2023年广东省广州市各区数学中考一模汇编《二次函数压轴题》含答案

试题试题2023年广东省广州市各区中考数学一模考试二次函数压轴题汇总越秀区2023年一模24.已知抛物线：经过点．（1）用含的代数式表示；（2）若抛物线与轴交于两点，（点在点左侧），且，求点的坐标；（3）当时，自变量x的取值范围是：或，若点在抛物线上，求的取值范围．海珠区2023年一模25.二次函数的图象记为，其中．（1）请直接写出二次函数与轴的交点及其对称轴；（2）若二次函数过点，其与轴的另一个交点为，抛物线上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，二次函数的图像为，且夹在直线与抛物线之间，二次函数同时符合以下三个条件：①当时，二次函数最大值与最小值之差为9；②当时，随的增大而减小；③若把图象向左平移3个单位，当时，随的增大而增大；求实数的值．荔湾区2023年一模25.已知抛物线的顶点为，与轴交点为，点是抛物线上异于点H的一个动点．（1）若抛物线的对称轴为直线，请用含的式子表示；（2）若，作直线交轴于点，当点在轴上方且在线段上时，直接写出的取值范围；（3）在（1）的条件下，记抛物线与轴的右交点为，的中点为，作直线，过点作于点并交轴于点，若，，求的值．天河区2023年一模25.在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为点．（1）求与的数量关系；（2）设拋物线的对称轴为直线，过作，垂足为，且．①当时，求拋物线的最高点的纵坐标（用含的式子表示）；②平移拋物线，当它与直线最多只有一个交点时，求平移的最短距离．番禺区2023年一模24.已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D．（1）当时，求该抛物线的对称轴，写出顶点D的坐标；（2）当时，点，若，求该抛物线的解析式；（3）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．试探究当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标．花都区2023年一模25.已知抛物线，过点．（1）求a，b之间的关系；（2）若，抛物线在的最大值为，求a的值；（3）将抛物线向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线顶点记为点P，若为任意正实数时，总有，求c的取值范围．黄埔区2023年一模25.已知抛物线与轴交于和两点（点在点右侧），且，与轴交于点，过点的直线：与抛物线交于另一点，与线段交于点．过点的直线：与轴正半轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）若，求点的坐标；（3）设，是否存在实数，使有最小值？如果存在，请求出值；如果不存在，请说明理由．白云区2023年一模24.已知抛物线开口向上，与x轴交于（点B在点C的左边），与y轴交于点A．（1）求出点C的坐标；（2）在直线下方的抛物线上一点M，当最大面积为4时，求点M的坐标及a的值；（3）设抛物线的顶点为点D，连接，是否存在点D，使得？若存在，求出此时a的值；若不存在，说明理由．从化区2023年一模24.平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．（1）求点的坐标及抛物线的对称轴；（2）若，有最大值为3，求的值；（3）已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图像，求的取值范围．南沙区2023年一模25.抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．（1）求的值；（2）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当四边形的面积取得最大值，求此时点的坐标；（3）点在的抛物线上，点在的抛物线的对称轴上，若直线垂直平分线段时，求点的坐标．增城区2023年一模25.综合与探究已知抛物线．（1）当抛物线经过和两点时，求抛物线的函数表达式．（2）当时，无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点A在点B的左侧）的长度始终不变，求m的值和线段的长．（3）在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为G，H．是否存在实数a使得以A，B，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由．试题试题2023年广东省广州市各区中考数学一模考试二次函数压轴题汇总越秀区2023年一模24.