，也即;设的夹角为，可得，又，可得.故选：C4．【正确答案】A【详解】设数列公比为，则，，因，则（负舍）.故选：A5．【正确答案】A【详解】因为，，又，，所以，，且，所以，所以.故选：A.6．【正确答案】C【详解】连接，在平行六面体中，由与平行且相等得平行四边形，因此，∴是异面直线与直线所成角或其补角，由已知，，，由余弦定理得，，，∴．故选：C．

7．【正确答案】B【分析】①化简函数，代入周期公式，判断周期；②由，判断出，去绝对值即可判断单调性；③化简函数利用余弦函数判断对称轴.【详解】对于①，由，最小正周期为，结论①不正确；对于②，由，有，所以，此时在区间单调递增，结论②正确；对于③，，对称轴由确定，当时，，结论③正确.故选B.8．【正确答案】D【详解】，，当时，，函数单调递减，函数的值域是，，，当时，，函数单调递增，函数的值域是，因为，，使得，所以，解得：，所以实数a的取值范围是.故选D.9．【正确答案】ABD【分析】易得折叠后三条直线两两垂直，证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断A；证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可判断B；根据椎体的体积公式即可判断C；求出外接球的半径，再根据外接球的体积公式即可判断D.【详解】正方形中，，，折起后，有，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；因为平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确；折叠后可知三条直线两两垂直，，，，故C错误；由三条直线两两垂直，如图，补全长方体，则长方体的体对角线即为三棱锥的外接球的直径，设三棱锥的外接球的半径为，则，所以，所以三棱锥的外接球的体积是，故D正确.故选ABD.10．【正确答案】BC【详解】对A：，当时，，两式作差可得：当时，；又，不满足上式，故，故数列不为等差数列，A错误；对B：，当时，，两式作差可得：当时，；又满足，故，且，故数列为等比数列，B正确；对C：是等差数列，故，故C正确；对D：是等比数列，且，，不妨取，故，故D错误.故选：BC.11．【正确答案】ACD【详解】对于A，由，取，得，故A正确；对于C，由，取，因，故，即，当时，，则，故，即，故C正确；对于B，由，取，可得，，整理得，，因为，，当且仅当时取等号，由选项C可知的符号可正可负，故不一定有，即不一定成立，故B错误；对于D，任取，则，依题意，，而，则，即，即在上是增函数，于是对于，任取，因为，则，即，即函数在上单调递增，故D正确.故选：ACD.12．【正确答案】【详解】当时，由得，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，又，所以当时，的最小值为，且时，，当时，易知在上单调递减，在上单调递增，又，所以当时，的最小值为，作出函数与的图象如图所示，由图可知，要使方程至少有3个不同的实数根，即与的图象至少有3个交点，只需．故答案为.13．【正确答案】①③【详解】由，解得或，即定义域为，，所以由对数的运算性质可得，即为奇函数，故①正确，②错误；又由，令，其中且，可得，因为在上单调递减，且，所以在上单调递减，所以③正确；又因为函数为定义域上的奇函数，所以在上单调递减，所以④不正确．故①③.14．【正确答案】/【详解】取靠近点的三等分点，连接，取靠近点的三等分点，连接，底面是矩形，，，，，则，且，又底面，底面，，，而，平面，所以平面，平面，即为三棱锥的高，，在中，，，在中，，中，，，在中，，则，，在中，，在中，，在中，，，，由余弦定理，则，设到平面的距离为，，所以.故答案为.15．【正确答案】(1)最小正周期为，最大值为2；(2)【详解】（1），函数的最小正周期为，最大值为2；（2），即，因为，则，所以，则，因为，所以，根据正弦定理，即，解得.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）对整理有：，等式两边同时除以可得，等式两边再同时减得，即，又由，可得，故，则数列是首项为，公比为的等比数列．（2）由（1）得的通项公式为，得，所以．（3）由（2）知，所以．17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1），由，可得时，；时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，时，函数取得极小值即最小值；（2）对分类讨论：若，则，不存在，使得成立；若，则，满足题意；若，由(1)可知，函数的最小值为，所以，解得.综上可得，实数的取值范围是.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据等腰三角形的性质、余弦定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据二面角的定义、线面角的定义，结合余弦定理进行求解即可.【详解】(1)取中点，连接，.因为为等边三角形，所以.设，因为为等腰三角形，且，所以，，在中，，由余弦定理得：，所以，故.因为，平面，所以平面，从而.(2)在上取点，使，连接，则，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，由（1）平面，得平面平面，过作于，则平面，连接，则为直线与平面所成的角.又由（1）知二面角的平面角为，所以，设，则，，，，所以在中，余弦定理得:，在中求得，，在中，余弦定理得：，又.所以