现代控制理论考试题及答案2025年

现代控制理论考试题及答案2025年一、选择题（每题3分，共15分）1.已知线性定常系统的状态空间表达式为$\dot{x}=Ax+Bu$，$y=Cx$，其中$A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$，$C=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}$。该系统的传递函数为（）A.$\frac{1}{s^2+3s+2}$B.$\frac{s}{s^2+3s+2}$C.$\frac{1}{s^2+2s+3}$D.$\frac{s}{s^2+2s+3}$2.关于线性系统的能控性与能观性，以下说法正确的是（）A.能控性仅与系统矩阵$A$和输入矩阵$B$有关B.能观性仅与系统矩阵$A$和输出矩阵$C$有关C.若系统能控，则其对偶系统能观D.能控标准型一定能观3.考虑离散时间系统$x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)$，其能控性矩阵的秩为$n$（$n$为状态维数），则该系统（）A.状态完全能控B.状态不完全能控C.输出完全能控D.无法判断4.李雅普诺夫第二法中，若存在正定的标量函数$V(x)$，其沿状态轨迹的导数$\dot{V}(x)$半负定，则系统在原点处（）A.渐近稳定B.稳定但非渐近稳定C.不稳定D.全局渐近稳定5.采用状态反馈控制$u=-Kx+r$，将闭环系统极点配置到指定位置的充分必要条件是（）A.原系统能观B.原系统能控C.原系统能稳D.原系统能检测二、填空题（每空2分，共20分）1.线性定常系统$\dot{x}=Ax+Bu$的能控性矩阵为$Q_c=$__________，其秩为$n$时系统状态完全能控。2.已知系统的传递函数为$G(s)=\frac{s+2}{s^3+5s^2+8s+4}$，其能控标准型状态空间表达式中，系统矩阵$A_c$的对角线元素为__________。3.离散时间系统$x(k+1)=\begin{bmatrix}0&1\\-0.5&1\end{bmatrix}x(k)+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u(k)$的能控性矩阵为__________，其秩为__________。4.对于非线性系统$\dot{x}_1=-x_1^3$，$\dot{x}_2=-x_2$，选取李雅普诺夫函数$V(x)=x_1^4/4+x_2^2/2$，则$\dot{V}(x)=$__________，系统原点为__________（填“渐近稳定”或“不稳定”）。5.若系统的状态观测器设计为$\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-C\hat{x})$，则观测器极点由矩阵__________的特征值决定，其设计的充分必要条件是原系统__________。三、分析题（每题15分，共45分）1.给定线性系统的状态空间表达式：$$\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-6&-11&-6\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}u$$$$y=\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}x$$（1）判断系统的能控性与能观性；（2）求系统的传递函数，并分析其零极点配置是否存在零极点对消；（3）若系统存在不能控或不能观的状态，说明其对系统性能的影响。2.考虑二阶系统$\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\-a&-b\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u$，其中$a>0$，$b>0$。（1）构造李雅普诺夫函数$V(x)=x_1^2+x_2^2$，分析系统原点的稳定性；（2）若要求系统在原点处全局渐近稳定，需满足什么条件？说明理由；（3）若$a=2$，$b=1$，设计状态反馈控制器$u=-k_1x_1-k_2x_2$，使闭环系统极点配置为$s=-1$和$s=-2$，并验证闭环系统的能控性。3.某机械系统的状态空间模型为：$$\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\-4&-5\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u$$$$y=\begin{bmatrix}2&1\end{bmatrix}x$$（1）设计全维状态观测器，使观测器极点为$s=-3$和$s=-4$；（2）画出观测器与原系统的连接结构图（用文字描述关键环节即可）；（3）分析观测器极点与原系统极点的关系，说明极点配置的原则。四、综合题（20分）倒立摆系统是典型的非线性控制对象，其简化线性化模型为：$$\ddot{\theta}=\frac{g}{l}\theta+\frac{1}{ml^2}u$$其中$\theta$为摆角（弧度），$g=9.8m/s^2$，$l=0.5m$，$m=0.2kg$，$u$为控制力。（1）选取状态变量$x_1=\theta$，$x_2=\dot{\theta}$，建立状态空间表达式；（2）判断该系统的能控性与能观性（假设输出为$y=\theta$）；（3）设计状态反馈控制器$u=-Kx$，使闭环系统极点配置为$s=-2\pmj2$；（4）验证闭环系统的李雅普诺夫稳定性，选取合适的$V(x)$并分析$\dot{V}(x)$的符号。