辽宁省大连市2024-2025学年高一年级下册期末考试数学试卷（解析版）

大连市2024-2025学年度第二学期期末考试

高一数学

注意事项：

1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.

2.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第I卷

一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求.

_1+2>

1.己知一2-i。为虚数单位），则月二（）

A.1B.7TC.2D.4

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数除法求出Z,进而求出其模.

【详解】依题意，+'I=i,所以n=1.

（2-i）（2+i）511

故选：A

2.已知在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点42,0|、点B不三，则向量0彳和通的夹角为（

)

71兀5rr2n

A.一B.C.—D.

6363

【答案】B

【解析】

OAOB

【分析】由向量夹角的公式cos。=-------求解即可，注意向量夹角的取值范围.

OA0B

【详解】因为点山2.0|、点>所以0,7=（2.0）,0B=

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所以|。力卜2JOB|=i,OA*OB=2xg+ox=1,

…OAOBI

设向量0/和。8的夹角为。，因为c°s°n-Q，

又因为0<6<x,所以。=",

所以向量和的夹角为三.

故选：B.

3,已知5也(。4p\=3sin(a,tana=mtanj3，则加=()

11

A.-B.2C.2D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用两角和与差公式对已知等式进行展开，然后通过等式变形得到tana与tan产的关系，从而求

出'"的值.

【详解】已知sin(a+p|=3sin(aPI,根据两角和与差公式，

将等式展开得到：sinacosp+cosasin0=3|sinacos^-cosasin/J|,

展开得：4cosasinp=2sinacos^,

因为匕111二把二，由4c”asin£=！sinaco$£,

cosx

两边同时除以2co$asinp(cosah0且CQ$£*0,若cosa=0或CQ§p=(I,则正切函数无意义)，

4cosasinfl2sinacosB.

可得：----------=----------=>2tan6n=tana,

2cosasin02cosasin0

已知【ana=mian0,又！tan夕;IanQ,

所以办=2.

故选：C.

4.已知函数./("的周期为2兀，且在(0,兀)上单调递增，则〃出可以是()

A.=sinvB./(x)=sinjc.f(x)=cos2xD./|.r)=tan2.v

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【答案】B

【解析】

【分析】结合三角函数的周期性定义和三角函数图象逐选项判断即可.

【详解】对于A,=结合正弦函数图象可知，时，/（“单调递增，时，

单调递减，故A错误；

对于B,/（X）=sinj,/（》+2兀）=sin^^=sin（1+n）=sin］,所以周期为2兀，

因为工«0,兀|,所以:€（0，+）,所以/（X）=sin：=sin：,

结合正弦函数图象，函数在（0,兀I上单调递增，故B正确；

对于C,〃x）=cos2x,因为xe（0,兀1,所以2xe（0,2兀），结合余弦函数图象可知，

函数在（°，］,单调递减，在（：，n|单调递增，故C错误；

对于D,./1*=tan2x,当x时，函数无意义，所以在I。,也上不单调递增，故D错误，

4

故选：B.

5.已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为2,体积为7,则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为

（）

【答案】D

【解析】

【分析】画出相应图形，借助正四棱台的性质及体积公式可得其高，结合线面角定义计算即可得解.

【详解】如图所示，作4A/L/C于点

则S=；（F+2,♦JFx2［）x4M=7,即,4黑=3,

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tanZ.A.AM=-1—=-=3&

则1AM6

T

由正四棱台的侧棱与底面所成角即为与底面.48CD所成角,

设其为。，则8,2—4M,即tan0=tanZ.AtAM-3^2.

故答案为：3a.

6.在.48C中，已知tag,tan8是关于'的方程/+。1+1)+1=0的两个实根，则。=

nn2n3T

A.—B.-C.—D.—

6434

【答案】D

【解析】

【分析】利用韦达定理和和差公式即可得解.

