专项强化19 动态圆问题2023年高考物理一轮复习（新高考新教材）

专题强化十九动态圆问题

【目标要求】1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题.2.会用“平移

圆”“旋转圆”“放缩圆”，找出对应临界状态或极值的轨迹.3.理解“磁聚焦”和“磁发

散”模型.

题型一“平移圆”模型

粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上

的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径

适用条件

相同，若入射速度大小为加，则半径/?=翳，如图所示

轨迹圆圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直

心共线线与入射点的连线平行

将半径为/?=黑的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这

界定方法qB

种方法叫“平移圆”法

mU（多选）如图所示，在I、H两个区域内存在磁感应强度大小均为8的匀强磁场，磁场

方向分别垂直于纸面向外和向里，AD.AC边界的夹角/D4C=30。，边界AC与边界MN平

行，II区域宽度为4.质量为小、电荷量为十学的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速

度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为噜，不计粒子重力，则（）

A.粒子在磁场中运动的半径渡

B.粒子在距A点0.5d处射入，不会进入II区域

C.粒子在距A点1.5d处射入，在【区域内运动的时间为第

D.能够进入I1区域的粒子，在【【区域内运动的最短时间为魏

答案CD

mv

解析带电粒子在磁场中的运动半径厂=的=4选项A错误；设从某处月进入磁场的粒子，

其轨迹恰好与AC相切（如困所示），则E点距A点的距离为2d—d=d,粒子在距A点0.5d处

射入，会进入H区域，选项B错误：粒子在距A点1.5d处射入，不会进入H区域，在［区

域内的轨迹为半圆，运动的时间为/=弓=黑，选项C正踊；进入H区域的粒子，弦长最短的

/6/£>

*7^

运动时间最短，且最短弦长为d,对应圆心角为60。，最短时间为hin=7=看,选项D正确.

题型二“旋转圆”模型

粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强

磁场时，它们在磁场中做匀速圆周溶动的半径相同，若入射初

适用条件

速度大小为加，则圆周运动轨迹半径为R=*,如图所示

如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P

轨迹圆圆

心共圆为圆心、半径/?=翳的圆上

将一半径为R=翳的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出

界定方法

临界条件，这种方法称为“旋转圆”法

m2］如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小8

=0.30T.磁场内有一块足够大的平面感光板板面与磁场方向平行，在距"的距离/=

32cm处，有一个点状的a粒子放射源S,它向各个方向发射a粒子，a粒子的速度都是。=

3.0X106m/s.已知a粒子的电荷量与质量之比*=5.0义107C/kg.若只考虑在图纸平面内运动

的a粒子，则感光板加上被a粒子打中区域的长度是多少？（不计粒子的重力）

答案40cm

解析a粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做勺速圆周运动，用尺表示轨迹半径，

V2

有qvBmR,

由此得R=20cm,

由于2R>l>R,朝不同方向发射的a粒子的圆筑迹都过S,

可知，某一圆轨迹在图中N左侧与mb相切，

则此切点Pi就是a粒子能打中的左侧最远点；

再考虑N的右侧.任何a将子在运动中离S的距离不可能超过2A,以2R为半径、S为圆心

作圆，交岫于N右侧的尸2点，

此即右侧能打到的最远点；粒子运动轨迹如图所示

根据几何关系可得

NP\=A//?2-（/-/?）2=16cm

NP2=N（2R）2-F=24cm

所求长度为PIP2=NPI+NP?=16cm4-24cm=40cm.

题型三“放缩圆”模型

粒子源发射速度方向•定，大小不同的同种带电粒子进入匀强

适用条件磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随

速度的变化而变化

如图所示（图中只画出粒子带正电的情景），速度。越大，运动

半径也越大.可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨

迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上

XXXXXX

凯迹圆圆心共线p,

XX

X/AJfc\X

XXXXXX

以入射点〃为定点，圆心位于/7'直线上，将半径放缩作轨迹

界定方法

圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法

m31（202&全国卷I48）—匀强磁场的磁感应强度大小为从方向垂直于纸面向外，其边界

如图中虚线所示，/为半圆，ac、bd与直径ab共线,加•间的距离等于半圆的半径.一束质

量为“、电荷量为g（g>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于"射入磁场，这些粒子具有各种速

率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（）

A.cqB.cqB.C.cqC.D.cqD.

答案C

解析粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决

定.设枕迹交半圆益于e点，ce中垂线交be于。点，则。点为枕迹圆的圆心，如图所示.圆

心角。=兀+2从当"最大时，。有最大值，由几何知识分析可知，当ce与蔡相切时，尸最

大，此时4=30。，可得。=%,则鬻，故选C.

