基本不等式-2026年高考数学一轮复习基础梳理（跟踪训练）

4讲基本不等式

一•选择题（共10小题）

1.（2024秋•福贡县期末）己知函数/（x）=x+」，x>0,则函数/（幻的最小值为

x

（）

A.-2B.2C.-2A/2D.2、反

2.（2025•南岗区三模）已知正数〃,力满足1/=2,则〃+3/?的最小值为（）

ab

A.8B.7C.6D.5

3.（2025春•宁波期中）已知正数a,8满足JJ=],贝必+2〃的最小值为（）

ab

A.9B.6C.4D.3

4.（2025春•浙江期中）已知”0,b>Qt且满足a+26=则a+2b的最小值

为（）

A.4B.6C.8D.10

5.（2025春•广东期中）若〃〉1,则的最小值是（)

a-l

A.2B.3C.4D.5

6.（2025•凉州区模拟）若正数x,y满足4x+y=4,贝Ij」+1的最小值为（）

X

A.2B.2C.3D.!

43

7.（2025春•静宁县月考）已知正数一），满足产S则2+三的最小值为

xy

（）

53

A._+J2-+J2C.2+J2D.1+2J2

22

□11

8.（2025春•南安市月考）若"0,y...A0,且十=:1,则3x+4y的最小值

x+1lx+4y

为（）

A.2B.3C.4D.8

9.（2025•淄博模拟）利民工厂的某产品，年产量在150r至2507之间，年生产的

总成本y（万元）与年产量MT）之间的关系近似地表示为Y-3Qr+4000,则

10

每吨的成本最低时的年产量为（）

A.160B.180C.200D.240

10.（2025•中ft市一模）若x+2），=4,则2、+2的最小值是（）

A.4B.8C.D.

二•多选题（共4小题）

（多选）11.（2025•张家口三模）已知a,OeR,且"=3,若ac（0,6],则（）

A./;e（0,]B.的最小值为2\/5

2

C.3+!的最小值为理D.4-2b的取值范围为（-8,5]

a4b3

（多选）12.（2025•湖南模拟）己知〃>0,且。+〃=2,贝1」（）

A.2“+2也8B.1+1>2

ab

C.Iog2a+logib„1D.+022

（多选）13.（2025•浙江模拟）已知正数a,6满足2〃+力=1,则（）

][2

A.cib<—B.—+—^8C.Jin+Jb<\llD.a2+Z?2>—

16ab5

（多选）14.（2025•河北模拟）已知％>0,y>0,x+2y=2f则下列说法正确

的是（）

A.冲的最大值为1B.2+上的最小值为4

2xy

C.『+4产的最大值为2D.f+y2的最小值为]

三•填空题（共4小题）

15.（2025•安徽模拟）若〃>0,〃>0,〃?+2〃=1,则_1+三的最小值是.

rnn

16.（2025•浦东新区模拟）若正数八y满足x+4y=l,则外的最大值为一.

17.（2025•四川模拟）若或G（1,+OO）,—</n-Ab，则实数m的取值范围为___.

工0-1

18.（2025•重庆模拟）若且〃+3）=5,则1+4的最小值为.

a-bh-\

四・解答题（共6小题）

19.（2024秋•安宁区期末）（I）若〃，〃>0,且他=〃+。+3,求而的最小值;

（II）若a,b>0,且ab=a+b,求4a+〃的最小值.

20.（2024秋•米东区期末）不等式若两个正实数”,「满足」+1=1.

（1）求上的最小值，并说明此时X,），的值；

（2）若不等式4x+），.,“2—2〃?+1恒成立，则实数〃1的取值范围.

21.(2024秋•田家庵区期末)已知x>0,y>0,且x+4y=xy.

（1）求孙的最小值；

（2）求x+4），的最小值;

（3）求x+y的最小值.