【详解】因为tanJ,tan8是关于X的方程./+px+p+l=O的两个实根,

所以tand+lan8=-/),tan.Han=p+1,

所以tanC=lan[n-(/+B)J=-tan(/+8)=-tan4+tanB-P

1-tan4tanB1-1p+1)

因为人（。,“），所以0

故选：D

7.已知函数/(x)=4sin|(”+v>)|4>0,3>0,程<

的部分图象如图所示，则（）

第4页/共23页

A./(x)=2sinl2x+-

B.将/（X）的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移三个单位，得到如小的图象，则

g(x)=2sinx+—

6

C../"]的对称中心为卜兀-30）,KeZ

D.若-[<*<与<£,且/（xj=/[xj，贝I〃芭+工）=/

0J

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移变换可判断B；

根据正弦函数的对称性可判断C；对于D,结合已知利用换元法推出为+工=3,代入求值，即可判断.

6

/\）

[详解]由图知,4=2J=27+7I=n,故to=—=2,

\i6Jn

..fn'八

又.〃x）过点且该点函数增区间上，故/[=2sinl-y+(pI=0,

6；

则-1+少=eZ,则9=上+2七1,&GZ,结合<p<n

1，则3=5

33

故/(x)=2sin2x+：,A错误;

<J/

将/（-rl的图象上所有点横坐标变为原来2倍，可得J=2sin卜+jj的图象,

第5页供23页

2n\、

再向左平移三个单位，得到g1*1的图象，则g(W=2sinX+7|，B错误;

3/

令2.T+N=E,RGZ,贝=一ku-上、keZ,

326

即/(X)的对称中心为IT^-7,0,kwl,C错误;

\26；

因为-?■<司<与<一,且/($)=/(X?),令4=2X]+—J,=2x,+—*

633""3

贝G|0,JiHsin/,=sint:,贝1)4+q=兀，

n

贝(J2(X1+x)=—.\x+x

21]26

故/E+x?)=2siny-=V3,D正确,

故选：D

5兀-

8.已知非零平面向量d,h,e是单位向量，((i,N〉=：,且Q--15=Q,贝ijb+a\=()

omm

A.4B."+3c.y/TD.1

3

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件可得用-4|=1，利用向量夹角及模的几何意义将问题转化为圆上的点到射线距离

最小值求解.

【详解】由。是单位向量，b:8k0-15=(I，得(E-4]=1,即历一4|=1,

作向量诟=3,反=4工,而=九贝『丽|=|而-反|=1,

点8的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，

过。作射线0』的垂线C。，垂足为O,

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所以E+dmm=1O”O"m=U5|T=OC|Sill-1=1.

0

故选：D

二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选得0分.

9.下列命题是真命题的是()

A,直线，〃不平行于平面y,且加名,/,则平面y内不存在与，〃平行的直线

B.两条直线平行是它们与同一平面所成角相等的充分不必要条件

C.平面a、0,a，p,a「I夕M,过。内的任意一点作直线加1/,则用ia

D.空间中，一个角两边分别垂直于另一个角两边，则这两个角相等或互补

【答案】AB

【解析】

【分析】依据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系以及线面角、空间角的相关知识，结合举例，来

对每个命题逐一进行分析判断.

【详解】对于A,已知直线，〃不平行于平面y,Ma了，那么直线，〃与平面了相交.

假设平面y内存在与，〃平行的直线8，根据直线与平面平行的判定定理可得加＞■,

这与已知条件矛盾，所以平面/内不存在与，〃平行的直线，故A正确；

对于B,若两直线平行，根据线面角的定义和性质，它们与同一平面所成的角一定相等，

所以两直线平行能推出它们与同一平面所成的角相等；

但是两直线与同一平面所成的角相等时，两直线可能平行、相交或异面，

因此，两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件，故B正确；

对于C,根据面面垂直的性质定理，此垂线，〃必须在平面P内才垂直于平面而题中的垂线，〃不一定在

平面P内，故C错误；

对于D,如图，alp,an/)=/,过平面a内一点。作0.4一/于点A,点比04),连接08

过平面6内一点c作CD，/于点。，点Eep",任C0,连接CE,

则011,CDla,又CEu£.08二a,故04iCE,08LCD,

但是/108和/DC£大小关系不确定，故D错误.