已知抛物线：经过点．（1）用含的代数式表示；（2）若抛物线与轴交于两点，（点在点左侧），且，求点的坐标；（3）当时，自变量x的取值范围是：或，若点在抛物线上，求的取值范围．【答案】（1）（2）或（3）或【解析】【分析】（1）根据题意，将点代入解析式即可求解；（2）根据（1）结论得出，令，即，根据一元二次方程根与系数的关键，结合题意，得出关于的一元二次方程，解方程得出或，然后分类讨论，即可求解；（3）根据已知条件得出对称轴为直线，则，得出抛物线解析式为，得出抛物线与轴交点坐标为，；根据与有2个不等实数根求得，进而令求得当在抛物线上时的的值，进而即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线：经过点．∴∴；【小问2详解】解：∵∴，令，即∴∵抛物线与轴交于两点，（点在点左侧），且，即①∴解得：或当，即②由①②得，∴当，即③由①③得∴综上所述，或【小问3详解】解：∵当时，自变量x的取值范围是：或∴当时，的两个根为或，且，对称轴为直线∴即∴抛物线解析式为令，即解得：，则抛物线与轴交点坐标为，；∵时，，∴，又，解得：；当时，解析式为∵在抛物线上，∴解得：或∵，抛物线开口随着的绝对值的增大开口越小，∴或．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．海珠区2023年一模25.二次函数的图象记为，其中．（1）请直接写出二次函数与轴的交点及其对称轴；（2）若二次函数过点，其与轴的另一个交点为，抛物线上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，二次函数的图像为，且夹在直线与抛物线之间，二次函数同时符合以下三个条件：①当时，二次函数最大值与最小值之差为9；②当时，随的增大而减小；③若把图象向左平移3个单位，当时，随的增大而增大；求实数的值．【答案】（1），对称轴为直线（2）或1或或（3）【解析】【分析】（1）在中，求出当时，的值即可求出点A的坐标，把化成顶点式即可求出对应的对称轴；（2）把代入中求出抛物线解析式为，进而求出C的坐标为；求出直线的解析式为，设，再分如图2-1所示，当，如图2-2所示，当时，如图2-3所示，当时，三种情况讨论求解即可；（3）先根据题意得到抛物线开口向上，即；有当时，随的增大而减小，得到；根据平移过后的抛物线，当时，随的增大而增大，得到，可以推出，即；联立，解得，则抛物线与只有一个交点；进而得到点也在二次函数的图象上，即可求出；根据二次函数夹在直线与抛物线之间，得到不等式对于一切实数都成立，进而得到且解得，则，对称轴为直线；根据，推出，即，，再分当，即时，当，即时，两种情况利用二次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：在中，令，则，∴抛物线与轴的交点A的坐标为，∵抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为直线；【小问2详解】解：∵二次函数过点，∴，解得，∴抛物线解析式为，∵抛物线对称轴为直线，∴抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为；设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为；设，如图2-1所示，当，过点N作轴于T，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，解得或（舍去），∴点N的横坐标为；如图2-2所示，当时，过点N作轴于T，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，解得或（舍去），∴点N的横坐标为1；如图2-3所示，当时，过点N作轴于T，过点G作交延长线于M，∴，，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴或，∴或，解得或（舍去），∴点N的横坐标为或；综上所述，点N的横坐标为或1或或；【小问3详解】解：二次函数的对称轴为直线，∵二次函数夹在直线与抛物线之间，∴抛物线开口向上，即；∵当时，随的增大而减小，∴，即；若把图象向左平移3个单位，则平移后的抛物线对称轴为直线，∵平移过后的抛物线，当时，随的增大而增大，∴，即，∴，即；联立得，解得∴抛物线与只有一个交点；∵二次函数夹在直线与抛物线之间，∴点也在二次函数的图象上，∴，∴；∵二次函数夹在直线与抛物线之间，∴不等式对于一切实数都成立，∴对于一切实数都成立，∴，对于一切实数都成立，∴且∴且，解得，∴，对称轴为直线，∵，∴，即，∴，当，即时，对于而言，当时，有最小值，最小值为，∵，∴当时，有最大值，最大值为，∴，解得或（舍去）；当，即时，随x增大而增大，∴当时有最小值，最小值为，当时，有最大值，最大值为，∴解得（舍去）；综上所述，．