---答案一、选择题1.B（传递函数计算：$C(sI-A)^{-1}B$，$sI-A=\begin{bmatrix}s&-1\\2&s+3\end{bmatrix}$，逆矩阵为$\frac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}s+3&1\\-2&s\end{bmatrix}$，与$B$相乘后第一行第二列元素为$\frac{s}{s^2+3s+2}$）2.C（对偶系统能控性对应原系统能观性）3.A（离散系统能控性矩阵秩为$n$时状态完全能控）4.B（半负定仅保证稳定，非渐近）5.B（极点配置充分必要条件是系统能控）二、填空题1.$[B\AB\A^2B\\cdots\A^{n-1}B]$2.$[-5\-8\-4]$（能控标准型$A_c$为友矩阵，最后一行为传递函数分母系数取反）3.$\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}$，2（计算$[H\GH]$，$G=\begin{bmatrix}0&1\\-0.5&1\end{bmatrix}$，$GH=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$，矩阵秩为2）4.$-x_1^6-x_2^2$，渐近稳定（$\dot{V}=x_1^3\dot{x}_1+x_2\dot{x}_2=x_1^3(-x_1^3)+x_2(-x_2)=-x_1^6-x_2^2<0$）5.$A-LC$，能观（观测器极点由$A-LC$决定，需系统能观以任意配置极点）三、分析题1.（1）能控性矩阵$Q_c=[B\AB\A^2B]$，$B=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$，$AB=\begin{bmatrix}0\\1\\-6\end{bmatrix}$，$A^2B=\begin{bmatrix}1\\-6\\30\end{bmatrix}$，$Q_c=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&-6\\1&-6&30\end{bmatrix}$，行列式$=0(130-(-6)(-6))-0(030-(-6)1)+1(0(-6)-11)=-1\neq0$，秩为3，能控；能观性矩阵$Q_o=[C^T\(CA)^T\(CA^2)^T]^T$，$C=[1\0\0]$，$CA=[0\1\0]$，$CA^2=[0\0\1]$，$Q_o=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$，秩为3，能观。（2）传递函数$G(s)=C(sI-A)^{-1}B$，$sI-A=\begin{bmatrix}s&-1&0\\0&s&-1\\6&11&s+6\end{bmatrix}$，行列式$=s(s(s+6)+11)+6=s^3+6s^2+11s+6$，伴随矩阵第三列第一行为$1$（代数余子式），故$G(s)=\frac{1}{s^3+6s^2+11s+6}$，无零极点对消（分子为1，分母无公因子）。（3）系统能控且能观，所有状态均参与控制和观测，系统性能可通过状态反馈或观测器完全调节。2.（1）$V(x)=x_1^2+x_2^2$，$\dot{V}=2x_1\dot{x}_1+2x_2\dot{x}_2=2x_1x_2+2x_2(-ax_1-bx_2)=2x_1x_2-2ax_1x_2-2bx_2^2=2(1-a)x_1x_2-2bx_2^2$。当$a\neq1$时，$\dot{V}$符号不确定；当$a=1$时，$\dot{V}=-2bx_2^2\leq0$，仅当$x_2=0$时$\dot{V}=0$，此时$x_1$需满足$\dot{x}_1=x_2=0$，即$x_1=0$，故原点稳定。（2）全局渐近稳定需$\dot{V}$负定。由（1），$\dot{V}=2(1-a)x_1x_2-2bx_2^2$，若取$V(x)=\frac{1}{2}(px_1^2+qx_2^2)$（$p,q>0$），则$\dot{V}=px_1x_2+qx_2(-ax_1-bx_2)=(p-aq)x_1x_2-bqx_2^2$。令$p-aq=0$（消去交叉项），取$p=aq$，则$\dot{V}=-bqx_2^2$。此时$V(x)=\frac{1}{2}(aqx_1^2+qx_2^2)$正定，$\dot{V}=-bqx_2^2$负定（$b>0$），故系统全局渐近稳定的条件是$a>0$，$b>0$（原系统为二阶线性系统，极点为$s=[-b\pm\sqrt{b^2-4a}]/2$，当$b>0$且$a>0$时，实部均负，自然渐近稳定）。（3）原系统矩阵$A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-1\end{bmatrix}$，反馈后闭环矩阵$A-BK=\begin{bmatrix}0&1\\-2-k_1&-1-k_2\end{bmatrix}$。期望特征多项式为$(s+1)(s+2)=s^2+3s+2$。原系统特征多项式为$s^2+s+2$，闭环特征多项式为$s^2+(1+k_2)s+(2+k_1)$。比较系数得：$1+k_2=3$（$k_2=2$），$2+k_1=2$（$k_1=0$）。反馈矩阵$K=[0\2]$。闭环系统能控性矩阵$Q_c=[B\(A-BK)B]$，$B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$，$(A-BK)B=\begin{bmatrix}1\\-1-k_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-3\end{bmatrix}$，$Q_c=\begin{bmatrix}0&1\\1&-3\end{bmatrix}$，行列式$-1\neq0$，能控。