圆中的重要模型-圆中的全等三角形模型

专题01圆中的重要模型圆中的全等三角形模型

知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。

圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型。

模型1、切线长模型

1）切线长模型（标准类）

条件：如图1,P为OO外一点,阴，是0O的切线，切点分别为A,Bo

结论：①△OA尸注△O6P：@ZAOB+ZAPB=]SO°；③。尸垂直平分A8；

2）切线长模型（拓展类）

条件：如图2,AD,CD,是0。的切线，切点分别为4,E,B.

结论：①4A0的AEOD；②△BOC/ZSEOC；@AD+BC=DC；©ZDOC=90°；

A.575B.6C.8D.10

【答案】B

【详解】解：连接P。，如图所示：

例2.（2022•湖南湘西♦中考模拟）如图，PA.依为团。的切线，切点分别为A、B,PO交八5于点C,PO

的延长线交团。于点D.下列结论不一定成立的是（）

【详解】解：连接OB,0C,令M为0P中点，连接MA,MB,

0B,C为切点，B0ODP=SOAP=9O°,0OA=OD,OP=OP,0Rt0OPB0Rt（3OPA,

国30BP与120AP为直角三角形，OF为斜边，0PM=OM=BM=AM

团点A、B都在以P。为直径的圆上，故C正确；

（E0BOC=0AOC,OB=OA,OC=OC,E0OBC00OAC,00OCB=0OCA=9O°,0PC0AB,

无法证明A8与PO相互垂直平分，故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运

用是解题关键.

例3.（2023•河南信阳,二模）小倩用橡皮泥做了一个不倒翁如图所示，小倩从正面看发现M4、阳分别切。。

于点A、B,直径CD所在的直线经过点M,连接AB.

如图，连接AC,BC,

M

C

【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定

等知识，熟练掌握切线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定并作出合理的辅助

线是解题的关键.

模型2.燕尾模型

条件：0A,04是0。的半径，OC=OD°结论：①△40C0△800；②△以。且△P4C；

【答案】C

【分析】根据圆的基本性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质逐项分析即可.

【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解圆的基本

性质，熟练运用等腰三角形的判定以及全等三角形的判定是解题关键.

团过圆心。的线CMAO,团44=。凡即C尸是A。的中垂线,

0AC=CD,BAC=AD=CD.即：4八。。是等边三角形，

(2)是等边三角形，C”是AO的中垂线，

在收团COE中，OE=+()C,团OE=3O8,团点E为。8的中点；

(3)解：在Rt团OCE中，A8=813OC=；AB=4,

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、中垂线性质、30。所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判

定和性质.解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解.

模型3.蝴蝶模型

条件：QA,。£是OO的半径，ADLOE,EBLOA。

结论：①△40。0△笈08；②△ABDgAEDB；

例1.(2023秋•江苏南京•九年级校联考期末)在以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦A3交小圆于C,D

两点.

①②

【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题

的关键.

【答案】证明见解析.

【分析】连接。4、0C,根据垂径定理求出CQ=2CN,43=Z4M,求出GV=AM,根据”L证&△0N6RQ0MA,

根据全等三角形的性质推出即可.

【详解】证明：如图，连接。C、0A,则0C=O4.

团圆心0到它们的距离分别是0M和ON,

(313ONC=[3OM4=90°,CD=2CN,AB=2AM,(3CN=AM,

在RfaONC和R/AOMA中，13OC=OA,CN=AM,

田MAON6R&)MA(HL),^OM=ON.

【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是构造直角三角形.

例3.(2022•江苏•九年级专题练习)【定义】圆心到弦的距禽叫做弦心距.

【探究】等弧所对•弦的弦心距相等.

图I图2

（1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明.

【应用】

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【点睛】本题考查圆的弦、弦心距等相关问题，解答时，垂径定理、直角三角形全等的证明等知识点的运

用是关键.