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，二次函数图象的平移，二次函数与一元二次方程之间的关系，一次函数与几何综合等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键，荔湾区2023年一模25.已知抛物线的顶点为，与轴交点为，点是抛物线上异于点H的一个动点．（1）若抛物线的对称轴为直线，请用含的式子表示；（2）若，作直线交轴于点，当点在轴上方且在线段上时，直接写出的取值范围；（3）在（1）的条件下，记抛物线与轴的右交点为，的中点为，作直线，过点作于点并交轴于点，若，，求的值．【答案】（1）（2）且（3）【解析】【分析】（1）利用二次函数的性质可得出，确定抛物线的解析式为，再根据图像上点的坐标特征即可得出结论；（2）根据题意和抛物线的解析式可得出，，，再根据点在轴上方且在线段上，可得出不等式组，解不等式组即可得出结论；（3）如图，过点作，交轴于点，由（1）知抛物线的解析式为，结合中点定义先确定，，得出直线的解析式为，证明，利用相似三角形的性质得出，，从而可求出直线的解析式为，然后根据和确定直线的解析式为，得出，再通过解二元一次方程组确定，接着利用两点间距离公式用含的代数式求出，，根据建立方程，分两种情况求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线，∴，对称轴，∵点是抛物线上异于点H的一个动点，∴，∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴抛物线的解析式为，∵点在抛物线上，∴当时，．【小问2详解】∵抛物线与轴交点为，∴当时，，∴，∵点在抛物线上，且，点是抛物线上异于点H的一个动点，∴，，设直线的解析式为，∴，∴，∵，∴，∴，，∵点在轴上方且在线段上，∴，∴，∴，综上所述，的取值范围是且．【小问3详解】如图，过点作，交轴于点，∵抛物线的解析式为，的中点为，当时，，∴，，∴，，当时，，解得：，∴，，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，∵，∴，设直线的解析式为，由（1）知：，∴，∴，∴直线的解析式为，当时，，∴由可得：，∴，∴，，∵，∴，∴，当时，解得：，（不合题意，舍去），当时，解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），综上所述，的值是．【点睛】本题是二次函数综合题，考查用待定系数法确定函数解析式，二次函数图像的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解二元一次方程组，解不等式组，两点间距离，解绝对值方程，解一元二次方程等知识点，运用了分类讨论、方程的思想．根据题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．天河区2023年一模25.在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为点．（1）求与的数量关系；（2）设拋物线的对称轴为直线，过作，垂足为，且．①当时，求拋物线的最高点的纵坐标（用含的式子表示）；②平移拋物线，当它与直线最多只有一个交点时，求平移的最短距离．【答案】（1）（2）①当时，抛物线在时取得最大值；当时，抛物线在时取得最大值；②【解析】【分析】（1）将点代入抛物线，即可求解；（2）①由（1）得，通过求解其对称轴和顶点坐标求出其解析式为，再分别讨论当时，当时，进而根据二次函数最值的求法进行求解即可；②先求出直线的解析式为，抛物线平移，直线不动，相当于抛物线不动，直线平移，再求直线平移后的解析式为，当平移后的拋物线与直线最多只有一个交点时，抛物线平移的距离达到最小时，意味着平移后的直线与抛物线有且仅有一个交点，联立，可得，进而求出，则抛物线平移的距离就是与两条直线间的距离，过点M作垂直于直线于N，A，B分别为与x轴，y轴的交点，通过证明，利用相似三角形的性质进行求解即可．【小问1详解】∵抛物线经过点，∴，∴；【小问2详解】①由（1）得，∴其对称轴为直线，顶点为，∵过作，垂足为，且，∴，∴，∴，当时，即时，抛物线在时取得最大值；当时，即时，抛物线在时取得最大值；综上，当时，抛物线在时取得最大值；当时，抛物线在时取得最大值；②∵点，∴设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，抛物线平移，直线不动，相当于抛物线不动，直线平移，设直线平移后的解析式为，当平移后的拋物线与直线最多只有一个交点时，抛物线平移的距离达到最小时，意味着平移后的直线与抛物线有且仅有一个交点，联立，可得，此时，，解得，则抛物线平移的距离就是与两条直线间的距离，∴M点为与y轴的交点，，过点M作垂直于直线于N，A，B分别为与x轴，y轴的交点，∴，则，∴，即，解得，即与两条直线间的距离为，所以平移最短的距离为．