22.（2024秋•镇江期末）（1）已知a>0,b>0,且a+b=ab,求“+〃的最小值;

(2)已知a>0,b>0证明:

23.（2024秋•吐鲁番市期末）⑴已知0,求工+土的最小值.

（2）求jMlO-x）的最大值.

（3）已知正数x,y满足x+3），=l,求L+乙的最小值.

24.（2024秋•湛江期末）（1）已知求4.2+1的最大值;

44x-5

（2）若正数x,y满足『+盯-2=。，求3x+y的最小值.

【解答】解：正数〃，〃满足\2=1,

ab

贝lj〃+2。=(a+2/顼1+之)=|+2"+2"+425+2

9,

abba

当且仅当3=上且1+11,即〃=3,〃=3,

abab

故〃+2〃取得最小值

9.故选：A.

4【答案】C

【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.

【解答】解：因为”>0,b>0,且满足〃+2Z;=a〃，

所以12=1,

ba

则a+2Z?=3+2与(1+2)=4+4"+上.4+2/竺.巴=8,

baabNab

当且仅当上=，且I+3=l,即〃=2,a=4时取等号，"2〃取最小值8.

abba

他：C.

5【答案】B

【分析】由已知结合基本不等式即可求解.

【解答】解：6/>1,则4H---5--a—\-\--!--1-1>2./(g—1)-+1=3,

a-Ia—\Va—I

当且仅当。-1=」一,即a=2时取等号.

a-\

故选：B.

6【答案】B

【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.

【解答】解：由正数》,)，满足4x+)，=4,

4AI11-、/1I\I/y4xu\、I/c八，4丫u、9

得_+_=_(4x+)，)(_+_)=_(二+_+5)>_(2p.4x+5)=_，

xy4xy4xy4yy4

当且仅当±=上，即x=3，y=f时取等号，

xy33

所以1+1的最小值为

xy4

故选：B.

7【答案】R

【分析】由题设可得x+)，=2,再根据基本不等式“1”的妙用求解即可.

【解答】解：因为正数》，)，满足32"(6声=3。所以2r=)，，

则1+3=1。+)0(1.+3=1(3+[+刍i)(3+2

xy2xy2xy2]/xy2

当且仅当上=31，即x=4/2—2,y=4—2j2时取等号.

ry

B.

8【答案】B

【分析】由己知结合基本不等式即可求解.

【解答】解：x...0>F.0,且11=1,

x+12x+4y

3x+4y+l-l=[(x+l)+(2i+4y)](+1)-1

x+12x+4y

=2+X+1+^+4)?-1>2+2Ix+1¥然而_]=3,

2x+4yx+1y2x+4yx+1

当且仅A1=2'+4»，时,即2x+4y=x+l=2时，得x=l,y=0时，等号成立,

2x+4yx+1

所以3x+4y的最小值是3.

故选：B.

9【答案】C

【分析】利用总成本除以年产量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本

的最小值.

【解答】臃（1）依题意，每吨平均成本为？（万元），

X

贝叱=:+”一30...24000_30=10

x10xV10x

当且仅当上=吧，即x=20。时取等号，又150<200<250,

10x

所以年产量为200吨时，每吨平均成本最

低.故选：C.

（D【分析】由基本不等式可得2'+4'、=2'+22y...2而声=27^7=8,注意等号成

立的条件即可.

【解答】解：Qx+2y=4,

AV2V

，2+4-=2K+2...2>/2e=2j2g=2M=8

当且仅当2,=22,即x=2且y=1时取等号,

••2+4丫的最小值是8

故选：B.

二•多选题（共4小题）

1【答案】BCD

【分析】利用基本不等式判断，根据b=二转化为函数关系，转化为根据定

义域问题求值域,判断AD.