模型4.手拉手（旋转）模型

注意：圆中的手拉手模型•般是需要辅助线构造出来的（常用旋转或截长补短法）。

条件：0。是△4BZ）的外接圆，且ZADB=a,C为圆。上一点。

结论：①△4DC也△8。。，；②△DCU是等腰三角形；

特别地，当a=60°时，CD=CA+CB；当a=90°时.，QCD=CA+CB；

例1.（2023•货州遵义•统考三模）问题背景：如图1,A8是。。的直径，点。，点。在圆上（在直径/W的

异侧），.且。为弧A3的中点，连接A。，BD,CD,AC,BC.

⑴请你根据探究思路，写出完整的推理过程；

【点睛】本题考查圆的基本性质，全等三角形，旋转和折叠的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，全

等三角形的判定和性质，旋转和折叠的性质，勾股定理的运用.

A

：.P、B、。三点在同一条直线上，

⑷［拓展延伸］解：如图3,连接。4,将线段40绕点A逆时针旋转90。到4E,连接OE,

E

图3

【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、

勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆的弦、弧、圆周角的关系，全等三角形的判定与性质、等边

三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键.

课后专项训练

A.7B.9C.12D.14

【答案】D

【点睛】本题考查切线长定理，四边形的周长等知识，解题关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

2.（2023秋•青海西宁•九年级统考期末）如图，PA,依为的两条切线，切点分别为A,B,连接。户交

00于点C，交弦于点。.下列结论中错误的是（）

【答案】D

【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质以及垂径定理即匕判断.

故选D.

【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质以及垂径定理，关键是利用切线长定理得到垂径定理

的前提条件.

【答案】A

【详解】解：设正方形4EFG的边长为m

，E方形AEFG的边长为2,

正方形ABC。的边长为1,

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质与判定和弧长的求法，牢固掌握以

上知识点并灵活应用是做出本题的关键.

I30B是OE的垂直平分线,

故答案为：35°.

【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角

形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键.

【答案】68

A

【点睛】本题考查圆内接四边形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理.熟练

掌握圆内接四边形的内对角互补，证明三角形全等，是解题的关键.

A

【分析】分别讨论①尸、B、A三点；②尸、B、C三点；③尸、A、C三点；A、B、C三点；利用全等三角

形的判定和性质求出弧8尸的圆心角，再由弧长公式计算弧长，进而解答；

【详解】解：能1BAO75。，物BOC=150°,

00504=90°.EHAOC=120\

①P、B、A三点构成等腰三角形时，B4=BP时如图，

P历以时如图,

W

A

②P、B、。三点构成等腰三角形时，PB=PC时如图，

P

A

③P、A、。二点构成等腰二角形时，如图，

A

00/iPC=-ja4OC=6O\团团小。是等边三角形，不符合题意；

④04B,AC,8c三边互不相等，04、B、C三点不能构成等腰三角形：

综上所述」的值为:6.25(s),7.5(s),11.25(s)：故答案为:6.25(s)7.5(s)11.25(s)

【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，弧长公式,等腰三角形的判定和性质；根据

题意作出相应图形是解题关键.

0

⑴PC与。。有怎样的位置关系？为什么？(2)求CE的长.

【详解】（1）解：PC为。。的切线.

理由如下：连接OC,如图所示：

ps

•••点E是AB的中点，

【点睛】本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切

点的半径是解题的关键.

8.（2023•江苏南京•九年级专题练习）【问题情境】

⑴根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到A。的取值范围为

⑵【类比探究】

⑶【迁移应用】

【应用1]

【应用2】

理由如下:

晡E,D,G、4四点共圆,

团「为4E的中点，

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，勾股定理，垂径定理，平行四边

形的判定与性质，四点共圆的判定，本题是阅读型，探究型题目，利用题干中的方法和解题思想解答是解

题的关键.

【详解】（D证明：连接正，如图所示,

E

【点睛】本题考查了三角形的外接圆性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关

系，等边三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）连接OC、0D,先证明0AOCm3AOD,得到回CACH3DA0,再根据等腰三角形三线合一的性质即可证

明；

（2）连接OC、BC,先根据圆周角定理和直角三角形的性质求得:MBCWACE,再根据直角三角形的性质证得

OO3BF,然后证得团EOCWBOC即可完成证明.