3.（1）原系统$A=\begin{bmatrix}0&1\\-4&-5\end{bmatrix}$，$C=[2\1]$，观测器矩阵$A-LC$期望特征值为$-3$、$-4$。设$L=\begin{bmatrix}l_1\\l_2\end{bmatrix}$，则$A-LC=\begin{bmatrix}-2l_1&1-l_1\\-4-2l_2&-5-l_2\end{bmatrix}$，其特征多项式为$s^2+(2l_1+5+l_2)s+(2l_1(5+l_2)-(1-l_1)(4+2l_2))$。期望特征多项式为$(s+3)(s+4)=s^2+7s+12$。列方程：$2l_1+5+l_2=7$（即$2l_1+l_2=2$）$2l_1(5+l_2)-(1-l_1)(4+2l_2)=12$代入$l_2=2-2l_1$，化简得：$2l_1(7-2l_1)-(1-l_1)(8-4l_1)=12$，展开后$14l_1-4l_1^2-(8-4l_1-8l_1+4l_1^2)=12$，即$14l_1-4l_1^2-8+12l_1-4l_1^2=12$，整理得$-8l_1^2+26l_1-20=0$，解得$l_1=2$（另一根$l_1=1.25$，取整），则$l_2=2-4=-2$，故$L=\begin{bmatrix}2\\-2\end{bmatrix}$。（2）连接结构：原系统输出$y$与观测器输出$\hat{y}=C\hat{x}$的误差$y-\hat{y}$经增益矩阵$L$反馈至观测器的状态方程，观测器输入为原系统输入$u$和误差信号，输出为状态估计值$\hat{x}$。（3）观测器极点应比原系统极点更负（实部更小），以保证观测误差快速衰减。极点配置原则：观测器极点远离虚轴，响应速度快于原系统，避免与原系统极点重叠导致观测误差无法消除。四、综合题（1）状态变量$x_1=\theta$，$x_2=\dot{\theta}$，则$\dot{x}_1=x_2$，$\dot{x}_2=\frac{g}{l}x_1+\frac{1}{ml^2}u$。代入参数$g=9.8$，$l=0.5$，$m=0.2$，得$\dot{x}_2=\frac{9.8}{0.5}x_1+\frac{1}{0.2(0.5)^2}u=19.6x_1+20u$。状态空间表达式：$$\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\19.6&0\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\20\end{bmatrix}u$$$$y=[1\0]x$$（2）能控性矩阵$Q_c=[B\AB]$，$B=\begin{bmatrix}0\\20\end{bmatrix}$，$AB=\begin{bmatrix}20\\19.60+020\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}20\\0\end{bmatrix}$（错误，正确计算：$A=\begin{bmatrix}0&1\\19.6&0\end{bmatrix}$，$AB=AB=\begin{bmatrix}00+120\\19.60+020\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}20\\0\end{bmatrix}$），$Q_c=\begin{bmatrix}0&20\\20&0\end{bmatrix}$，行列式$-400\neq0$，秩为2，能控；能观性矩阵$Q_o=[C^T\(CA)^T]^T$，$C=[1\0]$，$CA=[0\1]$，$Q_o=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$，秩为2，能观。（3）期望极点$s=-2\pmj2$，特征多项式为$(s+2-j2)(s+2+j2)=s^2+4s+8$。原系统矩阵$A=\begin{bmatrix}0&1\\19.6&0\end{bmatrix}$，反馈控制$u=-Kx=-[k_1\k_2]x$，闭环矩阵$A-BK=\begin{bmatrix}0&1\\19.6-20k_1&-20k_2\end{bmatrix}$，其特征多项式为$s^2+20k_2s+(20k_1-19.6)$。与期望多项式比较，得：$20k_2=4$（$k_2=0.2$）$20k_1-19.6=8$（$20k_1=27.6$，$k_1=1.38$）故$K=[1.38\0.2]$。（4）选取李雅普诺夫函数$V(x)=x^TPx$，其中$P$为正定对称矩阵。设$P=\begin{bmatrix}p&q\\q&r\end{bmatrix}$，满足$A^TP+PA=-Q$（$Q$正定，取$Q=I$）。则：$$\begin{bmatrix}0&19.6\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p&q\\q&r\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}p&q\\q&r\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\19.6&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}$$计算得：第一行第一列：$19.6q+q19.6=-1$→$39.2q=-1$→$q=-1/39.2\approx-0.0255$第一行第二列：$0q+19.6