考前30天之备战2026高考冲刺押题系列五解析几何(理数)

【命题趋势】：解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2025年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用．圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2025年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．【方法与技巧】二次项系数为0，表示平行于渐近线的两条直线；二次项系数为0，△=0二次项系数为0，表示平行于对称轴的一条直线；二次曲线不为0，△=0(2)定点处理思路；(3)①设参数方程；椭圆的参数方程是：；圆的参数方程：②抛物线上的动点可设为：或或，其中，以简化计算.圆外一点引两条长度相等的割线，割线长度不等于直径截得平行线的弦长圆外一点引两条长度相等的割线，割线长度不等于直径截得平行线的弦长相等（斜率不存在）圆外一点引切线（斜率不存在）圆外一点引切线（斜率不存在）3、角(1)余弦定理;(2)到角公式:(3)向量的夹角公式4、直线与圆锥曲线(1)直线与圆锥曲线问题解法：1.直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解.【运算规律】：直线与圆锥曲线位置关系运算程式(1)已知曲线()与直线方程联立得：()【注意】：当曲线为双曲线时，要对与0进行比较.由根与系数关系知：【后话】:联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解时，注意以下问题：①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？②二次项系数系数为0的情况讨论了吗？③直线斜率不存在时考虑了吗？④判别式验证了吗？(2)直线与圆锥曲线相交的弦长公式:或，【注】：弦端点A，由方程消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率，.(3)抛物线的切线方程①抛物线上一点处的切线方程是.②过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.③抛物线与直线相切的条件是.6、求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立、之间的关系，构成，是求轨迹的最基本的方法.⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可.⑶代入法(相关点法或转移法).⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将、均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.7、定义解题①椭圆：第一定义：平面上一动点P到平面上两个定点F1、F2的距离和为定值，且|PF1|+|PF2|>|F1F2|,则P点轨迹为椭圆。②双曲线：||PF1|-|PF2||=定值<｜F1F2|③三种圆锥曲线的统一定义：（e∈【高考冲刺押题】【押题2】已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【押题指数】★★★★★【押题3】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点的轨迹方程；(Ⅱ)设直线和分别与直线交于两点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。【押题指数】★★★★★【解析】（I）：因为点B与A关于原点对称，所以点.设点的坐标为由题意得化简得.故动点的轨迹方程为……6分（II）若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为则.…………8分因为,所以所以即，解得因为，所以…12分故存在点S使得与的面积相等，且的坐标为.…13分【押题4】已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，若椭圆C与x轴交于A、B两点，M是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线MA交直线于G点，直线MB交直线于H点。（1）求椭圆C的方程；（2）试探求以GH为直径的圆是否恒经过x轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由。【押题指数】★★★★★.令，得，，将两点代入检验恒成立.所以，以为直径的圆恒过轴上的定点………12分【押题5】如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长．①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由【押题指数】★★★★★【解析】（1）设直线的方程为，即．因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，所以圆心到：的距离为…3分化简，得，解得或．所以直线的方程为或．…6分（2）①证明：设圆心，由题意，得，即．化简得，即动圆圆心C在定直线上运动．………10分②圆过定点，设，则动圆C的半径为．于是动圆C的方程为．整理，得．……14分由得或所以定点的坐标为，．…………16分（2）设M，N,不妨>0,<0,设△MN的内切圆的径R，则△MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R因此最大，R就最大，…6分，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得+6my-9=0，…８分得，，则AB（）==，……9分令t=,则t≥1,则,………10分令f（t）=3t+，则f′(t)=3-，当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)=4,≤=3,即当t=1,m=0时，≤=3,=4R，∴=，这时所求内切圆面积的最大值为π.故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为π……12分（2）以顶点C为坐标原点，以的平分线为轴平面直角坐标系如图所示则设从而存在两定点使恒为常数，（Ⅱ）联立整理得，令，，则，，，即：………．．8分原点到直线的距离为，……．．10分，∴=当且仅当时取等号，则面积的最大值为1．．．12分（3）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，A(，)，C(，)，则直线AC的方程为．联立及得，，所以＝，…9分＝＝.由于直线BD的斜率为，用代换上式中的可得.因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为＝，…11分由于≤[＝，所以，当，即时取等号．………13分易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积.综上可得，四边形ABCD面积的最小值为.……………14分又切线过点，所以得①即同理可得过点的切线为，又切线过点，所以得②即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分因为，，，所以的中点坐标为故直线的方程为，即.．．．．．．7分又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点.．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）解法一：由（2）中①②两式知是方程的两实根，故有（*）将，，代入上（*）式得∴，．．．．．．．．．．．