（人教A版）必修一高一数学上册同步重点通关练习卷13 二次函数在闭区间上的最值问题（解析版）

第页通关练13二次函数在闭区间上的最值问题eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、单选题1．已知二次函数的值域为，则的最小值为（

）A．16 B．12 C．10 D．8【解析】由题意知，，∴且，∴，当且仅当，即，时取等号.故选：D.2．若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值分别为（

）A．-1，-7 B．0，-8 C．1，-1 D．1，-7【解析】的解集为，，1是方程的根，且，，，，则二次函数开口向下，对称轴，在区间上，当时，函数取得最大值1，当时，函数取得最小值故选：D．3．函数在上的最小值为，最大值为2，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【解析】当x≥0时，，当＜0时，，作出函数的图象如图：当时，由=，解得=2．当时，．当＜0时，由,即，解得=，∴此时=，∵[]上的最小值为，最大值为2，∴2，，∴的最大值为，故选：B．4．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】为开口方向向上，对称轴为的二次函数令，解得：，

即实数的取值范围为故选：C5．已知函数的定义域为区间[m，n]，其中，若f（x）的值域为[-4，4]，则的取值范围是（

）A．[4，4] B．[2，8] C．[4，8] D．[4，8]【解析】若，，函数为增函数，时，则，所以，当时，作图如下，为使取最大，应使尽量大，尽量小，此时，由，即，所以，所以，即，当时，即时，此时在对称轴同侧时最小，由抛物线的对称性，不妨设都在对称轴右侧，则由，解得，，当且仅当,即时取等号，但，等号取不到，，时，同理，当时，，当时，，综上，的取值范围是，故选：C6．已知函数，若存在实数，（）满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【解析】当0≤x≤2时，0≤x2≤4，当2<x≤3时，2<3x－4≤5，则[0，4]∩(2，5]=(2，4]，令=t∈(2，4]，则，，∴，当，即时，有最小值，故选：A.二、多选题7．定义在上的奇函数在上的解析式，则在上正确的结论是（

）A． B． C．最大值 D．最小值【解析】由题可知，函数为定义在上的奇函数，则，已知在上的解析式，则当时，，则，所以当时，，可知，，且最大值为，无最小值，所以在上正确的结论是ABC.故选：ABC.8．设函数，存在最小值时，实数的值可能是（

）A．2 B．-1 C．0 D．1【解析】当时，，所以当时，，若，则，所以此时，存在最小值，若，则当时，，无最小值，若，则当时，为减函数，则要使存在最小值时，则，解得，综上或.故选：BC.三、填空题9．已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______【解析】因为，所以当时，，当时，，所以最大值和最小值之积为.故答案为：8010．函数是偶函数，且它的值域为，则__________．【解析】为偶函数，所以，即或，当时，值域不符合，所以不成立；当时，，若值域为，则，所以.故答案为：.11．对，不等式恒成立，则m的取值范围是___________；若在上有解，则m的取值范围是___________.【解析】（1）关于x的不等式函数对于任意实数x恒成立，则，解得m的取值范围是.（2）若在上有解，则在上有解，易知当时，当时，此时记，则，，在上单调递减，故，综上可知，，故m的取值范围是.故答案为：；四、解答题12．已知二次函数，满足，.(1)求函数的解析式；(2)求在区间上的值域.【解析】（1）解：由可得，，由得，所以，解得，所以.（2）解：由（1）可得：，则的图象的对称轴方程为，，又因为，，所以，在区间上的值域为.13．，不等式的解集为．(1)求实数b，c的值；(2)时，求的值域．【解析】(1)解：由题意，1和3是方程的两根，所以，解得；(2)解：由（1）知，，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以，，所以的值域为.14．已知函数，．(1)当时，求的最值；(2)若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围．【解析】（1）当时，，∴在上单凋递减，在上单调递增，∴，.（2），∴要使在上为单调函数，只需或，解得或．∴实数a的取值范围为．15．已知二次函数.(1)求的对称轴；(2)若，求的值及的最值.【解析】(1)解：因为二次函数，所以对称轴．(2)解：因为，所以.所以.