【解答】解：4・因为人=2.，a€((),6],则heJ+00),故4错误;

a2

B.由题意可知,«>0>b>0f则a+〃22ja/)=2J3,当a=。=J3时等号成立,

则a+力的最小值为人万，故8正确；

c.*+叵工=变，当]=_L，即a=8〃=2j6时等号成立，故。正确：

a4b4b3a4b

D.a-2h=a-­f

当〃€（0,6],y=〃-9在区间（0,6]上单调递增，

a

.•.当a=6时取得最大值5,且4fo时，y=a-2->Yc,

a

所以a-2〃的取值范围为（-8,51，故。正确.

故选：BCD.

2【答案】BCD

【分析】利用基本不等式，结合对数的运算性质和对数函数的单调性逐一判断即

可.

【解答】解：因为a>0,/>>0,且a+力=2,

4:若〃=。=1,选项A显然不成立；

3：1+1=1乂2（1+1）=1（4+力）（1+5=]_（2+匕+3、（2+2匕.3，

ab2ab2ab2ab2\ab

即1+1^2,当且仅当时取等号，即4=8=1时取等号，因此本选项正确；

abba

C:因为jloga+logb=log{ah)<log("+,即loga+logb„0,

222222

当且仅当a=h=1时取等号，显然log2a+log2力”1成立，故本选项正确;

D:因为空工/2；".7+加之2,当且仅当a=〃=l时取等号，因此本选项正

确，

故选：BCD.

3【答案】BCD

【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验选项ABC,结合二次函数性质检

验选项。即可求解.

【解答】解：因为正数“，b满足1=2"此茄，当且仅当b=2a,即人

24

时取等号，

所以"J,A错误；

8

l+3=（l+5（2«+Z?）=4+^+li>4+2/^,4a=8,当且仅当人=2a,即8=），0=]_

ababab\ah24

时取等号，8正确；

反+/K2但三=正，当且仅当〃=2a,即〃时取等号，C正确；

V224

2

/+=。2+（]_2a）=5A2-4d+1»0<6/<1>

结合二次函数性质可知，当4=3时，上式取得最小值1，。正确.

55

故选：BCD.

4【答案】AD

【分析】利用基本不等式计算并判断A，结合常数代换可计算并判断8,C,利

用两点间距离公式和点到直线的距离公式可计算并判断D.

【解答】解：因为x>0,y>0,x+2y=2,

2=x+2”2历]，所以外41，当且仅当x=2y,即x=l,y=1时等号成立，故A

V■22

正确；

因为±+±=至±迫+±=型+土+2之2区三+2=6,当且仅当宜=）,即工=1,

xyxyxy[xyxy

),=;时等号成立，故，错误；

222

因为x+41y=(x+2y)-4xy=4_4JQ>>4-4X^_=2,当且仅当x=1,y=时等号成

22

立，故C错误；

x2+丁可以看作直线门2)，-2=0落在第一象限内的点到原点距离的平方，

易知最短距离为4=1°一°-21=2叵,

S/PTF5

所以/+尸的最小值为小=£,故。正确.

5

故选：AD.

三•填空题(共4小题)

S【答案】9.

【分析】由已知结合基本不等式即可求解.

【解答】解：若/">0,77>0,W+2/1=1,

贝1」_1+3=(2_+3)(〃?+2〃)=5+%+上之5+2也.网=9,

mnmnmnY"?〃

当且仅当〃?=〃=1时取等号.

3

故答案为：9.

6【答案】1.

16

【分析】令x=l-4y,再结合二次函数的性质求解即可；

【解答】解：因为正数x、y满足x+4y=l,

所以x=1-4y>0,

所以0vyv1,

4

所以xy=y(1-4v)=-4y2+y=-4(v-1)2+—»

816

根据二次函数的性质可知，当,，=1时，孙取得最大值为

816

故答案为：—.

16

T【答案】［3,+00).

【分析［根据题意，转化为，令f(x)=x+_L，结合基本不等式,

07^\

求得函数/⑴的最小值，即可求解.

【解答】解：因为*G(l,+co),1<m-x,故只需加1,

07o0-37nun

X。-1%T

令/(x)=x+J—,贝lj/--»=x-l+—+1>2.L-1)—+1=3,

x-1x-\Vx-1

当且仅当x-l='，即x=2时取等号，此时/(x)取得最小值3,

X-1

所以m...3.

