等比数列-2024年高考数学高频考点专练（新高考）

专题16等比数列

一、考向解读

考向：高考侧重于等比数列的基本量运算、数列的概念及表示法的理解等，主要考查考

生对基本方法与基本技能的掌握。

考点：等比数列及其性质，等差数列的前n项和。

导师建议：抓住叫和q是解决问题的关键，化简也是朝着这个方向勇敢的去做！等比数

列的运算比等差要大的多，而且要灵活处理。要善于提取公因式和换元！

二、知识点汇总

1.数列的第n项与前n项的和的关系

2.等比数列的通项公式

4.等比数列前n项的和公式为

【常用结论】

三、题型专项训练

①等比数列基本量的计算

一、单选题

A.3B.6C.9D.12

【答案】D

【分析】根据已知条件求解出公比，再利用等比数列的通项公式求解即可.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为4,

故选：D.

A.1或-]B.1C.2或一2D.2

【答案】C

【解析】根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4,

故选：C.

1

A.-B.yC.2D.4

4

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用等比数列通项列式计算作答.

所以数列｛凡｝的公比为

故选:B

A.1B.-2C.2D.2或一2

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为4,

故选：C.

A.&B.2或一2

【答案】D

【分析】利用等比数列的通项公式求解.

故选：D

A.96B.192C.384D.768

【答案】D

【分析】根据题意结合等比数列的通项公式和等比中项列式求解q,q,进而可求得结果.

【详解】设等比数列公比为4,

故选：D.

②等比数列的前〃项和打

A.24B.28C.30D.32

【答案】C

故选：C.

A.30B.10C.9D.6

【答案】B

故选：B.

A.1B.3C.5D.7

【答案】B

故选:B.

10.中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.意思是说

有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里数是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第七

天走的里数为（）

【答案】B

【分析】根据题意可知，每天行走的里程数成等比数列，利用等比数列的前“项和公式即可求得结果.

【详解】由题意得，马每天行走的里程数成等比数列，

故选：B

11.将一个顶角为120。的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的

等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作.如果这个操

作过程无限继续下去...，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面

积为1,则经过4次操作之后所得图形的面积是（）

e10

D.—

81812727

【答案】A

【分析】根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的：，按照等比数列即可求得结果.

【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的g,

所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的：，

故选：A

44114

A.-B.--C.-D.乙或上

33333

【答案】D

【分析】根据等比数列的通项公式列式求解即可.

【详解】设比数列｛见｝的公比为4,

故选：D.

A.40B.120C.121D.363

【答案】C

【分析】由题目条件求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案.

故选：C.

A.32B.31C.63D.64

【答案】B

【分析】由已知等式解出数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式计算即可.

【答案】B

【分析】利用等比数列性质即可求得结果.

故选：B.

A.6B.12C.56D.78

【答案】D

【分析】直接利用等比中项即可求出%和6%的值，代入计算即可.

故选：D.

A.8B.7C.6D.4

【答案】A

【分析】结合等比数列性质化简已知条件，由此可求$3.

故选：A.

A.44B.46C.48D.410

【答案】C

【分析】根据等比数列的性质求解即可.

故选：C

A.-1B.1C.2D.±1

【答案】D

故选：D.

20.等比数歹i」4+x,10+x,20+x的公比为（）

A.1B.-C.-D1

2323

【答案】D

【详解】因为4+x,10+x,20+x为等比数列，

故选：D.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据题意，由等比中项列出方程即可得到6与d的关系，从而得到结果.

故选:B

④等比数列的前〃项和S/生质

A.28B.32C.21D.28或21

【答案】A

故选：A.

A.130B.160C.390D.400

【答案】D

【分析】根据等比数列片段和性质计算即可求解.

故选：D.

4341

A.——B.43C.—D.41

77

【答案】A

故选：A.

25.设等比数列｛即｝的前〃项和为S”，若S3+S6=2S9,则数列的公比4是（）

【答案】C

【分析】根据前n项和的关系代入即可求解.

【详解】若q=L则有S3=3al,S6=6al,S9=9al,

而al#）,即得S3+S6W2s9,与题设矛盾,故q#l.又S3+S6=2S9,①

根据数列性质S3,S6-S3,S9—S6成等比数列，②

由①②可得S3=2S6,

故选：C.

11

A.-B.—

88

57-55

C.——D.—

88

【答案】A

【分析】利用等比数列的性质、等比中项的性质进行求解.

故选：A.

⑤等比数列的册和治的关系

A.511B.512C.1023D.1024

【答案】B

【分析】根据。“与S”的关系可得出数列为等比数列，根据通项公式求解即可.

