2025年人教A版新高二数学暑假预习：椭圆及其标准方程（4知识点+7大题型+思维导图+过关检测）学生版

专题22椭圆及其标准方程

■内容导航一预习三步曲

第一步：学

析教材学知识教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识7大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关则稳提升小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

8析教材学知识

知识点01：椭圆的定义

1、椭圆的定义:平面内一个动点尸到两个定点4、尸2的距离之和等于常数（怛1\+\PF2|=2a>\FiF2\）,

这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点（片，居）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（1与g1）叫作椭圆的焦距.

说明：

若（怛耳|+『月|=|五闾），P的轨迹为线段我心；

若（|尸片卜闺尸21），尸的轨迹无图形

\+\PF2

2、定义的集合语言表述

集合/={P|P4+|?鸟=2a>国阊}.

知识点02：椭圆的标准方程

1、椭圆标准方程的推导

图1

(1)怎样建立适当的直角坐标系？

以经过点冗、工的直线为x轴，线段GB的垂直平分为y轴建立直角坐标系x0y，如图

(2)椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？

设点Af(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0).

焦点耳,F2的坐标分别是(-c,0),(c,0),

又设M与耳,B的距离的和等于常数2a.

由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M||MF；|+陷闾=2a}

22

因为I岬l=J(x+c)2+y2,\MF2\=^x-c)+y；所以J(九+c)2+y2+J(x—c)2+y2=2a

(3)遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？

即J(x+c)2+」=2a-^(x-c)2+y2

两边平方得(x+c)2+V=4/-4«-^(x-c)2+j2+(x-c)2+y1整理得aj(x-c>+/=a°-ex

22

再平方并整理得(4_02)l2+q2y2=_02)两边同除以。252—。2)得j+_JL_=1

'aa-c

22

考虑〃>C>0,应有。2一。2>0,故设/?2=〃2一/,就有:+当=].

ab

2、椭圆的标准方程对比

焦点位置焦点在X轴上焦点在y轴上

标准方程2222

X「-1(a>b>0)二+==1(a>/?>0)

a1b1/b2

图象

y

J

3^1

焦点坐标

耳(-G。),玛(C,0)4(0,-c),F2(0,C)

”,4c的关系〃2=/+C2

3、椭圆标准方程的求解

（1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤

①定位：确定焦点在那个坐标轴上；

②定量：依据条件及储=。2十°2确定风①,的值；

③写出标准方程.

【常用结论】

22

①求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为±+上=1（机〉0,〃〉0,机7〃）；

mn

②当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为42+为2=1（4>0,3〉0,且4彳3）,将点的坐标代入，解方程组

求得系数.

知识点03：点与椭圆的位置关系

1、根据椭圆的定义判断点尸（不，％）与椭圆的位置关系，有如下结论：

陷|+阿阊<2ao点P在椭圆内部；

M用+附用=2ao点P在椭圆上；

\MF{\+\MF2\>2ao点P在椭圆外部.

2、对于点P（x0,%）与椭圆的位置关系，有如下结论：

22

点P（x0,y0）在椭圆外0*~+会~>1；

ab

22

点P（x0,y0）在椭圆内=—v+裳~<1；

ab

22

点P（x,y）在椭圆上--A-+=1；

00ab

知识点04：椭圆的焦点三角形

1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形

2、两个性质

性质L|4Fil+MR」=2a，IBRI+IB知=2。（两个定义）

拓展：A4KB的周长为I4F"+I4F"+㈤引=2Q+2c

MBR的周长为I+|4玛|+IBE|+IBE,I=4a

性质2：4c2=\FM2=MR/+INF?，—2MKII4F21cos。（余弦定理）.

■IKI练题型强知识

【题型01：椭圆的定义及辨析】

一、单选题

2

1.（23-24高二上.贵州安顺.期中）若椭圆r全+y=1上一点2到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一个焦

点的距离为（）

A.5B.2C.7D.6

2.（24-25高二上・广东•期末）己知尸为椭圆C:f+2y2=i6上一点，耳工分别为C的左、右焦点，且户局=2,

则身（）

A.1B.2C.3D.4

3.（24-25高二下•辽宁抚顺•开学考试）已知平面内两个定点月（-3,0）,4（3,0）,动点尸满足|咫|+|「工|=10,

则点P的轨迹为（）.