【详解】解：（1）如图：连接。*0D

团在团AOC和团AOD中

OA=OA,AC=ADZOC=OD

00AOC03AOD

00CAO=0DAO

XQAC=AD

(2)如图：连接OC、BC

团AB是直径

回回ACB=90°

00AEC=9O0

00CAE+0ABC=90°,0CAE+0ACE=90°

00ACE=0ABC

aoc=OB

00OCB=0ABC

00CAB+0ABC=90°,0OCA+0OCB=90°

雕］OABWOCA

(30ACE=SGWC

00ABC=SGWC

00OCA+3GWC=0OAB+0CAB=90°,即003BE

【点睛】本题考查了圆的性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握

垂径定理是解答本题的关键.

【答案】见解析

【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性

质.熟练掌握截长补短法证明线段之间的和差关系，是解题的关键.

【答案】（1）见解析

【详解】（1）证明：如图，延长人C,交于点。，则点。是弧律所在圆的圆心，连接。G，

团直线A8与圆。相切「点G,

（2）解：如图，连接OE,设EF^OG交丁点H,

【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质判定，解直角三角函数，勾

股定理等知识点，正确作出辅助线确定圆心位置是解题的关键.

y

【答案】（1）详见解析

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解此题

的关键.

图1图2

⑶判断OP、OQ、0C之间的数量关系并证明:

⑵见解析

(4)y

J

【分析】（1）证得尸为。人的中点即可得出结论;

（2）•••PQ为直径，

证明：连接4C,

回四边形OPCQ是圆的内接四边形

（4）如图，设。。的中点为「，连接O/',

「•点/’在以。为圆心，3为半径的圆上运动,

当/'到MN的距离最小时\MN最大，

当「在/时，MN最大,

连接。/并延长交MN与点E,

24

故答案为：

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆中的圆周角、弧、弦、之间的关系，确定圆的条件，全等三角

形的判定与性质，解决问题的关键是结合所学知识利用数形结合的思想解决问题.

备用图

⑴若点P是弧A。上一点，

①矣尸C度数为；

【答案】（1）①45。，②见解析

【分析】（1）①理由正方形的性质和圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半解答即可;

（2）利用截长补短法，依题意画出相应图形，按小明思路完成解答即可.

团8。的度数为90。，

故答案为：45°；

又叵点。在A。上,

又叵点。在COI-.,

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，

等腰直角三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用截长补短法，构造恰当的辅助线解答

是解题的关键.

⑶见解析

【分析】（1）根据圆周角定理求解即可;

D

【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，

则另外两组量也对■应相等.也考查了三角形全等的判定与性质和等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌

握有关定理是解题的关键.

【答案】（1）等边

（2）5

【分析】（1）根据圆周角定理和等边三角形的判定定理即可证出（MBC是等边三角形;

（2）利用全等三角形的性质证明PC=%+PA,可得结论.

【详解】（1）团财Q8=120。，四边形AP8C内接于圆，

@a4CB=60\

0A8=AC,

配U8C是等边三角形，

故答案为：等边；

（2）由（1）知，（MBC是等边三角形，

a4B=AC,®4BC=[3BAC=60°,

(3胡PC=60°,

配L4PE是等边三角形，

（MP=4E,13%E=6O°,

^PAB=XAE,

酿网的犯4c（SAS）,

⑦PB=EC=2,

（3PE=%=3,

0PC=P£+CE=34-2=5.

【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判

定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质.

18.（2023•河南驻马店•统考二模）《义务教育数学课程标准（2022年版）》是风向标，梅老师通过杳阅新课

标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学"，并新增”会过圆外的一个点作圆的切线在《切线的性质与判定》

学习完毕后，遂命制一题：”已知：如图，及外一点八.求作：直线尸6,使移与相切于点李

华同学经过探索，想出了两种作法.具体如下（已知点8是直线OP上方一点）：

作法一（如图1）: