东北三省、内蒙古2025~2026学年度高二上学期全国名校第一次月考试卷 数学试卷（含答案）

全国名校第一次月考试卷注意事项：A.135°B.60°AA.x-y+3=0B.x+y-5=0C.4x-y=0或x+y-5=0D.4x-y=0或x-y+3=0月考卷(一)·数学第1页(共4页)选择性必修第一册-6.直线L₁:kx—y+2k+1≈0与L₂:z+ky—k+2=0分别与圆O:z²+y²=10交于A,C和B,A.15B.10C.4√5DBCDB8.如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,线段B₁D₁上有两个动点E,F(E在F的左A.v//n₁⇔L//αB.vLn₁⇔l⊥aB.存在点M,使OM//平面SBC13.已知直线l:x+y-1=0:与圆C:(x-3)²+(y+4)²=5月考卷(一)·数学第2页(共4页)选择性必修第一册15.(13分)已知直线l₁:(2a-1)x—(a-2)y+1=0,直线l₂;(a+1)z—2y-1=0.(1)若L₁//l₂,求实数a的值；16.(15分)明理由.17.(15分)已知圆C:(x-2)²+(y-3)²=4,直线l:(m+1)x+(2m+1)y=5m+3.月考卷(一)·数学第3页(共4页)选择性必修第一册·月考卷(一)·数学第4页(共4页)选择性必修第一册月考卷(一)·数学第3页(共4页)选择性必修第一册·月考卷(一)·数学第4页(共4页)选择性必修第一册全国名校第一次月考试卷·数学2.A由题意得程为,因为直线过点A(1,4),所以,解得a=-3,此时直线方程为x-y+3=解法二：易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.设直线方程为y-4=k(x—1)(k≠0),则x=0时，y=4—k,y=0时,由题意知,解得k=4或k=1,即直线方程为y=4x或x一y+3=0.解得5.B因为a=(1,1,一√3),b=(1,-1,x)6.A显然l₁⊥l2,且两直线同时过定点P(一2,1),点P在圆O内，设点O到弦AC,BD的距离分别为d₁,d2,7.D圆C:(x—2)²+(y-3)²=4①的圆心为C(2,3),半径为2,过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,故P,A,C,B四点共圆，其中PC的中点为该圆心，PC为直径.设P(m,m-4),则PC的中点为),IPCI=√(m-2)²+(m-4-3²=√(m-2²+(m-7)°,故过P,A,C,B的圆的方程为,变形得到z²—(m+2)x+y²—(m-1)y=-5m+12②,由①②相减可得直坐标系Cryz,则A(2,2,0),B(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),D₁(2,0,2),EF=√2,设E(t,2一t,2),F(t-1,3一t,2),I≤t≤2,则AE=(t-2,一t,2),CF=D月考卷(一)·数学参考答案第1页(共4页)选择性必修第一册月考卷(一)·数学参考答案第2页(共4页)选择性必修第一册量为m=(,y,z),又B=(-2.0,0),故令y=2,则m=(0,2,t),平面ABC的法向量可取为n=(0,0,1),故.因为1≤t≤2,且函数y=连接BD,AD₁,AB₁,平面EFB即为平面BDD₁B₁,平面AEF即为平面AB₁D₁,平面BDD₁B₁的法向量可取为CA=(2,2,0),设平面AB₁D₁的法向量为t=(a,b,c),又AB₁=(-2,0,2),D₁B₁=(-2,2,0),故10.AC圆C:(x—2)²+y²=1的圆心为C(2,0),半径为r=1,义为P点到原点距离的平方，又P到原点的距离的取值范围为[1,3],所以m²+n²的取值范置为[1,9],故OM·AP=-1+t-1+2-t=0,所以OMABCD与平面SAB的距离和为2—t+t=2为定值，D选项正确；因为B(2,0,0),SB=(2,0,—2),BC=(0,2,0),设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),故可设n=(1,0,1),+7=0,△=81-4×3×7=-3<0,无解，所以C选项错误.故选ABD.2a·b+4=4,解得a·b=2.13.2√3由圆C:(x—3)²+(y+4)²=5,可得圆心坐标为C(3,-4),半径为r=√5,又由圆心C到直分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Cxyz,则A₁(1,0,2),.设平面DA₁C的法向量为n=(x,y,z),则令x=2,则y=-2,z=-1,即n=(2,-2,-1).由题意可得：平面A₁CC₁的法向量m=(0,1,0),则整理得a²—5a=0,解得a=0或a=5………………5分12分故l恒过两直线x+2y-5=0以及x+y-3=0的交点P(1,2).…………4分因为圆C的圆心为(2,3),所以(1-2)²+(2-3)²=2<4,即点P在圆的内部，(2)因为圆C的方程为(x-2)²+(y-3)²=4,所以点C的坐标为(2,3),半径为2,因为点A,B分圆周得两段弧长之比为1:2,故∠ACB=120°,因为点C2,3)到直线x=1的距离为1,所以直线x=1满足条件，即直线l的方程可能为x=1;……………………11分当直线斜率存在时，设直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y—k+2=0,月考卷(一)·数学参考答案第3页(共4页)选择性必修第一册因为PB=√2AB=√2PA,所以PB²=AB²+PA²,为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz8分设AB=2,则A(0,0,0),C(1,√3,0),D(-1,√3,0),P(0,0,2),故AC=(1,3,0),PD=(一1,√3,-2),AP=(0,0,2),所以AE=AP+PE=AP+λPD=(一λ,√3λ,2—2λ).………11分令x=√3,得又平面PAB的一个法向量为m=(0,1,0),设面PAB与面ACE所成的锐二面整理得3x²+2λ-1=0,解得或λ=-1(舍去).……16分故存在实数,使得面PAB与面ACE所成锐二面角的余弦值是……17分19.(1)证明：化简整理可得(m²+1)y²+2my-3=0……………………………10分(3)解：当m变化时，点Q恒在直线x=2上.……………11分x²+y²+(2-xo)x-yoy—2x