9分解法二：由（2）知，且是方程的两实根，即，从而，所以当时，即时，直线上任意一点均有，为直角三角形；．．10分当时，即时，与不垂直。因为，，所以若，则，整理得，又因为，所以，因为方程有解的充要条件是.所以当时，有或，为直角三角形.．．．13分综上所述，当时，直线上任意一点，使为直角三角形，当时，直线上存在两点，使为直角三角形；当或时，不是直角三角形.14分【名校试题】所以三角形的面积.由--12分所以直线或.-----13分2、已知直线经过椭圆：（）的一个顶点和一个焦点．⑴求椭圆的离心率；⑵设是椭圆上动点，求的取值范围，并求取最小值时点的坐标．【试题出处】广东省江门市2025年普通高中高三第一次模拟测试数学（理科）3、已知的两个顶点的坐标分别为和，顶点为动点，如果的周长为6.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作直线，与轨迹交于点，若直线与圆相切，求线段的长.【试题出处】陕西省西安市八校2026届高三年级数学（理科）试题【解析】（Ⅰ）据题意有而，所以动点的轨迹是以、为焦点的椭圆，但须除去、两点-------3分所以，轨迹M的方程为（）（Ⅱ）由于直线不可能是轴，故设其方程为，由直线与圆相切，得，解得---8分把方程代入方程中得，即得，解得或。所以点的坐标为或------12分所以即线段的长为------------13分4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点为，离心率为．（I）求椭圆的方程；（II）设直线与椭圆相交于不同的两点．当时，求的取值范围．5、已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【试题出处】2025年洛阳市示范高中联考高三理科数学试卷【解析】（1）…………4分 （2）i）若n=0， ii）若m=0,且过定点（0,1）……6分 iii） 设A（x1,y1）,B（x2,y2），则以AB为直径的圆的方程为（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0…8分∵∴圆方程为：将（0,1）代入显然成立，故存在T（0,1）符合题意。……12分（2）由题意知直线与轴不平行，设所在直线方程为得其中即所以所以直线的方程为即（3）假设（上，的解，消去得.…14分8、已知椭圆(0＜b＜2)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F、B、C作圆P．（I）当b＝时，求圆P的方程；（II）直线AB与圆P能否相切？证明你的结论．9、xyOTMPQN(第17题图）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(eq\r(3),2)，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．xyOTMPQN(第17题图）（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．【试题出处】南京市2025年届高三第二次模拟考试数学试卷【解析】（1）由题意知b＝eq\f(2,eq\r(2))＝eq\r(2)．…3分因为离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(eq\r(3),2)，所以eq\f(b,a)＝eq\r(1－(eq\f(c,a))2)＝eq\f(1,2)所以a＝2eq\r(2)．所以椭圆C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1．……6分（2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则10、已知椭圆的两个焦点分别为，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点的坐标为，点的坐标为.过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，试求满足的关系式.【试题出处】2025年北京市朝阳区高三一模理科数学【解析】（Ⅰ）依题意，，所以.故椭圆的方程为.4分（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，由解得.不妨设，，因为，又，所以，所以的关系式为，即.…7分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.11、设平面内两定点，直线PF1和PF2相交于点P,且它们的斜率之积为定值；（Ⅰ）求动点P的轨迹C1的方程；（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2：上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P、Q两点，求面积的最大值．【试题出处】湖北八校2026届高三第二次联考数学试题（理科）【解析】（1）设点P（x,y）,依题意则有，整理得：……4分（2）设，则PQ的方程为：，联立方程组，消去y整理得：，有，8分而…11分由代入化简得：即；当且仅当时，取到最大值。13分【解析】（1）,…..1分又边所在直线的方程为，所以直线AC的斜率为.2分又因为点在直线AC上，所以AC边所在直线的方程为．即．..4分（2）AC与AB的交点为A，所以由解得点的坐标为，….6分又r=．从外接圆的方程为:…..9分（3）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即．学科王故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．………..12分因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．从而动圆的圆心的轨迹方程为．……..14分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，．设，则．于是直线方程为，令，得；所以，同理…7分所以，.所以．AMBxyOl14、如图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为AMBxyOl(1)设抛物线上一点P到直线l的距离为d，F为焦点，当时，求抛物线方程；(2)若M(2,-2)，求线段AB的长；(3)求M到直线AB的距离的最小值.【试题出处】2025年上海五校联合教学调研数学试卷(理科)【解析】(1)由，得yP+2p-(yP+)=p=1，∴抛物线方程为.(2)M(2,-2)在直线上p=1，∴抛物线方程为，设过M点的直线为y=k(x-2)-2，联立：，消去y，得(*)，相切，则△=0，此时，方程(*)有等根x=k，∴xB=，xA=，xB-xA=，xB+xA=.A、B在抛物线上，yB-yA=∴|AB|=.(3)设M(m,-2p)，过M点的直线为L：y=k(x-m)-2p，联立：，消去y，得①，相切，则△=0②，此时方程①有等根x=kp，令A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1-x2=p(k1-k2)，y1-y2==，∴AB的斜率k′=，由②，，∴k′=，∴直线AB的方程为，由②，，∴AB方程化为：，点M到AB的距离d==，当且仅当，即时，上式成立等号，∴M到直线AB的距离的最小值为.（ⅰ）可设直线的方程为，代入并整理得，，依题意，，则，，从而可得点的坐标为，．因为，所以直线与的斜率之积为定值．…8分（ⅱ）若轴时，,由，解法二：（Ⅱ）设，，．由得：，．…5分（ⅰ）因为点，在椭圆上，所以有：，，两式相减，得，从而有．又，，所以，即直线与的斜率之积为定值．………8分16、在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.（ⅰ）证明：;（ⅱ）求四边形的面积的最大值.【试题出处】2025年北京市海淀区高三一模理科