•J/JID

【例4】（2020•全国卷IH/8）真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为。和3“的同轴

圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示.一速率为。的电子从圆心沿半径

方向进入磁场.已知电子质量为加，电荷量为e,忽略直力.为使该电子的运动被限制在图

中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（）

/丫

，'xcX

：Bo・

A.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短

B.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长

C.若粒子速度大小均为簪,出射后均可垂直打在上

D.若粒子速度大小均为v=喈,则粒子在磁场中的运动时间一定小于篝

答案ACD

解析对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的航迹半径越大，弧长越长，轨

迹对应的圆心角越小，由1=47=粤可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误.粒子速

度大小均为。=簪时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为：r=转=凡根据

几何关系可知，入射点P、0、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹

半径与P0平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在/WN上：

根据几何关系可知，枕迹对应的圆心角小于180。，粒子在磁场中的运动时间：/就，故

选项C、D正确.

课时精练

过必备基础练

1.(2017.全国卷IL18)如图，虚线所示的圆形区域内存在•垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场

边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过户点，在纸面内沿不同的方向射入磁

场，若粒子射入速率为。I，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射

入速率为力，相应的出射点分布在三分之一圆周上.不计重力及带电粒子之间的相互作用，

则V2:仍为()

B.cq：1

D.3：y/2

答案c

解析根据作图分析可知，当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场边界的位置距P

点最远，则当粒子射入的速率为S,枕迹如图甲所示，设圆形磁场半径为R,由几何知识可

知，粒子运动的凯道半径为八=Rcos60。=；/?;若粒子豺入的速率为色，跳迹如图乙所示,

由几何知识可知，粒子运动的轨1道半径为i-2=Reos30°=孚R;根据轨道半径公式/=瑞可知，

V2v\=ri*.r\=y[3：1,故选项C正确.

甲乙

2.如图所示，垂直纸面向里的有界匀强磁场的宽度为"，在纸面内，相同的带正电的粒子（不

计重力）从左边界的A点以大小相同的初速度，沿各种方向垂直射入磁场，有些粒子从右边界

射出磁场，有些粒子从左边界射出磁场.已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R,周

期为。且/?=%下列说法中正确的是（）

A.从右边界射出的粒子在磁场中最短的运动时间是土丁

B.从右边界射出的粒子在磁场中最长的运动时间是:丁

C.从左边界射出的粒子在磁场中运动时间相同都是3丁

D.从左边界射出的粒子在磁场中有最长的运动时间是T

答案B

解析由题意可知R=d,根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系，可得从左右两个边界射

出的粒子运动轨迹如图所示，粒子在有界磁场中运动时间不大于半个周期，圆心角不大于

180。，入射点和出射点之间的连线越长即弦长越长、弧长越大、圆心角越大，那么粒子运动

时间就越长，反之越短.分析运动轨迹图像可知，能从右边界射出的粒子，最短的弦长为R,

圆心角最小为60。，则最短时间端而=会丁=看故A错误；由几何关系可知，能从右边界射

rfwi

出的粒子，最长的弦长为加R,圆心角最大为90。，则最长的运动时间为fmax=W7'=不故

B正确；能从左边界射出的粒子在磁场中做匀速圆周运动，出射位置不同，则运动的时间也

不同，故C错误；能从左边界射出的粒子在磁场中做匀速圆周运动，最长的弦长为2R,圆

心角最大为180。，则最长的运动时间为故D错误.

3.如图所示为边长为L的正方形有界匀强磁场A8CQ,带电粒子从A点沿A5方向射入磁场,

恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从A。的中点P垂直4。射入磁场，从。C

边的M点飞出磁场（M点未画出）.设粒子从A点运动到C点所用的时间为人，由P点运动到

M点所用时间为以带电粒子重力不计），则/I：及为（）

A.2：1B.2：3

C.3：2D.eq:也

答案C

解析画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的枕迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆

周运动的半径为R=L,从C点射出的粒子运动时间为。=金由P点运动到M点所用时间为

Ar

--

21力43

确

一

以

--C正

---一

t2f圆心角为仇COSR2r万

Z2-

6

4.（多选）长为/的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B,板间距离也为

/,板不带电.现有质量为小电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂

直磁感线以速度〃水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（

A.使粒子的速度。罂

B.使粒子的速度

C使粒子的速率。笔

D.使粒子的速度誓

答案AB

解析欲使粒子不打在极板上，临界运动轨迹如图所示，带正电的粒子从左边射出磁场时，

其在磁场中做圆周运动的半径型《，粒子在磁场中做圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，根

2

据夕。8=脸，可得粒子做圆周运动的半径R=患，若粒子不打到极板上且从左边射出，则患

<1,即v嘿,带正电的粒子从右边射出时，如图所示，此时粒子的最小半径为R',由图

可知R2=/+函一夕，可得粒子做圆周运动的最小半径=弓,则翁号，即。>4非，

故欲使粒子不打在极板上，粒子的速度必须满足uv鹫或耳，，故选A、B.

