2024-2025学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知i为虚数单位，复数z="，贝Uz=（）

I

A.1—iB.-1—iC.1+iD.-1+i

2.用按比例分配的分层随机抽样方法，从某学校的600名男生和800名女生中选取14人参与某项研学活

动，则女生比男生多选取（）

A.8人B.6人C.4人D.2人

3.已知点4（1,3）,B（4,-1）,则与向量厢同方向的单位向量为（）

74433443

A.（丁一”B.（i一:）C.（-->-）D.

4.要得到函数y=sin（2x+m的图象，只需将函数y=s讥2x的图象（）

A.向左平移J个单位B.向左平移居个单位C.向右平移弓个单位D.向右平移居个单位

5.平面a〃平面0的一个充分条件是（）

A.存在一条直线m,m//a,m//p

B.存在一条直线zn,mca,m//p

C.存在两条平行直线n,mua,m//y5,n//a

D.存在两条异面直线m,n,mca,nc.p,m//p,n//a

6.在直三棱柱力BC—Ci中，^ABC=90°,AA1=AB,则直线&C与4名的夹角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以

判断出一定没有出现点数6的是（）

A.甲：平均数为3,中位数为2B.乙：中位数为3,众数为2

C.丙：平均数为2,方差为2.4D,T：中位数为3,方差为2.8

8.已知函数/'（x）=sin2a>x+V-3cos2a）x（a>>0）,贝!j（）

A.若函数/⑶相邻两条对称轴的距离为最则3=2

B.当3=1,xe[0,刍时，/（久）的值域为[7$2]

C.当3=1时，偿,0）是/（X）的对称中心

D.若/（x）在[0,胃内有且仅有两个零点，则5<3W8

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（

满分100分），得到如图所示的统计图，则（）

甲*•乙

A.甲得分的中位数大于乙得分的中位数B.甲得分的极差小于乙得分的极差

C.甲得分的平均数大于乙得分的平均数D.甲得分的方差大于乙得分的方差

10.若Z],Z2均为复数，下列说法正确的是（)

若％+则

A.忆1|忆2]=\zrZ2\B.1|=\z2+1|,Zi=z2

C.若Z]+z[=2Z2,则Z2eRD.若zf+zj=0,则Z]=z2=0

11.窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类,

图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形2BCDEFGH的边长为4,P

是正八边形A8CDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（）

图1图2

A.OB+OD=y/l.OC

B.而在方方向上的投影向量为-苧

C.PC■丽的最大值为48+3272

D.若函数f(x)=\BE-xBC\,则函数f(x)的最小值为4+2/1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若向量2=(2,3),b—(%,—6),5.a//b,则实数x=.

13.已知sin(a-)?)=-,tana=2tan^,则sin(a+/?)=.

14.在三棱锥P-ABC中，PB=PC=>T1PA=2,SL^APB=Z.BPC=ACPA,E,F分别是PC,AC的中

点，ZBFF=90°,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为_____.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知△ABC内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且a+6=2ccosB.

⑴若C=3求B；

(2)若a-1,6=3,求c.

16.(本小题15分)

如图，P为菱形4BCD平面外一点，且PA=PC,E为线段PD上的动点.

(1)求证：平面2CE1平面PBD；

(2)是否存在点E使得PB〃平面&CE,若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由.

17.(本小题15分)

2025年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委负责人表示，将持续推进“体

重管理年”行动，某学校对学生进行体重健康知识测试得到如下频率分布直方图，图中6=4a.

(1)求图中a的值并估计得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)若有超过60%的人得分在75分及以上，则认为学生知识掌握度整体合格.该校学生知识掌握度整体合格

了吗？请说明理由.

18.（本小题17分）

函数/（久）=6cos2cox+2asiHMX-coscox-3（o）＞0）的部分图象如图所示，其中4为图象的最高点，B,

C为图象与％轴的交点，且△4BC为正三角形.

（1）求实数3的值;

（2）已知＜4时，都有/（久1）＞/（冷），求实数小的取值范围;

⑶若/&）=竽且配6（—学,|）,求fQo+1）的值.

19.（本小题17分）

如图，四棱锥P—4BCD中，点。，E分别为AC,PD的中点，PCVAC,AE=AD=2,CD=2/2,△

ABC是边长为2的正三角形.

⑴求证：AC1平面BOE；

（2）若三棱锥P-ACD的体积为殍，求二面角E-AC-D的正弦值;

（3）求直线PC与平面4CE所成角的正弦值的最大值.

C

答案解析

1.【答案】A

【解析】解：—=^P=l-i,

i-r

故选：A.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

2.【答案】D

【解析】解：依题意可知，分层抽样比为100：1,

因此可得选取的男生为6人，女生为8人，

所以女生比男生多选取2人.