A.椭圆B.线段

C.双曲线D.抛物线

4.（24-25高二上.江苏宿迁.期中）方程J（尤-1）2+。+9*+1）2+〉2=2表示的曲线为（）

A.圆B.椭圆C.线段D.不表示任何图形

5.（23-24高二上•江苏盐城・期中）点P（x,y）在椭圆;+看=1上，则西+卜一扃+R+b+司等于

（）

A.6B.8C.10D.12

【题型02:求椭圆的标准方程】

一、单选题

1.（23-24高二上.北京顺义・期中）椭圆的两个焦点是（T,0）和（4,0）,椭圆上的点M到两个焦点的距离之

和等于10,则椭圆的标准方程是（）

C"2一1D=i

259-I4

2.（24-25高二上・河南•月考）已知曲线C上任意一点P（x。,%）都满足关系式

-2『+尤+底+2）2+式=2下,则曲线C的标准方程为（）

A,工+£=1B.工+上

1C.—+/=1

54435>>。

5_3

3.（24-25高二下•云南昭通・期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2,0）,（2,0）,并且经过点

2，-2

则它的标准方程为（）

C.八匚1

A+y2=1BD+=1

-y-小5-Tw

22

4.（23-24高二上•全国•课后作业）过点（3,-2）且与土+匕=1有相同焦点的椭圆方程为（）

94

22

A.=1B.工+41

1510225100

22

c“TD,工+工=1

1015

5.（24-25高二上.山东青岛•期中）经过（2,0）、)

A.—+y2=lB.

44

c.D.=1

4343

【题型03：判断方程是否表示椭圆】

一、单选题

1.（24-25高二上•广东深圳•期末）若方程三+二=1表示焦点在y轴上的椭圆，贝打的取值范围是（）

9-tt-5

A.（5,9）B.（5,7）U（7,9）C.（5,7）D.（7,9）

22

2.（24-25高二上•天津红桥・月考）已知曲线二一+上=1表示椭圆，则实数根的取值范围是（）

2-mm+1

A.（—1,2）B.C.（2,oo）D.（—a,—1）

3.（24-25高二上・浙江绍兴•期中）若方程如2+"=i表示焦点在无轴上的椭圆，则加，〃的一组可能取值

是（）

A.m=2,n=lB.m=l,n=2

C.m=l,n=—D.m=—,n=—

223

22

4.（24-25高二下・上海松江・月考）“%>-3”是“方程=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）条

%+32k+4

件

A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要

22

5.（24-25高二上•福建漳州•期末）已知方程」-----匚=1表示椭圆，则根的取值范围是（）

m+21-m

A.（-co,-2）B.（l,+oo）

C.（—2,1）D.（-oo,-2）U（l,+°°）

【题型04：点与椭圆的位置关系】

一、单选题

22

1.（23-24高二上•河南南阳・月考）点（L1）与椭圆£+与=1的位置关系为（）

A.点在椭圆上B.点在椭圆内

C.点在椭圆外D.不确定

2.（24-25高二上•陕西汉中期中）若点4-2,3）是椭圆石:二+y=病某条弦的中点，则实数加的值可以是

2

)

A.VnB.TioC.-3D.-4

22

3.（24-25高二上•四川眉山・期中）椭圆上+匕=1的焦点为小鸟，点P在此椭圆上，如果线段尸片的中点

168

在y轴上，那么的值为（)

