（人教A版）必修一高一数学上册同步重点通关练习卷19 函数的应用（一）（解析版）

第页通关练19函数的应用（一）eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、单选题1．某产品的总成本y万元与产量x（台）之间的关系是，，若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（）A．3台 B．5台 C．6台 D．10台【解析】依题意，，即，解得或（舍去），∵，∴.∴生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是3（台）．故选：A．2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（

）A．30件 B．60件 C．80件 D．100件【解析】根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（为正整数）由基本不等式，得当且仅当，即时，取得最小值，时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B3．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（

）A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位【解析】设每生产单位试剂的成本为，因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，则，当且仅当，即时取等号，满足，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．4．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级每月应纳税所得额元（含税）税率31020现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（

）A．1800 B．1000 C．790 D．560【解析】李某月应纳税所得额（含税）为：元，不超过3000的部分税额为元，超过3000元至12000元的部分税额为元，所以李某月应缴纳的个税金额为元．故选：．5．某市为打击出租车无证运营、漫天要价等不良风气，出台两套出租车计价方案，方案一：2公里以内收费8元（起步价），超过2公里的部分每公里收费3元，不足1公里按1公里计算：方案二：3公里以内收费12元（起步价），超过3公里不超过10公里的部分每公里收费2.5元，超过10公里的部分每公里收费3.5元，不足1公里按1公里计算．以下说法正确的是（

）A．方案二比方案一更优惠B．乘客甲打车行驶4公里，他应该选择方案二C．乘客乙打车行驶12公里，他应该选择方案二D．乘客丙打车行驶16公里，他应该选择方案二【解析】A.应付车费与公里数有关，故错误；B.乘客甲打车行驶4公里，方案一：应付车费为；方案二应付车费为，他应该选择方案一，故错误；C.乘客乙打车行驶12公里，方案一：应付车费为；方案二应付车费为，他应该选择方案二，故正确；D.乘客丙打车行驶16公里，方案一：应付车费为；方案二应付车费为，他应该选择方案一，故错误；故选：C6．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为（

）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时【解析】由第天和第天检测过程平均耗时均为小时知，，所以，得．又由知，，所以当时，，故选：C．二、多选题7．某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（

）A．2.6元 B．2.8元 C．3元 D．3.2元【解析】设商品A的单价为元，则销量为万件，此时商品A销售总收入为万元，根据题意有，解得，故BCD符合题意.故选:BCD8．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)､乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲､乙所示，则（

）A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为【解析】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；设甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为，代入点，可得，解得，所以甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为，故B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为元，故C正确；设当时，设与之间的函数关系式为代入点，可得，解得，所以当时，与之间的函数关系式为，故D正确.故选：ABCD.9．几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（

）A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润【解析】当时，，故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；，当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.故选：BC.10．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比，若在距离车站10km处建仓库，则为1万元，为4万元，下列结论正确的是（

）A． B． C．有最小值4 D．无最小值【解析】对A，设，由题意知：函数过点，即，，故A错误；对B，，由题意得：函数过点，即，解得：，，故B正确；对C，，当且仅当，即时等号成立，故C正确；对D，在上单调递减，故无最小值，故D正确.故选：BCD.三、填空题11．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系式，则总利润最大时，每年生产的产品数量是__________.【解析】设总成本为元，总利润为元，则，P=R-C=所以=令，得=300．当0<<300时，；当>300时，．所以当=300时，取得最大值.故答案为：300.12．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是___________【解析】由题意，设该厂月获利为元，则：，当工厂日获利不少于1000元时，即，即，解得：.故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.故答案为：1013．某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________.【解析】由题意函数是上的增函数，设，，由，解得，所以，所以故答案为：注：在上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如，等等．14．2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破、为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策.（1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠.该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元；方案二：一次性付款购买.若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省______元.【解析】因为且，所以实际付款元对应的原价为元，又因为，所以实际付款元对应的原价大于元，设实际付款元对应的原价为元，所以，解得，所以两次付款的原价之和为：元，若按方案二付款，则实际付款为：元，所以节省的钱为：元，故答案为：.15．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________．【解析】看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．故答案为①②③.四、解答题16．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解析】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；当且仅当，即时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S元，则，因为，则，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.17．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【解析】（1）依题意：可设，，∵，，∴，.（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元，依题意得：，即，令，则，，则，，所以当，即万元时，收益最大，万元.18．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【解析】（1）由题意得当时，，当时，，所以,（2）由（1）得当时，，当时，，当时，，当且仅当，即时等号成立，，时，，，时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.19．某自来水厂的蓄水池有吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，小时内供水总量为吨，其中．（Ⅰ）从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？（Ⅱ）若蓄水池中水量少于吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的小时内，大约有几小时出现供水紧张现象？【解析】（Ⅰ）设供水小时，水池中存水吨．则当时，，故从供水开始到第小时，蓄水池中的存水量最少，最少水量为吨．（Ⅱ）令x；则x2＝6t，即y＝400+10x2﹣120x；依题意400+10x2﹣120x＜80，得x2﹣12x+32＜0,解得，4＜x＜8，即，；即由，所以每天约有8小时供水紧张．答：一天小时内大约有小时出现供水紧张．20．为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（），公司甲的整体报价为y元．(1)试求y关于x的函数解析式；(2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．【解析】（1）因应急室的左右两侧的长度均为x米，则应急室正面的长度为米，于是得，，所以y关于x的函数解析式是.（2）由（1）知，对于公司甲，，当且仅当，即时取“=”，则当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的最低报价为28800元，对于乙，函数在上单调递增，，即乙公司最高报价为22900元，因，因此，无论x取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，所以公司乙能竞标成功.21．某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：(1)将利润（单位：元）表示成月产量x的函数(2)当月产量x为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）【解析】（1）由题意可得：当时，；当时，；所以.（2）当时，，即最大值为25000；当时，为减函数，所以当时，，故.即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000.22．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度(单位：毫克/立方米)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值.(精确到0.1，参考数据：取1.4)【解析】（1）∵一次喷洒个单位的净化剂，∴浓度，则当时，由，解得，∴此时．当时，由，解得，∴此时．综合得，若一次投放个单位的制剂，则有效净化时间可达天．（2）设从第一次喷洒起，经天，浓度，∵，而，∴，故当且仅当时，有最小值为．令，解得，∴a的最小值为．23．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（），公司生产万件防护服还需投入成本（万元）．(1)将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴万元计入公司收入）；(2)当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．【解析】(1)由题意得，即，，.(2)由，得，因，当且仅当时取等号，所以.故当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元.24．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120．设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．（1）求f(50)的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？【解析】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5．（2）由题知，f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，依题意得解得20≤x≤180，故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．25．某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中．（1）求，并说明的实际意义；（2）若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．【解析】（1），实际意义为：发车时间间隔为分钟时，载客量为；（2），当时，，任取，则，，所以，，，，所以，函数在区间上单调递增，同理可证该函数在区间上单调递减，所以，当时，取得最大值；当时，，该函数在区间上单调递减，则当时，取得最大值．综上，当发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元．26．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资的单位均为万元）．图（1）

图（2）（1）分别求，两种产品的利润关于投资的函数解析式．（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入，两种产品的生产．①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？【解析】（1）设投资为万元（），，两种产品所获利润分别为，万元，由题意可设，，其中，是不为零的常数．所以根据图象可得，，，，所以，．（2）①由（1）得，，所以总利润为万元．②设产品投入万元，产品投入万元，该企业可获总利润为万元，则，．令，则，且，则，．当时，，此时，．当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元．27．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达