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故选：AB.

10.设复数z在复平面内对应点为Z,则下列说法正确的是()

A.若二［iU=则点Z在第二象限

B.若二为纯虚数，则点Z在虚轴上

C.若目43,则点Z的集合所组成的图形面积为以

D.若|:|=1,则？+:为实数

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,求出复数二进行判断即可，对于B,根据纯虚数的定义分析判断，对于C,由目43结合

复数的几何意义分析判断，对于D,设：=&+/)i,则+再化简二+!判断.

..i-1(—i—I)(i+I)—li+1r

【详解】对于A,由Z(l-l)=l-1,得2===-----------=1,

।-1(1-1)(1+1)-2

所以复数二在复平面内对应点为Z(01)在「轴，所以A错误;

对于B,因为Z为纯虚数，所以点Z在虚轴上，所以B正确，

对于C,因为复数Z在复平面内对应点为Z,且日43,所以点Z在以坐标原点为圆心，3为半径的圆上或

圆内，

所以点Z的集合所组成的图形面积为［X3：=口，所以C正确，

对于D,设：=a+big/ERI,因为日=1,所以犷=1,

IIa-bi

所以:+—=♦+4+——=a+历+

za+bi(a+hi)(a-bi)

bi

=a+bi+——-=a+bi+a-bi=2aeR,所以D正确.

+b'v

故选：BCD

11.已知正方体力BCD-J14GA,X8=a,且直线上与直线CG夹角为＜P,则下列说法正确的是(

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）

A.若点P在棱«上，且tan<p=2VI,则牛=a

B.若（p=:,且点P在面」乩（"；上，则点P的轨迹长度为立些

66

C.P是48CD-/114GA面上的动点，DP1.4,C,则尸的轨迹图形面积是由/

2

D.点p为截面人08上的动点，DP.$C,则点尸的轨迹长度是Ga

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A,由题易得中二,运算得解；对B,由题可得点P的轨迹是以用为圆心，所含圆心角

为个的圆弧，运算得解；对c,由题易证4c,平面8DC,可得点p的轨迹图形是A80G，求解判断；

对D,由C,可确定点P的轨迹得解.

【详解】对于A,如图，点尸在CC；上，则卡:/JPC,所以tans="=叵=28，

PCPC

解得PC=；a,所以PG=5。，故A错误；

对于B,因为所以直线#与LL夹角为令=三，

O

所以射线一,”'的轨迹是以储为轴，轴截面等腰三角形顶角为;的圆锥侧面，

当点P在底面乂冏C/i内时，A/=*a,

点P的轨迹是以儿为圆心，所含圆心角为：的圆弧，轨迹长度为色、叵=巫巴，故B正确；

2236

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由44_1_平面.4BC0,8。u平面.48(7),则80_1_4/，又8D1/C,

44AC=A,444Cu平面小/C,故8。』平面」/C,

<Cc平面J4C,所以4CJ~8D,

同理，可得4C_L8G，而8"83=8,8£>,8GU平面BDC1,

所以4C_L平面8DC,因为4。，止，所以DPu平面8DC,又p是正方体.4BCD-44GA面上

的动点,

所以点p的轨迹图形是ABDC「易知A8£>C是正三角形，边长为缶，

所以点P的轨迹图形的面积为乎x(缶『=*一,故C正确;

对于D,由C可知，。户u平面BDC,,又点P为截面小。8上的动点，平面■!(/n平面8Dq=G3,

所以点P的轨迹是线段g,长度为JL,故D正确.

故选：BCD.

第n卷

三.填空题：本大题共3小题.每小题5分，共15分，把答案填在答题纸的相应位置上.

