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6.2.2直线上向量的坐标

及其运算人教B版（2019）必修第二册第六章

平面向量初步学习目标理解直线上向量的坐标的概念01掌握直线上向量的坐标运算及数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式02探索新知直线上向量的坐标给定一条直线

l以及这条直线上一个单位向量

e，由共线向量基本定理可知，对于直线

l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数

x，使得

，此时，x称为向量

a的坐标.

a＝xe

如果直线上向量

a的坐标为x，则x既能刻画

a的模，也能刻画向量

a的方向.事实上，此时

|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|.探索新知|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|.当x＞0时：a的方向与e

的方向相同；当x＝0时：a是零向量；当x＜0时：a的方向与

e

的方向相反.也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定.探索新知思考：如果直线上向量

a的坐标为

x，那么

x的几何意义是什么？如图，在直线l上指定一点O

作为原点，以

e

的方向为正方向，e

的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量

a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么

a的终点对应的数就是向量

a的坐标.上图中，向量

a的坐标为－4.

（注：e

的坐标为1）O1xea探索新知思考：向量

a的坐标是如何统一确定的，如何求直线上向量的坐标？

探索新知因此，为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种：

（1）将向量用单位向量e

表示出来；（2）将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标.典型例题例1如图所示，求出直线上向量

a，b的坐标.解：因为

a的始点在原点，所以由

a的终点坐标可知a的坐标为2；xO1ab因为b＝－3e，所以

b的坐标为

－3.探索新知直线上向量的运算与坐标的关系假设直线上两个向量a，b

的坐标分别为x1，x2，即a＝x1e，b＝x2e.(1)当

a＝b时，有x1e＝x2e，由

e

是单位向量可知x1＝x2；反之，结论也成立.

即：直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等.(2)因为

a＋b＝x1e＋x2e＝(x1＋x2)e，所以a＋b的坐标是x1＋x2，

即：直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.(3)类似地，可以得到，如果u，v是两个实数，那么：

ua＋vb

的坐标为ux1＋vx2；ua

－vb的坐标为ux1－vx2.典型例题解：(1)a＋b的坐标为

－2＋5＝3；例2已知直线上向量

a的坐标为

－2，b的坐标为5，求下列向量的坐标：(1)a＋b；

(2)

b

；

(3)－2a－3b.

(3)－2a－3b的坐标为(－2)×(－2)－3×5＝－11.(2)b的坐标为×5＝1；

探索新知数轴上两点之间的距离公式

探索新知数轴上的中点坐标公式

典型例题

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