故选：B.

【答案】C

故选：C

A.63B.127C.128D.256

【答案】A

所以数列｛%｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

故选：A.

【点睛】（1）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由Sn求an；④累加（乘）法；⑤由递

推公式求通项公式；

⑵数列求和常用方法：

①等差（比）公式法；②倒序相加法；③分组求和法；④裂项相消法；⑤错位相减法.

A.297B.298C.2"D.2100

【答案】C

故数列｛4｝是从第二项开始的，公比是2的等比数列，

故选：C

c172341

A.—2B.2C.----D.

341172

【答案】C

故选：C.

⑥多选题和填空题

二、多选题

32.已知数列｛%｝是等比数列，则下列结论中正确的是()

【答案】BC

【分析】根据等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

故选：BC

【答案】BC

【分析】由等比数列的定义求得公比心从而求得生,得通项公式，前“项和，判断各选项.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为4,

故选：BC.

34.在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得

到其关”，其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天

的一半，走了6天才到达目的地"，贝|()

A.此人第二天走的路程占全程的!

B.此人第三天走走了48里路

C.此人第一天走的路程比第四天走的路程多144里

D.此人第五天和第六天共走了18里路

【答案】BD

【分析】由题意，此人每天走的路程构成等比数列，由已知条件求出首项和公比，就可以解决数列问题了.

故选：BD.

【答案】ACD

故选：ACD

【答案】ABD

【分析】先根据条件求出递推关系，结合选项逐个验证可得答案.

故选：ABD.

【答案】ABD

故选：ABD

三、填空题

【答案】3968

故答案为：3968.

【答案】32

【分析】利用等比数列的通项公式及性质求解即可.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为4,

故答案为：32.

31

【答案】一##7.75

4

【分析】由条件结合等比数列通项公式求首项用和公比q,再利用求和公式求S5.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为q,

31

故答案为：v-

4

【答案】12

故答案为：12

7

【答案】

O

7

故答案为：

O

【答案】600

【详解】设等比数列的公比为名

故答案为：600

四、高考真题及模拟题精选

一、单选题

A.256B.256C.512D.512

【答案】A

【分析】求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.

【详解】设等比数列｛见｝的公比为4,

故选:A.

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

故选：A.

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

故选：D.

A.12B.24C.30D.32

【答案】D

故选：D.

【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题.

5.(2020•全国•统考高考真题)记Si为等比数列｛加的前"项和.若。5-田=12,a6P=24,则1=()

an

A.2n-lB.2-2「wC.1-lnr1D.21n-l

【答案】B

【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通

项公式和前〃项和公式进行求解即可.

【详解】设等比数列的公比为4,

故选：B.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前”项和公式的应用，考查了数

学运算能力.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

故选：C.

【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，

属于中等题.

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

【答案】C

【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.

对其进行整理变形：

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心

素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.

二、多选题

【答案】ACD

【答案】ACD

故选：ACD.

三、填空题

【答案】y

s

【分析】利用等比数列的求和公式以及通项公式可求得u的值.

故答案为：-y-.

【答案】160

【分析】先通过递推式证明｛/｝是等比数列，再按照等比数列的求和公式求解即可.

故答案为：160.

五、题型精练，巩固基础

一、单选题

A.-36B.-32C.32D.36

【答案】D

【分析】根据等比数列的通项公式列出方程组求出厂，即可得解.

【详解】等比数列｛%｝中，由题意可得，

故选：D

A.96B.-96C.72D.-72

【答案】B

【详解】设等比数列｛4｝的公比为4,

故选：B.

A.32B.31C.63D.64

【答案】B

【分析】由已知等式解出数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式计算即可.

故选：B

A.—B.—C.1D.2

48

【答案】D

【分析】根据题意求出数列的首项和公比，即可根据通项公式求得答案.

故选：D.

A.128B.127C.126D.125

【答案】C

【分析】根据等比数列的知识求得数列｛%｝的首项和公比，从而求得臬.

故选：C

A.30B.10C.9D.6

【答案】B

故选：B.

7.（2023・陕西咸阳•校考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊

神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在

后面追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100

米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，

乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不

停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟.“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01

米时，乌龟共爬行了（）

A.11」米B.10.1米C.11.11米D.11米

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前n项和公式计算作答.

故选：C

A.-B.3C.2D.4

42

【答案】B

【分析】根据已知结合等比数列的通项与前«项和列式联立得出答案.

故选：B.

A.72B.96C.108D.126

【答案】B

故数列｛4｝是以3为首项，2为公比的等比数列,

故选：B.

10.（2022・四川达州•统考一模）《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫

子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故

再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花,