（新高考）2022届高考数学考前冲刺卷（十）解析版

（新高考）2022届高考考前冲刺卷数学（十）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，所以，所以，故选A．2．已知函数，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，则，，故选D．3．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°且A、B两点之间的距离为60m，则树的高度为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】在中，，所以，由正弦定理得，所以，树的高度为，故选A．4．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点D是线段的中点，点E在底面圆的圆周上，且的长度是长度的两倍，则异面直线与AC所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示：取中点为，中点为，连接，在中，分别为的中点，所以，所以异面直线与AC所成角为．设，则，，因为的长度是长度的两倍，所以，在中，，又因为平面，，所以平面，又平面，所以．在中，，在中，，所以，故选B．5．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题设条件可得，，又，解得，所以，故选A．6．牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中是环境温度，h为常数．现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（）（参考数据：，）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，有，又，有，即，则，解得，故选B．7．已知等比数列满足，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设等比数列的公比为，由，即，又，则，即，则当时，由，此时，即由“”可得到“”成立；由，即，即，即或，，若时，，成立；若时，，则不成立，所以若“”则“”不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．8．在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，故由，得，由，得，设，则，即，即点C轨迹为一动圆，设该动圆圆心为，则，整理得，代入到中，得，即C轨迹的圆心在圆上，故点与该圆上的点的连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，最大值为，故选B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．中国正在从电影大国迈向电影强国．下面是至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片（含合拍片）与进口影片数量统计图，则下列说法中正确的是（）A．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比不低于B．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比逐年提高C．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数D．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差【答案】ACD【解析】对于A，至年各年国内电影票房前十名影片中，每年的国产影片数量均大于等于5部，故国产影片数量每年的占比都不低于，A正确；对于B，年国产影片占比为，年国产影片占比为，故国产影片数量占比并非逐年提高，B错误；对于C，至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量平均数为，进口影片数量平均数为，C正确；对于D，至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差为；进口影片数量的方差为，D正确，故选ACD．10．设a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABC【解析】A：当时，可以成立，本选项结论不正确；B：当时，若，此时成立，因此本选项结论不正确；C：当时，若，，此时成立，因此本选项结论不正确；D：因为，所以，，所以，而，，所以，而，所以，因此，所以本选项结论正确，故选ABC．11．如图1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定，关于的函数图象如图，则下列叙述中正确的是（）A．函数的周期为B．函数的对称轴为C．函数的单调增区间为D．函数的图象可由函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍得到【答案】ABC【解析】由题意和图象可知，，，所以，即，所以或，，因为在增区间内，所以，．所以，因为，所以，结合图象可知，在减区间内，所以，，解得，．根据图象可知，且，所以，所以，解得，所以，故，对A：，故A正确；对B：令，，解得，，所以函数的对称轴为，故B正确；对C：令，，解得，，所以函数的单调增区间为，故C正确；对D：函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍得到函数，故D错误，故选ABC．12．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C．则下列结论正确的是（）A．曲线C与y轴的交点为，B．曲线C关于x轴对称C．面积的最大值为2D．的取值范围是【答案】ABD【解析】设点，依题意，整理得，对于A，当时，解得，即曲线C与y轴的交点为，，A正确；对于B，因，由换方程不变，曲线C关于x轴对称，B正确；对于C，当时，，即点在曲线C上，，C不正确；对于D，由，得，解得，于是得，解得，D正确，故选ABD．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量，向量，与垂直，则与夹角的余弦值为__________．【答案】【解析】∵向量，向量，∴，由于与垂直，所以，即，则，所以与的夹角的余弦值是，故答案为．14．的展开式中的系数是________（用数字作答）．【答案】27【解析】的第项为，令，，得，，代入通项可得展开式中的和项分别为和，分别与和相乘，得的展开式中项为，故的系数为27，故答案为27．15．设，且，则的最小值为________．【答案】【解析】设，则，即，化简得．所以，所以当时，，故答案为．16．已知椭圆C的一个焦点为，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为__________；若P为椭圆C上一动点，，则的最小值为__________．【答案】，1【解析】因为椭圆C的一个焦点为，所以椭圆C的焦点在y轴上，且，因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以，得，因为，所以椭圆C的标准方程为，将代入椭圆方程，得，所以M点在椭圆外，作图如下：设椭圆C的另一个焦点为，则，所以．当，P，M三点共线时，取得最小值，且最小值为，所以的最小值为1，故答案为，1．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列中，，．（1）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（2）记，是数列的前n项和，求证：．【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析．【解析】（1）由，可得，即，即，又，故是以3为首项，3为公比的等比数列，，．（2）由（1）知，故，，所以．18．（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．在①；②；③．这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）（1）求的面积S；（2）求角A的平分线的长．【答案】（1）条件选择见解析，；（2）条件选择见解析，．【解析】（1）选①：因为，所以，又，，所以，所以，所以．选②：因为，，所以由正弦定理可得，所以，，由正弦定理可得，所以，由余弦定理可得，由，所以，所以．选③：因为，所以，由，，所以，．由余弦定理可得，所以，所以．（2）选①：由余弦定理可得，所以，所以，由，所以．因为，所以可解得．选②：因为，所以可解得．选③：因为，所以可解得．19．（12分）在四棱锥中，四边形为平行四边形，是等边三角形，．（1）证明：；（2）若，，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）取AM的中点N，连接DN，BN，∵是等边三角形，∴AM⊥DN，又，，∴AM⊥平面BDN，又平面BDN，∴AM⊥BN，又N为AM的中点，∴．（2）∵，，是等边三角形，∴，，∴，又，∴平面ADM，如图建立空间直角坐标系，则，∴，设平面BMC的法向量为，则，令，则，∴；设平面DMC的法向量为，则，令，则，∴，∴，∴，∴二面角的正弦值为．20．（12分）2020年初，面对突如其来的新冠肺炎疫情，某省体育局适时推出线上万人健步走活动，全省14万人参赛，掀起了一场前所未有的“健步走热潮”，该省今年将继续举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄、更加优异的成绩，向中国共产党百年华诞献礼．为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这60人年龄的平均数，并求中位数的估计值；（2）若从样本中年龄在[50，70)的居民中任取3人，这3人中年龄不低于60岁的人数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）平均数为37，中位数估计值为35；（2）分布列见解析，数学期望为1．【解析】（1）这60人年龄的平均数为．前两组所占频率之和为，前三组数据频率之和为，设中位数估计值为x，则，解得．（2）由题意可知，年龄在[50，60）内的人数为6，[60，70）内的人数为3，X的可能取值有0，1，2，3．，，，，∴X的分布列为X0123P．21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q为椭圆C上任意两点，且点P，，Q三点共线，若三角形的周长为8，离心率．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C外切于矩形，求矩形面积的最大值．【答案】（1）；（2）12．【解析】（1）解：因为三角形的周长为4，所以，则，又∵，∴，∴，∴，所以椭圆C的方程为．（2）当矩形中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行，此时；当矩形的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线的方程为：，则的方程为．的方程为，的方程为．由，得，令，得，同理得．矩形的边长分别为，．∴，当且仅当时取等号，所以矩形面积的最大值是12．22．（12分）已知函数，．（