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，求一次函数的解析式，二次函数求最值，相似三角形的判定和性质，直线的平移等，准确理解题意熟练掌握知识点是解题的关键．番禺区2023年一模24.已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D．（1）当时，求该抛物线的对称轴，写出顶点D的坐标；（2）当时，点，若，求该抛物线的解析式；（3）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．试探究当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标．【答案】（1）对称轴直线，点坐标（2）或（3）点，点【解析】【分析】（1）利用对称轴方程即可求解；（2）由两点间的距离公式求得，，再列式计算即可求解；（3）作关于直线对称点，当，D，N三点共线时，取得最小值，即，进而求解即可【小问1详解】解：将点C代入，得，对称轴，，则将代入，得，∴点D坐标是；【小问2详解】解：顶点D的坐标为∴∵∴解得或，∴抛物线的解析式：或；【小问3详解】解：将向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到和；此时点会与点D重合，将点D视为定点，作关于直线对称点，当，D，N三点共线时，取得最小值，即，解得，（舍去）∴，解得∴点，点【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．花都区2023年一模25.已知抛物线，过点．（1）求a，b之间的关系；（2）若，抛物线在的最大值为，求a的值；（3）将抛物线向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线顶点记为点P，若为任意正实数时，总有，求c的取值范围．【答案】（1）（2）或，（3）或．【解析】【分析】（1）将点代入函数解析式即可得出结论；（2）先根据和得出，再求出在时的端点值和函数的最值，根据和时两种情况讨论求解；（3）根据平移的规律得到新抛物线解析式，由顶点坐标的特点得出顶点所在直线，根据，得出直线在圆外或与圆相切，由此解题．【小问1详解】解：由题意得：∴【小问2详解】解：由（1）得，若，则抛物线为，当时，，当时，，当时，，当时，，故最大值为，∴解得：当，，故最大值为，∴解得：，综上所述：或．【小问3详解】由（1）得，∴抛物线，将抛物线向右平移个单位，再向上平移1个单位，得新抛物线解析式为：，顶点P为，∴顶点P在一定直线，若为任意正实数时，，故点到直线距离的最小值为，当时，如图1：设直线交坐标轴于，，作，垂足为H，则点M坐标为，点N坐标为，∴，，∴，∵，∴∴，当时，如图2：同理可得：，综上所述：为任意正实数，或，总有．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数顶点坐标，二次函数图象的平移，直线和圆的关系等等，灵活运用所学知识是解题的关键．黄埔区2023年一模25.已知抛物线与轴交于和两点（点在点右侧），且，与轴交于点，过点的直线：与抛物线交于另一点，与线段交于点．过点的直线：与轴正半轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）若，求点的坐标；（3）设，是否存在实数，使有最小值？如果存在，请求出值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）用待定系数法求二次函数的解析式；（2）先求出的坐标，得到，然后求出直线，联立解方程组求出点的坐标；（3）过E，F两点作轴，轴于点，则，把代入得，求出点E、F的横坐标，利用求出最小值即可解题．【小问1详解】解：∵，∴，∵点在点右侧，∴，∴抛物线的解析式是，【小问2详解】解：当时，，∴，把代入得：，解得，∴当时，∴，∴，∴，在中，，，，∴，∴，∴，即，把和代入解析式，得：，解得：，，解方程组得(舍）,∴；【小问3详解】如图，过E，F两点作轴，轴于点，则，解：把代入得，∴，设直线的解析式为，代入得：，解得，，联立与解得，即联立和解得（舍）或，即，∵，∴，∴当时，有最大值，即m有最小值，最小值为．【点睛】本题考查待定系数法，求交点坐标，函数的最值问题，平行线分线段成比例，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．白云区2023年一模24.已知抛物线开口向上，与x轴交于（点B在点C的左边），与y轴交于点A．（1）求出点C的坐标；（2）在直线下方的抛物线上一点M，当最大面积为4时，求点M的坐标及a的值；（3）设抛物线的顶点为点D，连接，是否存在点D，使得？若存在，求出此时a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1），详见解析