A-IB-IC.2D.3

22

4.（23-24高二上•湖南郴州•期中）已知点P0,2）和焦点在y轴上的椭圆：—+^=1,且过尸作椭圆的切

4m

线有两条，则该椭圆半焦距C的取值范围是（）

A.0<c<2B.c>2C.0<c<遗D.o—

33

二、多选题

22

5.（23-24高二上.河北邯郸•月考）已知椭圆C：±+3^=1（加>4）的右焦点为E点4（-20为椭圆C

mm-4

内一点.若椭圆C上存在一点P,使得|M+|P同=8,则根的值可以为（）

A.6+2石B.6+46C.24D.25

【题型05:椭圆中的焦点三角形问题】

一、单选题

22

1.（24-25高二下•广西南宁・月考）已知椭圆E:三+匕=1,其左右焦点分别为月,已点尸是椭圆E上任意

43-

一点，贝I]APK区的周长为（）

A.2B.4C.6D.以上答案均不正确

22

2.（23-24高二下.河北.开学考试）已知尸-F,为椭圆工+匕=1的两个焦点，过乙的直线交椭圆于43两

10036

点，若国H+K@=24,^\AB\=（）

A.4B.16C.12D.8

3.（24-25高二上•福建福州・期末汨知月,月分别是椭圆C：[+[=l的左、右焦点，点尸在C上，"耳工=90。，

则人尸耳尸2的面积为（）

A.痣B.20C.2A/6D.472

22

4.（23-24高二下•江西・开学考试）已知工，居分别是椭圆C：±+乙=1的左，右焦点，M是椭圆C上一

-94

点，且叫，片工，则|峭|—|叫卜（）

丫2

5.（23-24高二上.上海青浦•期末）设椭圆二+9=1的左右焦点为招，工，点P在该椭圆上，则使得AP4工

2一

为等腰三角形的点尸的个数为（）

A.2B.4C.6D.8

22

6.（23-24高二上.北京丰台.期末）己知椭圆C:土+匕=1的左、右焦点分别为小8，点尸在椭圆C上.

94

若/耳。弱=90。，贝（J△耳P鸟的面积为（）

A.2B.4C.8D.9

22

7.（24-25高二上•河北沧州・月考）已知椭圆C:±+匕=1的左、右焦点分别为斗巴，点尸为椭圆C上一

43

7

点，若|尸耳卜|尸用=],贝ijcos/可尸居=（）

8.（23-24高二上・吉林•期中）已知椭圆2+/=1的左、右焦点分别为大、F?,点尸是椭圆上一点，若APRF?

为直角三角形，贝！UP耳尸2的面积为（）

B..C.1或好D.1或拽

A.1

555

【题型06：椭圆中的轨迹方程问题】

一、单选题

1.（24-25高二上•重庆渝中•月考）平面内，动点尸的坐标（x,y）满足方程

^（X+V3）23+/+J（X-A/3）2+/=276,则动点P的轨迹方程为（）

A.B.1

242163

"IlX2V2

C.D.1

6996

2.（24-25高二上•四川绵阳•期中）在VABC中，B（-2,0）,C（2,0）,|+|AC|=6,则顶点A的轨迹方程（）

2222

rvrv尤22„22

A.----F--=l（x*±3）B.-----F--=l（xw±2）C.1---=1D.1--—=1

95949594

3.（24-25高二上•甘肃兰州•期末）已知曲线C:/+y2=16,从C上任意一点尸向x轴作垂线段PP,P为

垂足（若尸在x轴上，P即为尸），则线段PP的中点M的轨迹方程为（）

22

4.（24-25高二上•云南昭通・月考）已知尸是椭圆土+匕=1上的动点，过尸作》轴的垂线，垂足为A,若

42

动点2满足方=3月5，则动点3的轨迹方程为（）

Y2丫212丫222无2y2

A.工+匕=1B.—+^-=1C.—+^=1D.上+匕=1

6216282122

5.（24-25高二上•河北唐山•期中）设点M（0,-5）,N（0,5）,△MVP的周长为36,则△AWP的顶点尸的轨

迹方程为（）

2222

A.-^-+—=1（x^0）B.-^+^—=1（x^0）

169251716914417

2222

C.----+=1（y0）D.——I=l（y#0）

169251716925v7

6.（24-25高二上•内蒙古包头•期末）在平面直角坐标系xOy中，已知圆A:（x-3）2+/=io。（圆心为A）,

点3（-3,0）,点P在圆A上运动，设线段尸3的垂直平分线和直线上4的交点为。，则点。的轨迹方程为（）

-1

D.---1---=1D

1672516-

【题型07：椭圆中的距离最值问题】

一、单选题

22

1.（24-25高二上•山东东营•月考）椭圆匕+匕=1上任一点尸到点。（1,0）的距离的最小值为（）

95

A.V3B.巫C.22行

D.

