2024-2025学年湖南省娄底市高一下学期4月期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省娄底市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意知.故选：C.2.若复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】，则的虚部为.故选：A.3.在中，为线段的靠近点的一个三分点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为为线段的靠近点的一个三分点，所以，所以.故选：B4.若，则（）A. B.2 C.2023 D.2025【答案】A【解析】.故选：A.5.在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设，则，所以外接圆半径，故圆的面积为.故选：D6.已知，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，由于，则，令，则，于是有，整理可得，因为，解得，即，解得.故选：B.7.在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（）A.B.若，则C.若，则D.若，则三角形为锐角三角形【答案】B【解析】A：由，错；B：由，则，又，则，对；C：对于钝角三角形，若，此时，错；D：由，则，故，所以为锐角，但不能说明三角形为锐角三角形，错.故选：B8.已知单位向量、、满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为单位向量、、满足，则，所以，所以，，解得，同理可得，因为.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各组向量中，不能作为基底的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】对于A，令，则，显然无解，则向量不共线，故A不合题意；对于B，令，则，显然无解，则向量不共线，故B不合题意；对于C，令，则，解得，则向量共线，故C符合题意；对于D，令，则，解得，则向量共线，故D符合题意.故选：CD.10.已知函数，则下列命题正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间上单调递增D.将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象与函数的图象重合【答案】ABD【解析】对于A选项，函数的最小正周期为，A对；对于B选项，因为，故函数的图象关于直线对称，B对；对于C选项，当时，，所以，函数在区间上不单调，C错；对于D选项，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，D对.故选：ABD.11.已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下述正确的是（）A. B. C.是奇函数 D.若，则【答案】ACD【解析】令，则，故A正确；令，则，则，故B错误；令，则，所以，又令，则，所以是奇函数，故C正确；令，则，所以，故D正确；故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是__________.【答案】①【解析】由斜二测画法规则知，斜二测画法保持平行性不变，因此原相交直线，利用斜二测画法得到的仍是相交直线，三角形的直观图一定是三角形，①正确；斜二测画法中只有平行于轴或在轴上的线段，长度保持不变，因此正方形、菱形的相邻两边，利用斜二测画法得到的线段不等，②③错误.故答案为：①13.已知向量，则在上的投影向量为__________.【答案】【解析】在上的投影向量为.故答案为：.14.已知，且，则的最小值是__________.【答案】【解析】因为，且，所以，当且仅当，即，时取等号.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转的时间（单位：年）的函数关系为.（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？解：（1）故当时，取得最大值，最大值为45，所以这批机器运转第7年时，可获得最大利润45万元；（2）记年平均利润为，则14当且仅当，即时，等号成立.16.已知.（1）若，求的坐标；（2）若，求与的夹角的余弦值.解：（1）设，由题意有，解得或.故的坐标为或；（2）由化简整理得，则，解得，=.17.在中，角的对边分别为.（1）求.（2）若，求的面积的最大值.解：（1）因为，由正弦定理可得，因为0，所以，，又，所以.（2）因为，由余弦定理可得，所以，，当且仅当时，取的面积的最大值.18.在中，已知分别为上的点，且.（1）求；（2）求证：；（3）若是线段上的动点，满足均为正常数，求的最大值.解：（1），，，所以，；（2），所以，所以；（3）因为，由三点共线可得，，所以，所以，当且仅当时取最大值.19.已知函数.（1）解方程；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）若函数在上只有一个零点，求的取值范围.解：（1）由得，所以，所以，令，解得，所以；（2）定义域为，关于原点对称，，所以函数为偶函数；（3）函数有唯一零点等价于方程有唯一解，即方程有唯一解，整理得，令，即方程有唯一正数根，①若，此时符合题意；②若，则当时，符合题意，当时，不合题意，舍去，当时，，方程有两相异实根，符合题意，当且时，则，只需，所以(舍去)，综上，实数的取值范围是2或.湖南省娄底市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意知.故选：C.2.若复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】，则的虚部为.故选：A.3.在中，为线段的靠近点的一个三分点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为为线段的靠近点的一个三分点，所以，所以.故选：B4.若，则（）A. B.2 C.2023 D.2025【答案】A【解析】.故选：A.5.在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设，则，所以外接圆半径，故圆的面积为.故选：D6.已知，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，由于，则，令，则，于是有，整理可得，因为，解得，即，解得.故选：B.7.在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（）A.B.若，则C.若，则D.若，则三角形为锐角三角形【答案】B【解析】A：由，错；B：由，则，又，则，对；C：对于钝角三角形，若，此时，错；D：由，则，故，所以为锐角，但不能说明三角形为锐角三角形，错.故选：B8.已知单位向量、、满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为单位向量、、满足，则，所以，所以，，解得，同理可得，因为.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各组向量中，不能作为基底的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】对于A，令，则，显然无解，则向量不共线，故A不合题意；对于B，令，则，显然无解，则向量不共线，故B不合题意；对于C，令，则，解得，则向量共线，故C符合题意；对于D，令，则，解得，则向量共线，故D符合题意.故选：CD.10.已知函数，则下列命题正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间上单调递增D.将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象与函数的图象重合【答案】ABD【解析】对于A选项，函数的最小正周期为，A对；对于B选项，因为，故函数的图象关于直线对称，B对；对于C选项，当时，，所以，函数在区间上不单调，C错；对于D选项，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，D对.故选：ABD.11.已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下述正确的是（）A. B. C.是奇函数 D.若，则【答案】ACD【解析】令，则，故A正确；令，则，则，故B错误；令，则，所以，又令，则，所以是奇函数，故C正确；令，则，所以，故D正确；故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是__________.【答案】①【解析】由斜二测画法规则知，斜二测画法保持平行性不变，因此原相交直线，利用斜二测画法得到的仍是相交直线，三角形的直观图一定是三角形，①正确；斜二测画法中只有平行于轴或在轴上的线段，长度保持不变，因此正方形、菱形的相邻两边，利用斜二测画法得到的线段不等，②③错误.故答案为：①13.已知向量，则在上的投影向量为__________.【答案】【解析】在上的投影向量为.故答案为：.14.已知，且，则的最小值是__________.【答案】【解析】因为，且，所以，当且仅当，即，时取等号.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转的时间（单位：年）的函数关系为.（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？解：（1）故当时，取得最大值，最大值为45，所以这批机器运转第7年时，可获得最大利润45万元；（2）记年平均利润为，则14当且仅当，即时，等号成立.16.已知.（1）若，求的坐标；（2）若，求与的夹角的余弦值.解：（1）设，由题意有，解得或.故的坐标为或；（2）由化简整理得，则，解得，=.17.在中，角的对边分别为.（1）求.（2）若，求的面积的最大值.解：（1）因为，由正弦定理可得，因为0，所以，，又，所以.（2）因为，由余弦定理可得，所以，，当且仅当时，取的面积的最大值.18.在中，已知分别为上的点，且.（1）求；（2）求证：；（3）若是线段上的动点，满足均为正常数，求的最大值.解：（1），，，所以，；（2），所以，所以；（3）因