5.如图所示，在直角三角形。儿区域（含边界）内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强

度大小为8,ZA=60°,ZZ?=90°,边长岫=八一个粒子源在〃点将质量为小、电荷量为

q的带负电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度

的最大值是（不计粒子重力及粒子间的相互作用）（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案D

解析由左手定则和题意知，沿从7方向射出的粒子在三南形磁场区域内运动半个圆周时，运

动时间最长，速度最大时的轨迹恰与QC相切，轨迹如图所示，由几何关系可得最大半径：一

=«/?tan30°=当L，由洛伦兹力提供向心力得qvmB=nr^r,从而求得最大速度：vm=书*，

选项A、B、C错误，D正确.

6.（2022•四川成都市高三模拟）如图，圆心在。点的半圆形区域ACD（CO_LAQ）内存在着方向

垂直于区域平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，一带电粒子（不计重力）从圆弧上与AD

相距为d的尸点，以速度。沿平行于直径4D的方向射入磁场，速度方向偏转60。角后从圆

弧上C点离开.则可知（）

A.粒子带正电

B.直径A。的长度为4d

C.粒子在磁场中运动时间■

D.粒子的比荷为急

答案B

解析带电粒子在半圆膨磁场中向上偏转，由左手定则可判断，粒子带负电，选项A错误；

过〃点和。点作速度的垂线，交点即为圆心，如图：

由几何关系可知，四边形0cO'P为菱形，则OP=2d=PC=,•，洛伦兹力提供向心力有卯5

2

=〃*,所以/•=黑，则有9=募，选项D错误；由几何关系可得直径4。的长度等于磁场

区域半径的2倍，即4乩选项B正确；粒子在磁场中运动的时间为/=（=看义瑞^=合/=

兀2Bd_2nd*比,

3Bv~3v9选页C而c天，

用能力综合练

7.（多选）如图所示，纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为〃?、电荷量为

一式夕＞0）、速率为加，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，要使粒子都会聚到一点，可

以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可

以是下列选项中的（其中以=等，A、C、D选项中曲线均为半径为乙的1圆弧，B选项中曲

qLf

线为半径为4的圆）（）

口一……；

L----►：

1=1—」

带电粒子流

答案AB

8.（多选）如图所示，挡板MN位于水平面x轴上，在第一、二象限yWL区域存在磁感应强

度为B的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外.在MN上。点放置了粒子发射源，能向第

二象限发射各个方向的速度为。0=警的带正电同种粒子，己知粒子质量为加、电荷量为g,

不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，以下说法正确的是

（）

A.所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为方

B.粒子在磁场中运动的最长时间为第

C.所有粒子运动的区域面积为嬴炉

D.所有粒子运动的区域面积为生普

答案AC

2r

解析由洛伦兹力提供向心力有q8〃（）=〃厂7，代入数据解得r=g,所以A正确；粒子在磁

场中运动的最长时间为，=7=篝，所以B错误；所有粒子运动的区域面积为图中阴影部分

面积，由几何关系有7r（2力2=17rL2,所以c正确，D错误.

9.（多选）如图，•长度为。的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场（未画出）中，磁

感应强度为A0点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为+外质量为m的带电粒

子，所有粒子的初速度。（未知）大小相同.已知初速度与市夹角为60。发射的粒子恰好经过

N点（不被挡板吸收），粒子与挡板碰撞则会被吸收，访=小4,~ON±MN,不计粒子重力，

不考虑粒子间的相互作用，则（）

A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为当。

B,挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为。

C.能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的有

D.若调节初速度。大小便挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为。，则。的最小值为警

答案CD

解析粒子恰好经过N点，如图甲中轨迹1,设半径为此由几何关系可知2族访6()。=，5〃，

解得R=a,选项A错误；当枕迹刚好与MN相切时，粒子刚好能打到板上，如图甲中轨迹2,

设速度方向与ON夹角为凡由几何关系得Rsin。+/?=小a,解得sin9=小-1,由此可得

Reos0=a^\-s\^O=^273-3,所以，挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为他小一3,

选项B错误；要使粒子打到右侧，则有两个临界条件，妇图甲枕迹1、3,初速度方向的夹角

6001

为60°,则比例为市衿=不选项C正确；由C选项可知使挡板的右侧被击中的竖直长度为a,

2

粒子轨迹如图乙，速度方向与ON夹角为60。，由洛伦兹力提供向心力得小，8=等，解得。

=端选项D正确.

10.如图所示，正方形区域出“/内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab=l,Oa=OAl,大

量带正电的粒子从O点沿与ab边成37。的方向以不同的初速度加射入磁场，不计粒子重力

和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为〃?，电荷量为外磁场的磁感应强度大小为

sin37o=0.6»cos37°=0.8.

b

(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间：

(2)若带电粒子从而边离开磁场，求班的取值范围.

答案(2黑＜。底器

解析(1)粒子从他边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示,

h

甲

有qBvu-R，火T-5,解得JBq:

又由几何关系得。=74。，

则粒子在磁场中运动的最V时间

_360。-74。143兀〃?

―—360°-1—90qB

⑵当粒子轨迹与