故选：D.

确定抽样比计算出男生和女生的人数即可得出结论.

本题考查分层抽样相关知识，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：知点4(1,3),B(4,-1),AB=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),|函=，9+16=5,

则与向量荏同方向的单位向量为篇=

故选A.

由条件求得说=(3,-4),|而|=5,再根据与向量厢同方向的单位向量为缁求得结果.

本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：由题意得y=sin(2x+y)=sin2(x+瑞),

所以y=s讥2x的图象向左平移居个单位，可得y=sin(2x+第的图象.

故选：B.

根据函数图象的平移变换法则进行求解，可得答案.

本题主要考查了函数图象的平移变换法则，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：在4中，存在一条直线小，m//a,m//p,则平面a,夕相交或平行，故A错误；

在B中，存在一条直线zn,mea,m//p,则平面a,0相交或平行，故B错误；

在C中，存在两条平行直线小，n,mca,zn〃0,n//a,则平面a,0相交或平行，故C错误；

在。中，存在两条异面直线?n,n,THua,m//p,n//a,由面面平行的判定定理得平面a〃平面故。

正确.

故选：D.

存在两条异面直线zn,n,mca,m///3,n//a,由面面平行的判定定理得平面a〃平面£.

本题命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算

求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题.

6.【答案】D

【解析】解：由题意直三棱柱480—4/©中，/.ABC=90%AAr=AB,

可连接力6交力iC于点。，取Bi。1的中点为D,连接OD,CD.

则根据中位线定理可得。。〃4名，

所以直线4C与22的夹角为直线&C与。。的夹角NC。。（或其补角），

设441=4B=1,根据勾股定理得4B1=所以。D=苧.

设BC=a,则根据勾股定理4c=Ma?+1，所以=41+1+股=M2+a2.

所以。C=[AIC=注拄，CD=Ji+|=2^±t

所以。。2+。。2=<+所以NCOD=90。.

244

故选：D.

作辅助线，证明直线4C与4名的夹角为直线力iC与。。的夹角NC。。（或其补角），然后根据线角关系求出其

大小.

本题考查了异面直线所成角的求法，是中档题.

7.【答案】C

【解析】解:对于4若甲的5个点数分别是1,1,2,5,6,则平均数为3,中位数为2,但出现了点数

6,故A错误；

对于8,若乙的5个点数分别是2,2,3,4,6,则中位数为3,众数为2,但出现了点数6,故2错误；

对于C,若丙的平均数为2,又有点数6,则方差s22^(6-2)2=32,不可能满足C,因此丙不会出现点

数6,故C正确；

对于。，若丁的5个点数分别是2,3,3,6,6,平均数为4,

其方差为(2一4)2+(3-4)2+(3、4)2+(6-4八(6-4)2=2&但出现了点数6,故。错误.

故选：C.

根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除力BD,由假设推理判断C.

本题主要考查了均数、中位数、方差的定义，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：易知/'(x)=sin2a>x+V-3cos2wx=2sin(2a)x+今，

对于力，若函数相邻两条对称轴的距离为热即可得六为=与则3=1,A错误；

对于B当3=1时，/(%)=2sin(2x4-^),

当xe［0,4时，2叫呜竽,

又/(0)=2s呜=%)=2s呜=2,照)=2siHy=-73,

所以/(尤)的值域为［-，耳2］,即B正确；

对于C,当3=1时，/(%)=2sin(2支+金，将第0)代入检验可得/第=2s讥专=仆，

显然(，0)不是/(©的对称中心，即C错误；

对于。，若久6［0,勺，可得23久+6，誓史］,

若/O)在［05］内有且仅有两个零点，可得2兀〈若吻<3兀，解得5W3<8,因此。错误.

故选：B.

利用辅助角公式可得f(x)=2s出(23乂+金，根据周期公式以及函数图象可判断A错误，结合正弦函数图

象性质可得8正确，将管,0)代入检验可得C错误，根据整体代换法以及正弦函数图象性质，结合零点个

数限定出不等式，解得5<3<8,可得。错误.

本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题.

9.【答案】ABC

【解析】解:由图可知甲的得分从小到大排列为81,81,82,83,84,87,

乙的得分从小到大排列为78,79,80,81,82,86,

4选项，甲得分的中位数为3坦=82.5,乙得分的中位数为双券=80.5,4选项正确；

B选项，易知甲得分的极差为6,乙得分的极差为8,B选项正确；

C选项，计算可得甲得分的平均数为-81+81+82+83+84+87)=83,

O

乙得分的平均数为卜78+79+80+81+82+86)=81,C选项正确，

O

D选项，甲得分的方差为火4+4+1+0+1+16)=学，

OD

乙得分的方差为[(9+4+1+0+1+25)=与，甲得分的方差小于乙得分的方差，。选项错误.

