直线与圆、圆与圆的位置关系（附答案解析）-全国高考数学一轮复习（提高版）

直线与圆、圆与圆的位置关系

链教材夯基固本

激活思维

1.（人A选必一P91例1改）（x-l）2+（y+2）2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是

（D）

A.相切

B.相离

C.相交过圆心

D.相交但直线不过圆心

【解析】由题意知圆心（1,一2）到直线2x+y—5=0的距离

且2义1+（—2）—5W0,所以直线与圆相交但不过圆心.

2.（人A选必一P91例1改）已知直线x+/y—2=0与圆/+产=4相交于4,5两点，

则弦N3的长度是（B）

A.3也B.2贴

C.2D.1

【解析】由题意知，圆心（0,0）到直线x+3y—2=0的距离为则M为

=2$-1=23.

2222

3.（人A选必一P98习题T1改）（多选）已知圆G：x+y=4,圆C2：x+ySx-6y+

16=0,则下列说法正确的是（BC）

A.圆G与圆G相交

B.圆Q与圆。2外切

C.两圆的圆心距为5

D.两圆的圆心距为3

【解析】圆Ci：N+y2=4,圆心为Ci（0,0）,半径尸=2；圆。2：x2~\~y2—8x—6j^+16

=0,即（X—4）2+0—3）2=9,圆心为C2（4,3）,半径R=3.因为|。1。2|=汴/=5,R+r=

5=|CIC2|,所以两圆外切.

4.（人A选必一P92例2改）圆N+y2—4x=0在点尸（1,处的切线方程为x-J3V+2

=0.

【解析】圆的方程为（x—2）2+产=4,圆心坐标为（2,0）,半径为2,点尸在圆上，所

以过点尸的半径的斜率为一3,所以过点尸的切线的斜率为所以切线方程为3=

-1）,即x-\/5y+2=O.

5.已知圆Oi：，+产=5与圆Q：N+y2—2x一例=0交于4,3两点，则|/2|=标..

【解析】由题知，两圆方程相减可得直线48的方程为2x+4y-5=0,且。i(0,0)到

|-5|

直线2x+4y-5=0的距离d=

聚焦知识

1.直线与圆的位置关系

设直线/：Ax+By+C=0(A2+B2^0),圆C：(^-«)2+0?-/>)2=^(r>0),d为圆心(a,

6)到直线/的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为/.

方法

位余几何法代数法

相交d_<_rA_>J)

相切d_=_r/三J)

相离d_>_r

2.圆与圆的位置关系

设圆Oi：(X—6Zi)2+(y—Z?i)2=r?(ri>0),圆Q：(%—^2)2+(y—历)2=秒(r2>0).

方法代数法：两圆方程联立组成方程组

位羲A几何法：圆心距d与九，厂2的关系

的解的情况

外离/>片+尸2_,无、解

外切_4=井1+尸2—_一组—实数解

_两组不同的一

相交」片一二2|VdV升1+r2_

实数解

内切d=Jn—r2[_(riWF2)一组实数解

内含—井2I31Wy2)无解

3.几个常用结论

(1)圆的切线方程的常用结论

①过圆12+炉=户上一点P(xo,/)的圆的切线方程为xox+^oy=r2.

②过圆(x—Q)2+。-b)2="上一点尸(xo,/)的圆的切线方程为(犹一。)(工一a)+(Po—6)3

~b)=r2.

③过圆好+产=产外一点M(XO,次)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为祀%+

yoy=r2.

(2)圆Cl：N+f+Ax+Eu+尸=10与圆。2：N+f+QK+&y+BnO相交时，公共

弦所在直线的方程为(。1一。2)%+(©一片2»+/1一b2=0.