2

22

2.（24-25高二上•重庆渝中•期中）已知动点尸在椭圆C:》+'=l上，F（0,l）,A（-3,3）,则归尸|-|副的

最大值为（）

A.-V13B.V13C.-3D.-1

22

3.（24-25高二上•江苏连云港•期末）已知点4（2,1）,且尸是椭圆亍+々=1的左焦点，P是椭圆上任意一

点，则户户|+|刑的最小值是（）

A.6B.5C.4D.3

22

4.（24-25高二上•河北沧州•期末）已知尸为椭圆C:±+±=1的上焦点，M是椭圆C上一点，N为圆

43

£:（彳一3）2+9=1上一点，贝“肱V|+|MF|的最大值为（）

A.Vio-lB.1+痴C.3+而D.5+x/10

二、填空题

5.（24-25高二上•上海•期中）已知在VABC中，BC=2,AB+AC^4,若点。为BC的中点.则AD的最

小值为.

22

6.（24-25高二上•江苏扬州•期中）已知椭圆C:土+匕=1的左、右焦点分别为片，F2,M为C上任意一

43

点，N为圆E:（x-9y+（y-6）2=1上任意一点，则|加\上|町|的最小值为____.

8串知识识框架

定义平面内一个动点到两个定点的距离之和等于常数

一、椭圆的定义

若（附；|+|明卜内同），尸的轨迹为线段片外,

理解

若（1%|+|尸外|<%周），尸的轨迹无图形

8过关测稳提升

一、单选题

1.（24-25高二上•云南昭通・月考）已知椭圆!+?=1的两焦点分别为耳工，点P为椭圆上任意一点，则

48

I尸团+1尸用的值为（）

A.2B.20C.4D.4点

2.（24-25高二上・北京・月考）平的内动点尸（x,y）满足方程+二1）可『=26，则动点P的

轨迹方程为（）

A.工+匚1B,匚匚1C.匚炉=1D,匚匚1

32233232

22

3.（24-25高二上•青海海南・期末）椭圆。:工+匕=1的两个焦点为%工，椭圆C上有一点P，则以£工

1625

的周长为（）

A.12B.18C.16D.20

22

4.（23-24高二上.全国・课后作业）若点（3,2）在椭圆二+2=1上，则下列说法正确的是（）

ab

A.点（-3,-2）不在椭圆上B.点（3,-2）不在椭圆上

C点（-3,2）在椭圆上D.无法判断上述点与椭圆的关系

5.⑵-25高二上・山东烟台・期末）已知皿分别为椭圆鹏+r1的左、右焦点，直线，=2》与C交于

两点AB,则平行四边形4片5月的周长为（）

A.40B.8C.8夜D.16

6.（24-25高二上•福建泉州•期中）若方程工2

J=1表示椭圆,则实数加的取值范围为（）

m+3

A.(-1,3)B.(Tl)

C.(-3,-l)U(-l,l)D.(-oo,-3)U(h+°°)

22

7.（24-25高二上•山东德州・月考）已知曲线C：x+y=9(y>0),从。上任意一点尸向x轴作垂线段

PP：P为垂足，若点M满足两=2]^，则点M的轨迹方程为（)

22

A.UI(y〉0)B.—+/=1(y>0)

939

222

C.匕+±=1(y>0)D.匕+/=1(y〉0)

939

8.（24-25高二上•湖北•月考）已知尸是椭圆C:：+y2=i的左焦点，尸为椭圆C上任意一点，点Q（4,4）,

则|尸。|+忸刊的最大值为（）

A.5+20B.5-2忘C.3+2近D.3-2忘

9.（24-25高二上・湖南•期末）已知圆£：（x-4）2+V=i44与。2：。+4）2+丁2=4,动圆M与圆G内切,

且与圆C,外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）

x2RYV,2

A._rD.----十------1

4933=14933

22

10.（24-25高二上•重庆•月考）已知M是椭圆C：工+匕=1上一点，G，鸟分别是椭圆C的左、右焦点，

4924

\ME\4

若则△叫工A的面积为（）

A.49B.48C.25D.24

22

11.（24-25高二下•河南・月考）已知椭圆C:±+匕=1的右焦点为尸，P为C上任意一点，点A[-

43

则|到+仍刊的最大值为（）

33

A.4B.5C.6D.

5