故选：ABC.

根据统计图中数据，结合中位数、极差、平均数、方差定义分析选项即可得出结论.

本题考查了中位数、极差、平均数、方差的定义，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：对于4,设Zi=a+bi,z2=c+dif其中a,b,c,dER,

贝力z/氏|=Va2+&2•Vc2+d2=Va2c2+a2d2+b2c2+b2d2,

|z逐2I=1(。+bi)(c+di)I=|(ac—bd)+(be+ad)i\=-J(ac-bd)2+(be+ad)2=

Va2c2+a2d2+b2c2+b2d2,

kilkzl=kiz2b故A正确；

对于8,若％+1|=,2+1|,取Zi=-l+i,Z2——1—G

此时忆1+1|==忆2+1|=I-4，但Z]=Z2不成立,故5错误;

对于C,由Zi=a+bi,得2=。—bi,此时z1+z[=2a=222，

a,b£R,Z2ER,故C正确；

对于。，取Zi=i,Z2=1,满足z次+z：=0,此时Zi=Z2=0不成立，故。错误.

故选：AC.

根据对数的乘法运算法则以及模长公式可判断A正确，取特殊值可验证3。错误，由复数定义计算可得C

正确.

本题考查对数的乘法运算法则、模长公式、特殊值可、复数定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

11.【答案】ACD

【解析】解：由正八边形的性质知，每个小三角形为全等的等腰三角形，且顶角为45。,

所以2E1CG,以。为原点，GC,AE所在直线分别为无，y轴，设。A=a,

贝口5=M+。2_2a2cos450=16,解得M=16+8，^,

所以8（苧a,-苧a）,C^a,0）,。（苧a,苧a）,E（0,（一苧a,一苧a），

对于力，因为旗=（苧a,—苧a），而=（年a,苧a），OC=（a,0），

所以方+彷=（Af2a,0）,所以南+而=VI云，故A正确；

对于B1因为=(-0),BC=(a——a,a),

所以丽.就=一，1口2+42=q—2)42,|BC|=

所以说在前方向上的投影向量为招春•得||=缶聋|芯=配，故B错误；

对于C,设CD中点为M,品丽=（而+丽）;西-丽产=।而/_亨=।两/_4,

所以当|两|取最大值时，PC■而取得最大值，

由题知，当P在点G或点H处时，|丽|取最大，

此时。M2=OC2-CM2=a2-4=12+872,MN2=4OM2=48+3261,

GM2=MN2+GN2=52+322，

所以正•丽=|丽|2-4WGM2-4=48+32，^，故C正确；

对于。，设久前=的，就一x^=丽一丽=证，

所以当EQ1BC时，EQ取的最小值，

根据题意，/-DCQ=45°,^CQE=90°,所以Q在ED延长线上,

又因为DQ=CQ,DQ2+CQ2=CD2=16,所以DQ=2心,

所以EQ=ED+DQ=4+2丫厂2,故。正确.

故选：ACD.

而阮

对于力，由向量的线性运算可得；对于B,由前在正方向上的投影向量为就代入坐标运算即可；对

\BC\2

于C，由方•而=叵±亚*Zl更=|而『—甲，根据几何意义求|由|的最大值即可；对于。，设

x~BC=~BQ^则丽=而一的=谑，即当EQ1BC时，EQ取得最小值，根据图形求EQ最小值即

可.

本题考查平面向量的线性运算与数量积，属于中档题.

12.【答案】-4

【解析】解：・；a//b,3x-2x(-6)=0,解得久=-4.

故答案为：-4.

利用向量共线定理即可得出.

本题考查了向量共线定理，属于基础题.

13.【答案】|

【解析】解：由于sin(a-/?)=-,可得s讥acos/?—cosasin13=

又由于tana=2tan/?,可得sinacosS=2cosasin^,

联立解得sbiacosS=-,cosasinf3=

3

所以sin(a+/?)=sinacos^+cosasin^=

故答案为：

利用两角差的正弦公式以及同角关系联立解方程，再由两角和的正弦公式代入计算可得结果.

本题考查了两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式以及两角和的正弦公式在三角函数求值中的应

用，属于基础题.