研题型素养养成

举题说法

目惭用直线与圆的位置关系

例1（2021•新高考n卷）（多选）已知直线/："+勿一户=0与圆C：/+产=户，点/（a,

b）,则下列说法正确的是（ABD）

A.若点/在圆C上，贝心与圆C相切

B.若点/在圆C内，贝心与圆C相离

C.若点/在圆。外，贝心与圆C相离

D.若点/在直线/上，贝（1/与圆。相切

【解析】圆心。（0,0）到直线I的距离,若点4"，6）在圆。上，则层+加

=户，所以d=y则直线/与圆C相切，故A正确；若点/（a,6）在圆C内，则

a2+b2<r2,所以耳港〉味则直线/与圆。相离，故B正确；若点4（”，b）在圆C

外，则层+抉〉尸2,所以d=y：+62<M，则直线/与圆。相交，故C错误；若点4（a,b）

在直线/上，则层+炉一”=0,即〃+62="，所以凡则直线/与圆c相切,

故D正确.

，总结提炼A

判断直线与圆的位置关系的常见方法

（1）几何法：利用d与r的关系.

（2）代数法：联立方程之后利用/判断.

（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

变式1（2025•台州一模）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey=0,其中。<0,若圆C上仅有一

个点到直线x+再―2=0的距离为1,则早二冠；圆C的半径取值可能为?答案不唯一,

满足0<r<l即可）（请写出一个可能的半径取值）.

（变式1答）

【解析】根据题意，与直线x+3y—2=0的距离为1的点都在直线x+T3y=0和x+

yl3y—4=0_h.又圆C：/+产+.+纳=o过原点且原点到直线2=0的距离为1,

(D_E]

则圆心2'2」在直线y=3x上，且圆C与x+d3y=0相切，所以怖=寸3.如图，因

为圆上仅有1个点到直线x+3y—2=0的距离为1,所以圆C与x+3y—4=0无交点，所

以曰0,1).

目市市旧I圆的弦长、切线问题

视角1弦长问题

例2-1(2023•新高考II卷)已知直线/：X—+1=0与圆C：。-1)2+俨=4交于/,

3两点，写出满足“△/2C的面积为&”的m的一个值：2卜’—2,齐■^中任意一个皆可

5一一一-

【解析】设点C到直线的距离为d,由弦长公式得|/用=2"谓，所以品.c=

1义4*2"二了=&,解得d=生区或1=途.又/=耳担=。=,所以=生6或

2555yjl+m2A/1+m2\l+m25

/2一=2七,解得m=±2或ZH=±L.

\l-\~m252

<总结提炼A

弦长的两种求法

(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得到方程组，消元后得到一个一元二次方程.在

判别式/>0的前提下，得到根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.

(2)几何方法：若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长/=26二T2.

变式2-1(2024•娄底一模)已知圆C：(x—1)2+8+2)2=16,过点。(0,1)的动直线/

与圆C相交于M,N两点，当也见=2而时，直线I的方程为x=0或4x+3v—3=0.

【解析】当直线/与x轴垂直时，易知直线/的方程为x=0,在圆C：(x-l)2+(y+2)2

=16中，令x=0,得&+2)2=15,解得了=士而一2,此时|⑷=寸15—2一(一而一2)=2标，

符合题意；当直线/与x轴不垂直时，设直线/的斜率为左，则直线/的方程为了=息+1,即

入一了+1=0,则圆心C(l,一2)到直线I的距离为d=中+3.又|；VCV|=2\1户一星=2\jl6—cp—

A/F+1

2y15,所以,二#M=1,解得左=—：,则直线/的方程为y=—3+1,即4x+3y—3=0.

w+i

综上，直线/的方程为x=0或4x+3y—3=0.

视角2切线问题

例2-2(1)(2025・绍兴一模)若曲线y=elnx在点(e,e)处的切线与圆@一°)2+产=1相

切，贝lj4==/

【解析】由》=©山%,求导得则y|x=e=l,因此曲线歹=6山工在点(e,e)处的切

X

线方程为y—e=x—e,即X—〉=O,由直线X—〉=O与圆(x—〃)2+y2=i相切，得e=1,所

以a=土也.

(2)(2023・新高考I卷)设过点(0,—2)且与圆N+俨—以―i=o相切的两条直线的夹角

为a,贝！Jsin1=(B)

o星

A.1D.