所以．因为，所以开口向上，又对称轴为，所以最小值为，无最大值.16．函数(1)当时，求函数的值域；(2)当时，求函数的最小值．【解析】(1)解：由题意，函数，可得函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在区间上的最大值为，最小值为，综上函数在上的值域为.(2)解：①当时，函数在区间上单调递减，最小值为；②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，最小值为；③当时，函数在区间上单调递增，最小值为，综上可得：当时，函数的最小值为；当，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.17．已知函数在上的最大值为3，最小值为．(1)求的解析式；(2)若，使得，求实数m的取值范围．【解析】（1）的开口向上，对称轴为，所以在区间上有：，即，所以.（2）依题意，使得，即，由于，，当且仅当时等号成立.所以.18．已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1．(1)求，的值；(2)若正实数，满足，求的最小值．【解析】(1)由，可得其对称轴方程为，所以由题意有，解得.(2)由（1）为，则，（当且仅当时等号成立）.所以的最小值为.19．已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)已知在上单调递增，求的取值范围；(3)求在上的最小值.【解析】（1）当时，函数，不等式，即，解得或，即不等式的解集为.（2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为.（3）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，当时，函数在上单调递增，所以最小值为；当时，函数在递减，在上递增，所以最小值为；当时，函数在上单调递减，所以最小值为，综上可得，在上的最小值为.20．已知函数f（x）＝x|x﹣m|＋n.(1)当f（x）为奇函数，求实数m的值；(2)当m＝1，n＞1时，求函数y＝f（x）在[0，n]上的最大值.【解析】(1)因为f（x）为奇函数，所以f（﹣0）＝﹣f（0），所以f（0）＝0，即n＝0，所以f（x）＝x|x﹣m|，又f（﹣1）＝﹣f（1），所以|1﹣m|＝|1＋m|，解得m＝0，此时f（x）＝x|x|，对∀x∈R，f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数,故m＝0.(2)f（x）＝x|x﹣1|＋n＝所以f（x）在和[1，n]上单调递增，在上单调递减，其中，，令得，，所以时，，.时，所以，因此y＝f（x）在[0，n]上的最大值为.21．已知函数的图象过点，且满足．(1)求函数的解析式：(2)求函数在上的最小值；(3)若满足，则称为函数的不动点，函数有两个不相等且正的不动点，求t的取值范围．【解析】（1）∵的图象过点，∴①又，∴②由①②解，，∴；（2），，当，即时，函数在上单调递减，∴；当，即时，函数在上单调递减，在单调递增，∴；当时，函数在上单调递增，∴．综上，．（3）设有两个不相等的不动点、，且，，∴，即方程有两个不相等的正实根、．∴，解得．22．已知函数.(1)若且的最小值为，求不等式的解集；(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）解：的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，所以，，因为，解得，由得，即，得，因此，不等式的解集为.（2）解：由得，设函数，因为函数的图象是开口向上的抛物线，要使当时，不等式恒成立，即在上恒成立，则，可得，解得.23．已知函数．(1)当时，解关于x的不等式；(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．【解析】（1）当时，不等式，即为，即，所以，所以或，所以原不等式的解集为．（2），由题意或，这时解得，若，则，所以；若，即，所以，则，综上，或．24．已知函数（为常数），在时取得最大值2.（1）求的解析式；（2）求函数在上的单调区间和最小值.【解析】（1）由题意知,∴,∴.（2）∵，∴当时，的单调增区间为，单调减区间为，又，∴最小值为.25．已知函数．（1）若在区间上有最小值为，求实数m的值；（2）若时，对任意的，总有，求实数m的取值范围．【解析】（1）可知的对称轴为，开口向上，当，即时，，解得或（舍），∴．当，即时，，解得，∴．综上，或．（2）由题意得，对，．∵，，∴，．∴，解得，∴．26．已知二次函数满足，且.(1)求函数在区间上的值域；(2)当时，函数与的图像没有公共点，求实数的取值范围.【解析】(1)解：设､∴，∴，∴，，又，∴，∴.∵对称轴为直线，，，，∴函数的值域.(2)解：由（1）可得：∵直线与函数的图像没有公共点∴，当时，∴，∴.27．已知二次函数．(1)当时，求的最大值和最小值，并指出此时的取值；(2)求的最小值，并表示为关于的函数．【解析】(1)当时，，对称轴为，开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，，.所以当时，的最小值为，当时的最大值为.(2)的对称轴为，开口向上，当即时，在上单调递增，，当即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，当即时，在上单调递减，，所以.28．已知二次函数.(1)当对称轴为时，（i）求实数a的值；（ii）求f（x）在区间上的值域.(2)解不等式.【解析】(1)解：（i）由题得；（ii），对称轴为，所以当时，..所以f（x）在区间上的值域为.(2)解：，当时，；当时，，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，，所以不等式的解集为.综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为.29．已知函数，．(1)若在上的值域为，求的值；(2)若关于的不等式只有一个正整数解，求的取值范围．【解析】(1)解：因为函数，，对称轴，且，，，当时，函数在上单调递增，所以，即，此时无解；当时，函数在上单调递减，所以，即，解得；当，即时，函数在取得最小值，所以，即，方程在上无解，综上得：；(2)解：关于的不等式只有一个正整数解，等价于只有一个正整数解，令，则，当且仅当，即，在上递减，在递增，而，，，，，当不等式只有一个正整数解，所以的取值范围为．30．已知函数，．(1)若的值域为，求a的值．(2)证明：对任意，总存在，使得成立．【解析】(1)解：因为的值域为，所以，解得．(2)证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得在上单调递增，所以．设在上的值域为M，当，即时，在上单调递增，因为，，所以；当，即时，在上单调递减，因为，，所以；当，即