14.【答案】107T

【解析】解：作出示意图如下:

因为PB=PC=2,且44PB=NCPa,PA=JI为公共边，

所以△APB0△力PC,所以4B=4C,

取BC的中点Q,贝UQ218C,PQ1BC,又Q2nPQ=Q,

所以8C_L平面4PQ,所以BC1P4

因为E,F分别是PC,AC的中点，所以EF〃P4

又上BEF=9。。,所以BE1EF,所以BE_LP4,又BCCBE=B,

所以PAI平面PBC,所以P41PB,PA1PC,

所以N4PB=乙BPC=ACPA=90°,

所以pa,PB,PC两两垂直，

所以三棱锥P-ABC外接球等的直径2R即为以P4PB,PC为长，宽，高的长方体的体对角线长,

所以(2R)2=4+4+2=10,

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为4兀旌=107r.

故答案为：10TT.

证明线面垂直，得到P4PB,PC两两垂直，从而利用分割补形法，即可求解.

本题考查三棱锥的外接球问题，属中档题.

15.【答案】解：(1)因为a+6=2ccosB,C=p

可得cosB=@,所以a+匕=2c・2,

cc

可得a=b,所以B=J；

(2)因为。=1,b=3,由余弦定理可得cosB=°或1："，

TTT汨IK9a2+c2-b2a2+c2-Z72

可得Q+b=2c-------------=-------------，

整理可得=a(a+b)—a2+b2=1(1+3)—1+9=12,

可得c=2y/~3.

【解析】(1)由直角三角形的性质，可得cosB的值，代入己知等式可得角B的大小;

(2)由余弦定理可得关于c的方程，可得c的值.

本题考查余弦定理的应用，属于中档题.

16.【答案】证明见解析.

存在，E为线段PD的中点.

【解析】解：(1)证明：取力C,BD的交点为。，连接P。，如下图所示:

因为四边形A8CD是菱形，

所以2C1B。，且。为4C的中点，

又PA=PC,

所以「。1AC,

又BDCPO=0,8。u平面PBD,。。＜=平面28。，

所以AC_L平面P8D,

又ACu平面4CE,

所以平面ACE1平面PBD.

(2)存在，E为线段PD的中点，满足PB〃平面4CE.

连接。E,

因为。，E分别为BD,PD的中点，

所以。E是APBD的中位线，即。E〃PB,

因为。Eu平面力CE,PBC平面4CE,

所以PB〃平面ACE,

因此存在点E,当E为线段PD的中点时，满足PB〃平面4CE.

(1)根据菱形性质以及等腰三角形性质可证明AC1平面PBD,再由面面垂直判定定理可证明得出结论.

(2)利用线面平行判定定理证明可得当E为线段PD的中点时，满足题意.

本题考查直线与平面的位置关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

17.【答案】a=0.01,平均值为79.5；

合格.

【解析】(1)由频率分布直方图可得(0.015+0.035+6+a)x10=1,结合b=4a,解得a=0.01,b=

0.04.

平均值为：x=(65x0.015+75x0.035+85x0.04+95x0.01)x10=79.5,

所以a的值为0.01,平均值为79.5.

(2)由图可知估计该校学生中得分在75分及以上的概率为：

1

X0.035+0.04+0.01)X10=0.675=67.5%>60%,

因此认为该校学生知识掌握度整体合格了.

(1)根据图中所有矩形面积为1计算可得a=0.01,利用频率分布直方图求平均数的方法计算可得其平均

数；

(2)估计出该校学生中得分在75分及以上的概率即可判断得出结论.

本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.

18.【答案】­

[|,4)；

7<6

【解析】(1)由题意得=3cos2oi)x+V_3sin2<i)x=2-\f3sin(2a>x+^),

根据正△ABC的高为2门，可得等=4,

2

所以函数/⑴的周期T=工=4x2=8,解得3=3

(2)因为当爪<%!<%2<4时，都有/(久力>/(%2),

所以zn<4,且区间(zn,4)在单调递减区间内，

由(1)得/(%)=2/3sin(^x+^),

根据32而<"+§<岑+2加令k=0,可得/(x)的一个单调减区间为当，

所以(犯4)a(|,与)，可得|wm<4,实数m的取值范围是[|,4)；

⑶由/'(%0)=等，可得2，，sin(；久0+今=警,

整理得singXo+g)=|，因为年刀0+三6(_],多，所以cos(；久0+,=J1—(|)2=)

所以/'Oo+1)=2csin(%o+?+金=2<3sin(^x+^)cosj+273cos(^x+^)sin^

44540544054

f,4^[213/I、7<6

=n2AA3(_X_+_XT)=_

(1)利用三角恒等变换公式化简f(x)解析式，然后由△力BC为正三角形，结合三角函数的周期公式求出3的

值，可得答案；

(2)根据题意，求出f(x)的单调递增区间，进而求出实数小的取值范围；

(3)求出sin&xo+勺=|,根据同角三角函数的关系求出cosg久。+