4

C.MD.巡

44

【解析】圆]2+产一4%一1=0可化为(工-2)2+炉=5,所以圆心为5(2,0).记4(0,—

2),设切点为N,如图，因为|48|=2/，|3M|=韶，故|/用=3，cos：=cos

MM3.amf-rp..,.aa…5V市,"5

-----——p,sin—=-p,所以sina=2sin—cos-=2X-X—尸=---.

\AB\2也22也222y22也4

(例2-2(2)答)

＜总结提炼A

求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆

上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意

斜率不存在的切线.

变式2-2(1)过点尸(4,3)作圆(x—2)2+(y+1)2=4的切线，则切线的方程为一x=4或

3x—4y=0_.

【解析】当切线斜率不存在时，切线方程为x=4,满足题意；当切线斜率存在时，设

切线方程为y—3=曲%—4),即日一y—4左+3=0,由小二1^=2,得后=；，所以切线

方程为：x—y=0,即3x—4y=0.综上所述，所求切线方程为x=4或3x—4y=0.

(2)由直线y=x上的一点尸向圆(x—4)2+y=4引切线，切点为。，则|尸。|的最小值为

(B)

A.也B.2

C.«D.2y[2

【解析】圆(x—4)2+/=4的圆心为c(4,0),半径为r=2,直线的一般方程为x—y

=0,如图，设点尸到圆心的距离为d,则有尸0LC0,所以尸J屋一户=封建一4,所以

“取最小值时，尸0|取得最小值.因为直线上点P到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离，

所以匚9=242,故|尸0|的最小值为储二1="\/8二4=2.

目市而图圆与圆的位置关系

例3(1)(2025・景德镇期中)已知圆G：/+/-2办-1+标=0与圆02：(x-l)2+(y+

1)2=户&>0),若存在实数。使得两圆仅有一条公切线，则r的最小值为二一.

【解析】因为圆G：(X—a)2+>>2=1,所以圆心G(a,0),半径为1；因为圆C2：(x-

1)2+8+1)2=户，所以圆心。2(1,-1),半径为心若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切，

所以心。2尸卜一1|.由于,故卜一161,又厂>0,解得rN2,即厂的最

小值为2.

(2)已知圆O：x2+炉=4与圆(7：/+炉一^+4一3=0相交于，，2两点，则sinAAOB

=<5

一g「

【解析】因为圆。：X2+产=4与圆。：/+/-x+3y—3=0相交于4,3两点，所

以直线48的方程为(N+炉一4)一(炉+/-x+3y—3)=0,即x—偈-1=0,所以圆心0(0,

0)到N3的距离为d=；,所以|48|=2也』2=415.在△NOB中，\OA\=\OB\=2,由余弦定

理得cos//O8=4+4__-=_所以$亩ZAOB='\I\—cos2ZAOB=y/l——

2X2X28V648

变式3(2024•合肥二检X多选)已知圆O：x2+/=l,圆C：(工一必+8-1)2=4,—R,

则(AD)

A.两圆的圆心距|。。|的最小值为1

B,若圆。与圆C相切，则〃=±2也

C.若圆。与圆C恰有两条公切线，则一2也<a<2也

D.若圆。与圆C相交，则公共弦长的最大值为2

【解析】圆。：/+/2=1的圆心为。(0,0),半径r=1,圆C：(%—6z)2+(y—1)2=4

的圆心为C(q,1),半径火=2.对于A,\OC\=\)a2+l^l,所以A正确.对于B,当两圆内

切时，\OC\=R-r=\,即弋层+1=1,解得〃=0；当两圆外切时，圆心距d=|OC|=K+r=

3,即4层+1=3,解得〃=±2g.综上所述，若两圆相切，则〃=0或a=±2也,故B不正确.对

于C,若圆。与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，QC|G(R—厂，7?+r),即W+ieq,

3),可得1<4层+1<3,解得一2也<。<2也且。/0,故C不正确.对于D,若圆。与圆

C相交，则当圆。：7+y=1的圆心。在公共弦上时，公共弦长取最大值2,因此，两圆

相交时，公共弦长的最大值为2,故D正确.