12.若关于X的方程X2-2X+C=0(C<R)的一个虚根的模为3,贝I的值为.

【答案】9

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【解析】

【分析】求出方程的根，再利用复数模的意义列式求出.

【详解】由方程「-2一C=(I,得(x-lf=l-c,依题意，C>1,解得「=1±>/7丁1,

由1±T^Ti1=Jl+(c1)=3,所以C=9

故答案为：9

13.将函数/⑴=2tan(fi)x+；|的>0)的图象向左平移看个单位，得到函数WI.图象若函数gUI为

奇函数，则磔的最小值是.

【答案】1

【解析】

【分析】求出平移后的解析式，根据函数的奇偶性得到方程，求出©=-2+3HeZ,进而得到最小值.

【详解】=2tanffi)x+jjI”>。)的图象向左平移5个单位，

6

得到函数g(xI=2tan|(ox+1一+'J①>。1,

因为如皿为奇函数，所以等+：=eZ,解得"J=-2+€Z,

又(o>0,故当*=1时，3取得最小值，最小值为1.

故答案为：1

14.己知〃是球。的直径48上一点，:H8=1：3,.48la,〃为垂足，平面a截球。所得截面的

面积为3兀，/为a内的一点，且“〃=1,则球。的表面积为；过点Af作球。的截面，则当截面面

积最小时，截面圆的半径为.

【答案】①.w②.VF.

【解析】

【分析】由题意截面的面积为3兀求出截面圆半径，继而可求球的半径，即可求得球。的表面积；过点”作

球。的截面，确定截面圆与。“垂直时，球心到截面圆的距离最大，即可求得截面面积最小时，截面圆的

半径.

【详解】设球。的半径为R,由于：HB=13,故AH=!R,;.OH=gR,

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B

球。所得截面的面积为3兀，设截面圆半径为r,则3兀/,.」二百，

D2

则K：=r：・OH：,即*=3+°，解得R=2，

故球。的表面积为物1二l(u；

过点M作球。的截面，则当截面面积最小时，只需该截面圆的半径最小；

设球心到截面圆的距离为d,设截面圆半径为「'，则，=V/?：-d1="-/，

故只需d最大，此时截面圆与。“垂直，

即人M=°”=+时斤=+MH，=Vi2+12=V2,

故京="-d'=J4-2=>/2,

故答案为：16X；JT

四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在直三棱柱-44G中，已知.4C，8C,侧面8CG4为正方形，设；18的中点为。，

耳CD5G=E.

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AC

D\

(1)求证OE/平面MC；

(2)求证：BC,1平面4C81.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)根据中位线性质证明4C,结合直棱柱性质和线面平行判定定理可证;

(2)先证ICC,然后结合正方形性质和线面垂直判定定理可证.

【小问1详解】

■.•侧面以工用为正方形，且8。08孰=七，为4c的中点，

又。为小」的中点，:。£IlAC,

又；直三棱柱，43c-44C中，AtCt//AC,■CDE.

又。Eq平面418c，4Gu平面48(,

DET平面L8C.

【小问2详解】

•.•直三棱柱,48。一44和，:CC,1平面A8C,

又NCu平面.48C,.•.ZC_LCG，

又.4C18C,8C,CG<=平面6cCR,fiCnCC,=C,

...4C1平面BCC\.

又83c平面比G，.•./C_L8G.

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•.•侧面8CG4为正方形，:BgiB,c,

又qcc4C=c,4c、ACc平面XC4,

BC1平面』C8一

16.已知.48('中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+csinB.

(1)求角8；

(2)若/)=6M=1,求.48C的周长.

【答案】(1)8=7

4

(2)1+V5+2V2

【解析】

【分析】(1)由正弦定理，结合三角形内角和定理，可求角8.

(2)利用余弦定理可求边，进而求三角形的周长.

