2026年高考总复习优化设计一轮复习数学（福建版）-考点规范练45　双曲线

考点规范练45双曲线1.设曲线C是双曲线,则“双曲线C的方程为x2-y24=1”是“双曲线C的渐近线方程为y=±2x”的(A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A解析:若双曲线C的方程为x2-y24=1,则渐近线方程为y=±2x;若渐近线方程为y=±2x,则双曲线C的方程为x2-y24=λ(λ≠0).所以“双曲线C的方程为x2-y24=1”是“双曲线C的渐近线方程为y=±2x2.在平面直角坐标系Oxy中,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFOA.x22-y28=1 BC.x24-y216=1 D.答案:D解析:因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|=b,|OA|=a,所以ab=2.又双曲线C的离心率为5,所以1+b2a2=5,即b2=4a2,解得a2=1,b2=4.所以双曲线C的方程为x2-y3.已知离心率为52的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M为双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点A.32 B.16 C.84 D.4答案:B解析:由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=bax上,由题意可知|F2M|=bca2+b2=b,所以|OM|=c2-b2=a.由S△OMF2=16,可得12ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,ca=54.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为双曲线C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则双曲线C的离心率为()A.72 B.132 C.7 D答案:A解析:不妨设|PF2|=1,则|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=7,所以2c=|F1F2|=7,所以c=72由双曲线的定义,可知2a=|PF1|-|PF2|=2,所以a=1.所以离心率e=ca5.已知双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上存在一点P使sin∠PF2F1A.3 B.2 C.-3 D.-2答案:B解析:由题意及正弦定理得sin∠PF2F1sin∠PF1由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=4,|PF2|=2.又|F1F2|=4,由余弦定理可知cos∠PF2F1=|P∴F2P·F2F1=|F2P|·|F2F1|·cos∠PF2F16.已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为双曲线C右支上一点,且位于x轴上方,B为渐近线上一点,O为坐标原点.若四边形OFAB为菱形A.2 B.3 C.2 D.2+1答案:D解析:依题意,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F为(因为四边形OFAB为菱形,点A在双曲线C的右支上,且在x轴上方,点B在渐近线上,所以点B在渐近线y=-bax上,|OB|=|AB|=|OF|=c如图,设点B(x,-bax),x<0,则|OB|=x2+-bax2=c,解得x=-a,可得点因为AB∥OF,所以点A的纵坐标为b,代入双曲线C的方程,可得点A(2a,b).所以|AB|=2a+a=c,所以e=ca=27.(2024北京,13)已知双曲线x24-y2=1,则过点(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为答案:±1解析:由x24-y2=1,得双曲线的渐近线方程为y=±12x.∵直线过点(3,0),且与双曲线只有一个交点,∴直线与双曲线的渐近线平行,∴直线的斜率为8.已知以直线y=±3x为渐近线的双曲线D:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若P为双曲线D右支上任意一点答案:(0,12解析:∵双曲线D:x2a2-y2b2=1(a>0,∴ba=3,可得b=3a,c=a2∵P为双曲线D右支上一点,∴|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c,∴0<|PF1|-|PF2||∴|PF1|-|PF9.已知双曲线C的离心率为3,且过点(3,0),过双曲线C的右焦点F2,作倾斜角为π3的直线交双曲线C于A,B两点,O为坐标原点(1)求双曲线C的标准方程;(2)求△AOB的面积.解:(1)由题意可得,双曲线C的焦点在x轴上,且a=3,ca=3,b2=c2-a2,解得a2=所以双曲线C的方程为x23-(2)由(1)可得F2(3,0),由题意可知直线方程为y=3(x-3).设点A(x1,y1),B(x2,y2),由y整理可得x2-18x