随堂内化

1.(2025•邯郸期中)已知圆C：一+廿一标一1例+45=0及点0(—2,3),则下列说法正

确的是(B)

A.直线点一天一2k+1=0与圆。始终有两个交点

B.若M是圆C上任一点，则战。|的取值范围为［2/，6啦］

C.若点、P(m,加+1)在圆C上，则直线尸0的斜率为:

D.圆C与x轴相切

【解析】圆C：(x—2)2+。-7)2=8,圆心C(2,7),半径r=2也.对于A,直线入一了

—24+1=0恒过定点(2,1),而点(2,1)在圆C外，则过点(2,1)的直线与圆C可能相离，

故A不正确.对于B,|。0|=4正，点。在圆C外，由|。0|—;<河0区］。0|+厂得

2/也，故B正确.对于C,若点尸(加，/+1)在圆C上，贝1］(加一2)2+(小一6)2=8,

解得加=4,而点0(—2,3),则直线P。的斜率为——=；,故C不正确.对于D,点C(2,

m+23

7)到x轴的距离为7,大于圆。的半径，则圆。与x轴相离，即圆。与x轴不相切，故D

不正确.

2.(2023•全国甲卷)已知双曲线C：三一三=1(40,6>0)的离心率为田C的一条渐近

线与圆(X—2)2+。-3)2=1交于/,8两点，则|48|=(D)

【解析】由。=贴，得目=@¥=1+与=5,解得包=2,所以双曲线的一条渐近线为

a2a2

14A/5

y=2x,则圆心(2,3)到渐近线的距离d==

咪+1555

3.(2024•温州二模X多选)已知圆G：♦+4=6与圆。2：一+产+2%一.=0相交于/,B

两点，若S△CiAB=2SACMB,则实数。的值可以是(BD)

【解析】由题意可得弦45所在直线的方程为2x+6—。=0,设圆心Q(0,0)与圆心

G(—1,0)到直线的距离分别为4,4.因为C\AB=25AgAB,即，/6・力=2义^AB\-心,

所以4=2必.又di=性二刈=6二即性二0=2义6二化简可得3a2—20Q+28=0,

2222

即（3a—14）（°—2）=0,解得a=2或a=1.

4.（2024•蚌埠三检）已知曲线C：N+。一加）2=2和G：y=x+2,C2：y=|x|+2,若C

与G恰有一个公共点，则实数加=0或4；若C与C2恰有两个公共点，则实数加的取值

范围是一（2—2+也）卜彳4}_.

【解析】曲线C：炉+&-"?）2=2表示圆心为C（0,m）,半径为正的圆.若圆C与Ci：

x—y+2=0恰有一个公共点，则圆C与直线G相切，可得解得加=0或%=4.

因为圆。与G均关于y轴对称，注意到C2与y轴的交点为（0,2）,若圆C与。2恰有两个

公共点，等价于圆。与。2在（0,+8）内只有1个交点，且圆。不过（0,2）,此时。2：》=X

ly=x+2,

+2,联立＜消去y得2/+2（2—机）x+（2—"）2—2=0,此方程只有一个正

,+自一加）2=2,

7=4（2—m）2—8［（2一m）2-2］=0,

,=4(2F)2—8[(2—加尸2]>0,解得加

根，则,冽一2〉0或

2

.2l(2~m)~2<0,

=4或2—也＜加＜2+也，所以实数加的取值范围是（2—也，2+^2）U{4}.

配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

1.若直线3x—2y=0与圆。-4）2+俨=产&＞0）相切，则厂=（C）

48

A.B.5

7

C匹D.25

.7

手由直线与圆相切可得

【解析】设圆心到直线的距离为d,则4=

一谑1

7

2.（2024・石家庄三模）已知圆G：/+产=1和圆G：x2+y2-6x-Sy+9=0,则两圆公

切线的条数为（C）

A.1B.2

C.3D.4

【解析】圆G：d+产=1的圆心为C］（o,0）,半径y1=1,圆。2：x2+y2—6x~8y+9

=0的圆心为。2（3,4）,半径r2=4,则|。。2|=，32+42=5=门+尸2,故两圆外切，则两圆公

切线的条数为3.

