高考数学考点复习讲义：空间几何中的平行（含解析）

考点23空间几何中的平行

知识理解

一.直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，V1//a,aua,lUa,

定理则该直线与此平面平行（线线平行=线面平行）：.l//a

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任

性质*.*l//a,lu0,aC\0=b,

一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为

定理：.l//b

“线面平行今线线平行”）

二.平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面内的两条相交直线与另一个

判定a//P，b//P，aua,bua,

平面平行，则这两个平面平行（简记为

定理：.a///3

“线面平行台面面平行”）

如果两个平行平面同时和第三个平面

•：a"B，aC\y=a,pC\y=b,.\a//b

相交，那么它们的交线平行

性质

定理

如果两个平面互相平行，其中一个平面7^7

内的一直线平行与另外平面4/

三.线线平行

1.相似比（常用三角形的中位线）

2.构造平行四边形（证明一组对边平行且相等）

3.平行的传递性

4.线面垂直的性质：垂直同一个平面的两条直线平行

5.线面平行的性质

6.面面平行的性质

7.平面向量

8.空间向量

四.线面平行

证明线面平行有两种常用方法:

一是线面平行的判定定理；

考向一三角形的中位线证线面平行

【方法总结】

三角形中位线证明线面平行思路

（1）通过把面外的直线平移到平面内找到与之平行的直线

（2）构造三角形中位线

【举一反三】

1.（2021•广东湛江节选）如图，在直三棱柱/8C—/心G中，D,£分别为84/C的中点，/斤8a求证：

〃平面DEC,.

【答案】证明见解析.

又因为瓦七平面庞G,平面庞G,所以4旦〃平面庞G.

【答案】证明见解析.

【答案】证明见解析；

【解析】连接熊交劭于点0,连接

•.•四边形加功为正方形，所以。为熊中点，又£为身中点,

考向二构造平行四边形证线面平行

【例2】（2020•全国高三专题练习节选）如图，直四棱柱48切-464〃的底面是菱形，E,M,"分别是6C,

BB、,4。的中点.证明：如〃平面G龙；

【答案】证明见解析

【解析】证明：连结ME.

因为〃，E分别为BBi,回的中点，所以颇〃6C且屿工区口

2

又因为从为4,的中点，所以初=L4〃由题设知481%,可得RCUAD微ME11ND,

2一一一

因此四边形腑定为平行四边形，MN//ED.又平面砂G,所以腑〃平面61位

Di

【方法总结】

构造平行四边形证线面平行

(1)通过把面外的直线平移到平面内找到与之平行的直线

(2)构造平行四边形，通过一组对边平行且相等证明平行四边形

(3)利用平行四边形的性质证明线线平行

【举一反三】

【答案】证明见解析

【解析】取的中点r，连接用，BF.

【答案】证明见解析.

【答案】证明见解析.

考向三三角形相似比证线面平行

【答案】证明见解析

【解析】证明：连结AC与5。交于点N,连结跖V

【举一反三】

【答案】证明见解析

C

s

【答案】证明见解析

【解析】证明：连接A。,

S

考向四面面平行的性质证线面平行

【答案】证明见解析

【方法总结】

面面平行的性质证明线面平行

1:把线放在某个平面或构造一个平面与之平行

2.利用面面平行的性质证明线面平行

【举一反三】

【答案】证明见解析

【解析】取5。中点N,连接GN,NF,易知N,M，尸三点共线,

x

p

【答案】证明见解析

【解析】法一：连接件交庞于点〃，连接掰见图1:

即

法二：取戊7中点瓶连接掰GM,见图2:

p

,：M,尸分别是£C,充的中点，

法三：在平面力回内，以垂直于38的直线为x轴，A6所在的直线为y轴，/户所在的直线为2轴建立空间

直角坐标系，见图3,

考向五证明线线平行线面垂直的性质

4B

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图示：分别取AC,的中点尸，G,连结跖，DG,FG

【举一反三】

【答案】见解析

【解析】证明：取CD中点。，连接MO,

A

考向六面面平行

【答案】证明见解析

【举一反三】

【答案】证明见解析

B

【答案】见解析

B

强化练习

【答案】证明见解析

【答案】证明见解析

【解析】连接AC交5。于E，连接石则E为AC中点,

【答案】证明见解析

【解析】取的中点Q，连结。N、AQ,

【答案】证明见解析

【答案】证明见解析

【解析】证明：取的中点G,连MAG,如图所示:

，四边行//'G为平行四边形,

【答案】证明见解析

B

【答案】证明见解析

【答案】证明见解析

【解析】证明：取的中点0,连接NQ,FQ,

【答案】证明见解析

【答案】1

【解析】连结政,

【答案】证明见解析

【解析】证明：取尸C的中点连接）、BF,如图所示:

【答案】证明见解析

【解析】连结8G，与耳。交于点。，连结00,

【答案】证明见解析

14.（2020•全国高三专题练习）如图，在正方体/比346K4中，S是3〃的中点，E,F,G分别是比；DC,

SC的中点，求证：

⑴直线比//平面如

⑵平面EFG!I平面BDDB.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】证明：⑴如图，连接必，因为反G分别是a；SC的中点,

所以6G//M

又因为SBu平面BDD\B\,£G•平面BDD、B\,

所以直线EGII平面BDD.B,.

⑵连接曲，因为凡G分别是，C,SC的中点,

所以刀G/