故答案为：［3,+8).

2【答案】25.

【分析】利用已知条件构造3)+4(8-1)=1,利用乘“1”法及基本不等式计算

可得;

【解答】解：因为”+3。=5,

所以(1+4)i(67-b)+4(b-\)]

a—hb—1

_(«-力)+4(〃-1)4[(«-/?)+4(/?-1)]_4(Z?-1)4(<7-/?)l4(b-1)4(a-b)-25

a-bb-\a-bb-\Va-bZ>-1

当且仅当a-〃=/I=L>/，=2a=:时，等号成立,

555

所以।+4的最小值为25.

a-bb-\

故答案为：25.

四•解答题(共6小题)

9【答案】(/)9,

(〃)9.

【分析】(/)由已知结合基本不等式位..2、肠+3,可求帅的范围，进而可求曲的

最小值，

(〃)由己知得，1+1=1,然后利用4a+〃=(4a+〃)(L+5，展开后利用基本不等式

abab

可求.

【解答】解：(I)a>b〉0,ab=a+b+3...2^fab+3,

当且仅当a=8时取等号，

解得，Jab...3,

所以成.9,即的最小值9,

(〃)Qa,Z)>0,Rab=a+b,

11,

.*._+_=1>

ah

4a+力=(4a+力)(L+1)=5+2+”5+2口.也=g,

ababb

当且仅当J上旦1+1=1,即a=J8=3时取等号，此时4a+8取得最小值9.

abab2

0【答案】(1)最小值为2,此时x=2,y=2;

(2)[-2,41.

【分析】(1)由已知直接利用基本不等式即可求解；

⑵结合乘1法，利用基本不等式先求出以+)，的最小值，然后结合恒成立与最

值关系的转化即可求解.

【解答】解：两个正实数x,%满足1+L1.

xV

(1)由题意可得外=文+”2而，当且仅当x=y=2时取等号，

所以即的最小值为2,此时x=2,y=2；

(2)H^4A-+>'=(4V+>')(L+1.)=5+I+11>5+2E^=9,当且仅当)，=法，即

xyxyyxy

x=-y=3时取等号，

2f

若不等式4x+nr-2m+1恒成立，则9...m2-2m+1,

解得-2”m„4

故实数〃，的取值范围为[-2,4].

2【答案】(1)16;

(2)16；

（3）9.

【分析】（1）（2）利月基本不等式求出最小值.

（3）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【解答】解：X>0,y>0,且x+4y=X），.

（1）xy=x+4y>2y/x-Ay=»解得肛...16,当且仅当x=4y=8,即x=8,y=2

时取等号，

所以xy取得最小值16.

（2）x+4y=Lx-4y<L（%+4,V）2,解得x+4y.“16,

442

当且仅当x=4y=8,即x=8,y=2时取等号，x+4y取得最小值16.

（3）由x+4y=xy,得f+_L=1,

xy

则x+y=（，+l）（x+y）=5+++”25+2-2=9,

xyyx

当且仅当x=2y=6,即x=6,y=3时取等号,x+y取得最小值9.

2【答案】⑴4；

（2）证明过程见详解.

【分析】（1）由题意及基本不等式可得〃+〃的最小值；

（2）作差整理可得结论.

【解答】（1）解：<?>0,/?>0,且4+A=如（"+"）2,解得4+5...4,

2

可得a+/）的最小值为4；

（2）证明：

—+与_（4+』）=^^1®_m+向=（6+血”人而）_（6+血

yjbyja\jab\jab

（\fa+\fb）（a+b-2y/ab）_+出）-瓜辛

==屈'

因为a>0,/?>0,可得Ja+招>0,Jab>0,（-Ja,

所以的坐近二回...0,

、忌

所以:—f=+~~f=—+、历

x/bJa

即证得结论.

3