【小问1详解】

:a=AcosC+csinB,

・'.由正弦定理得：sin.4=sinficosC+sinCsinB,

又：4+8+C=【，..sinI8tC'|二sin8cosc'4sinCsinfi

即sin8cosc+cos£sinC=sinBcosC+sinCsin^,

cos5sinC=sinCsinfi,

又,：AABC,：,sinC>0,sin5=cosStanfi=1,

又：0<B<*,-s=~.

小问2详解】

由余弦定理得：八：二。：•c：・2accosfi，

..5=1+c2-2x1xex—,

2

即-岳-4=0,.:1-2金）卜+6）=0,

tc=2JF或。=-6（负值舍去），

.ta+b+c=14-5/54-2^2.

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：,^ABC的周长为1+6+2JI.

17.如图，在四棱锥S-48CD中，平面S/D一平面」=SD=］。=2,四边形.48(7)为正方

形，£.1/分别为』。、BC的中点.

(1)直接写出图中与£”平行的平面;

(2)求证：平面S.4Di平面S/8；

(3)在棱SC上是否存在点N,使得平面。MN1平面.48CO?若存在，求三棱锥C-体积；若不

存在，说明理由.

【答案】(1)平解，平面

(2)证明见解析(3)存在，坐

6

【解析】

【分析】(1)由已知可得」8M£,DC，「ME,然后由线面平行的判定定理可得结论；

(2)由已知面面垂直可得.481平面S.4。，再由面面垂直的判定定理可证得结论；

(3)当N为5c中点时，满足条件，连接EJOW.SE.DM,设DM。EC=0,可得，‘匹，

SELAD,再结合面面垂直可得N。-平面.48CD,然后由面面垂直的判定得平面1平面.4BCD

,利用等体积法可求得三棱锥C-DMN体积.

【小问1详解】

因为四边形48co为正方形，E.M分别为8c的中点.

所以AE=DE=.WC=B.\l,AEBM,DE，CM,

所以四边形d81/E和四边形DCME均为平行四边形，

所以.48ME,DCME,

因为.1〃a平面£48,48u平面S/B,也£(Z平面SCO,DCu平面S(7),

所以EM!I平面SAB,EM!/平面SCD；

【小问2详解】

因为四边形.48CD为正方形，所以"1/。，

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因为平面S4Dj.平面/BCO,且平面S/。c平面=,4。，，48u平面.48。。，

所以48i平面S』0.

因为/Bu平面S.48,所以平面SdDj.平面S48.

【小问3详解】

存在，当N为SC中点时，平面。MN1平面.48CZ).

证明：连接EC.0V.5E.DM,设DM1EC=0,

因为四边形X8CD为正方形，E,M分别为X。、8c的中点，

所以EDCM,ED=CM,

所以四边形E"CO为平行四边形，所以EO=CO.

因为N为SC中点，所以NOSE.

因为山=S。=.4。=2,E为AD的中点，

所以SEI/。，SE=6,N0=—.

2

因为平面S4D-平面/BCD,平面S4D。平面/BCD=4。，SEu平面S40,

所以SE1平面.48C0,

所以NO一平面.4800.

又因为NOc平面,所以平面DMN1平面.4BC0.

所以存在点N，使得平面。MN1平面ABCD.

„.,,11.,y3yj3

11xxxx=

则DM\=■.-iDU=ry-'--

5LL0

18.如图，已知,48是圆。的直径，C是圆。上的一动点，PH垂直圆。所在平面.

第16页/共23页

(1)求证：PC，8C；

(2)。是圆。上点，且CD148,PA=JS=4,NC40=g,求平面CP8和平面。尸8夹角的余弦

值.

【答案】(1)证明见解析

1

(2)-

【解析】

【分析】(1)先根据线面垂直的判定定理证明8cl平面P.4C,再根据线面垂直证明线线垂直.

(2)做出二面角C-PBD的平面角，解三角形，求二面角的平面角的余弦.

【小问1详解】

PA1平面圆。，又：BCu平面圆0,PA1BC

是圆。的直径，二/C，8c.