（2），，详见解析

（3）存在，，详见解析

【解析】【分析】（1）令得到方程求出与x轴的交点坐标，然后根据开口方向即可确定C点坐标；（2）设，过点M作轴交直线于点N，用含m的代数式表示出，表示出，利用二次函数的最值性质即可得解；（3）分顶点D在y轴左侧和右侧两种情况，分别构造符合条件的直线解析式，先求出解析，然后将代入直线解析式，解方程得值，进而即可得解．【小问1详解】解：令得到方程，解这个方程得：，∴抛物线与x轴的交点为，∵抛物线开口向上，∴，∴，又∵B点在C点的左侧，∴，∴；【小问2详解】解：如图，在下方的抛物线上任取一点M，过点M作轴交直线于点N，连接，令得，解得，∴，由知，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，设，∴，∴，∴，∴当时最大为4，∴，∴，又∵，∴，∴时，，∴，综上：，；【小问3详解】解：存在，如图2，作，连接，∵，∴，

∴，∴，作等腰，使，交y轴于点M，∴，∴，∴，∴，过点E作交y轴于F点，在中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴过两点的解析式设为，∴，∴，∴，∵点D为抛物线的顶点，∴，将D点坐标代入得，解方程得，当时，与A重合，不符合题意，舍去如图3，作，连接，∵，∴，∴，过点A作，∴，∵，∴过C,G两点的解析为：，∵，直线过A点，∴过A,E两点的解析式为，∵点D为抛物线的顶点，∴，将D点坐标代入得，解方程得：（舍去），综上所述：．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质的综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理,一次函数解析式等知识点，，熟练掌握其性质，合理构造二倍角是解决此题的关键．从化区2023年一模24.平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．（1）求点的坐标及抛物线的对称轴；（2）若，有最大值为3，求的值；（3）已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图像，求的取值范围．【答案】（1），直线（2）或（3）或【解析】【分析】（1）令可求点坐标，将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴．（2）根据抛物线开口方向及对称轴为直线，分类讨论时取最大值或抛物线顶点纵坐标为最大值．（3）由点为顶点，点在直线上运动，通过数形结合求解．【小问1详解】解：令，则，，，抛物线的对称轴为直线．【小问2详解】，抛物线顶点坐标为，①当时，抛物线开口向上，，时，为最大值，即，解得．②当时，抛物线开口向下，时，取最大值．，解得．综上所述，或．【小问3详解】抛物线的对称轴为．设点关于对称轴的对称点为点，．，点，，都在直线上．①当时，如图，当点在点的左侧（包括点）或点在点的右侧（包括点）时，线段与抛物线只有一个公共点．或．（不合题意，舍去）或．②当时，如图，当在点与点之间（包括点，不包括点）时，线段与抛物线只有一个公共点．．．又，．综上所述，的取值范围为或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论及数形结合的方法求解．南沙区2023年一模25.抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．（1）求的值；（2）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当四边形的面积取得最大值，求此时点的坐标；（3）点在的抛物线上，点在的抛物线的对称轴上，若直线垂直平分线段时，求点的坐标．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意求得直线的解析式为，设，则，四边形的面积，则当取得最大值，四边形的面积取得最大值，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解；（3）设直线与交于点，则，依题意关于直线对称，，进而得出的纵坐标为，将代入得，解方程求得点的横坐标，即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，∴，解得：，∴抛物线解析式为，