PAAC=.4,又P,4u平面P.4C,u平面P.4c.

..BC1平面P/C.

又•••PCc平面P.4C,..PCiBC.

【小问2详解】

如图：

过点C作垂足为〃，连接0〃，

1T2冗

■.CD1AB,ZCAO=-,：.ZCAD=—

33'

-：AB=4,ACAD=1,:.BC=BD=2B

第17页/共23页

在A/CD中，由余弦定理得CD：=AC2+AD2-2ACADcos^-,

.-.CD=2y/3.

垂直圆。所在的平面，又■;IC.4/).二圆。所在的平面，

..PA1JC,PAAD,PAiAB.

■：PA=AB=4,:.PC=PD=25PB=,

iP8C经APBD,CH=DH,且DH1PB,

二面角CPB。的平面角为NC//O.

由三角形面积公式可得；PC・BC=：尸氏0〃，DH=造”=婴.

224V22

C+DH~CD'

在AC0H中由余弦定理可得cos/CHZ)=

2CHDH

二面角C-P8-。的余弦值为2.

19.已知函数〃x|=sin(0x+j^+sin^(ox-yj+5/3cos0x,<o>0.

(1)若函数/(.”的最小正周期为2兀，求函数/(田的解析式和对称轴方程；

(2)在(1)条件下，当X€(0,：时，8口)=445_2小吃”-加有且只有两个零点工小

:,直接写

出，〃的取值范围，并证明*+x2>j；

(3)函数/(“区间停Q)上有且仅有一个零点,且/⑹+4=2/1),求£/(深

/_\

...71I7T.

【答案】(I)〃.t)=2sinX+-,对称轴方程为-=三+而，KeZ

3;o

(2)/ne(-4,-3),证明见解析

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(3)

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换得到/（.”=2sin（ft）x+；）,根据最小正周期求出＜，）=1,所以

/（X）=2sin（x+jl,整体法求出函数对称轴方程；

（2）由（1）知，/（X+：）=2COSK,换元，转化为有且只有两个零点仆二，且

6+〃=4,其中：即,r=〃-2/-4与.「=m有两个交点，求出『=（r-2/-4的单调性及特殊

点函数值，从而得到答案；证明』+三＞],方法一：由基本不等式得到c。必+COJ、＜1,故

COS2Xj+COS：X,<COSXj+COS.V,<1COSXj＜cos由余弦函数单调性证明出结论；方法二：由

\L/

分析法进行证明即可;

(3)根据〃①1+百=2/得到lan"或cos?-=l,于是“=上五+%£eZ|或

22V3

a）=＞/4ht\keZ.\,分两种情况，计算出函数解析式，结合函数零点个数得到不等式，求出*=1,故

,所以“,利用周期性求和即可.

【小问1详解】

/(x)=sinI+—+sinlcox--1+Geos0K

Jis+4-4皿.------COSO)X+T5cosftj.r

2

=sintox+VJCOSCDX=2sinI(ox+—

的最小正周期为2r,；,⑨二1,所以=X+Y

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令工+一二一+hr,kwZ,即可得工=-+hr,kwZ,

326

・••/(x)的对称轴方程为x=E+H,«eZ.

6

【小问2详解】

由(1)知，/卜+"=2cosx,83=4*-2*〃-卅.

令2：””=[,,..X€(0,]),A2coive(0,2),

vg(*=4小用_2小一卜一阳有且只有两个零点％4，

.••8(/)=--4/-〃1有且只有两个零点K4,且L+G=4.

即关于方程什-2广-4=加有且只有两个根小4，

j，=U-2)'-4与.丫=有两个交点，

其中F="-2)：-4在，日1,2)上单调递增，在/w(2,4)上单调递减，

且/=1时，J--3,当/=2时，丫=-4,当/=4时，「=0,

要想)，=什-2『-4与J=加有两个交点，可知，4,-3).

方法一：­<!w毛，2：COM|+22