3.（2024•全国甲卷）已知b是a,c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y—1

=0交于4,B两点,则|48|的最小值为(C)

A.2B.3

C.4D.2y15

【解析】因为。，b,c成等差数列，所以26=a+c,c=2b-a,代入直线方程ax+勿

-j,lx—1=0,|x=l,,,

+c=0,得QX+圾+2b—a=0,RPa(x—l)+Z?(y+2)=0,令，得，故

y+2=0,y=—2,

直线恒过(1,—2).设P(l,-2),圆化为标准方程得好+3+2)2=5,设圆心为C,如图，当

尸C_L48时，|/用最小，|PC|=1,|/C|=H=m，此时|/引=2|/尸|=2/4而二11=

(第3题答)

4.(2024•苏锡常镇一调)莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△/BC的三个顶点/,B,C作它

的外接圆的切线，分别和3C,CA,AB所在直线交于点尸，Q,R,则尸，Q,R三点在同一

条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线.在平面直角坐标系xOy中，若三角形的

三个顶点坐标分别为/(0,1),3(2,0),C(0,-4),则该三角形的Lemoine线的方程为(B)

A.2x—3y—2=0B.2x+3y—8=0

C.3x+2y—22=0D.2%一3y-32=0

1+£+9=0,

【解析】设△48C的外接圆方程为小+产+小+4+厂=。，则.4+2£)+9=0,解

.16—4E+F=0,

D=O,cn2

得.£=3,所以△/3C的外接圆方程为x2+/+3y—4=0,即N+P+2J=?.易知在

F=—4,

点/(0,1)处的切线方程为y=l.又直线5C的方程为:十二=1,令y=l,得x=会所以J

在点C(0,—4)处的切线方程为y=—4,又直线Aff的方程为:+y=l,令y=-4,得x=10,

v+4x—10

所以R(10,-4),则△45C的Lemoine线的方程为一----,即2x+3y—8=0.

1+4Jo

2

二、多项选择题

5.(2024•郑州三模)已知直线/：ax+by+l=0(a,6不同时为0),圆C：x2+y2~2x=0,

则(ACD)

A.当62—2a=l时，直线/与圆。相切

B.当。+6=—2时，直线/与圆。不可能相交

C.当。=1,6=—1时，与圆C外切且与直线/相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线

D.当。=1,6=—1时，直线/与坐标轴相交于4,8两点，则圆C上存在点P满足两•通

=0

【解析】圆C：x2+y2-2x=0,即(x—1>+产=1,圆心为C(1,0),半径r=l.对于A,

|a+I_|a+11_

若尻-2°=1,则圆心到直线/的距离1=l=r,所以直

\ja2~\~b2\!a2~\~2a~\~1

线/与圆C相切，故A正确；对于B,当a=0,6=-2时满足0+6=—2,此时直线/的

方程为>=1,则圆心。到直线/的距离为l<r,显然直线/与圆C相交，故B错误；对于C,

22

当a=l,b=—1时，直线/：%—y+l=0,则直线x—y+l+也=0与直线/平行，且两平

行线间的距离力=卜+仍一[=1,依题意知动圆圆心到直线无一了+1+仍=0的距离与到

/2+(—1)2

C(l,0)的距离相等，且点C(l,0)不在直线X—y+l+/=0上，根据抛物线的定义可知动

圆圆心的轨迹是一条抛物线，故C正确；对于D,不妨令/(-1,0),5(0,1),的中点

为』一2'J.又|/司=々2,所以以A8为直径的圆。的方程为b+J+P—Jig.又|CD尸

得+1,所以圆〃与圆C相交,所以圆。上存在点P满足届历

=0,故D正确.

6.(2024•连云港、如皋联考)已知圆Ci：x2+/=l,圆C2：(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),

P，0分别是圆G与圆C2上的动点，贝！1(BC)

A.若圆G与圆C2无公共点，则0<r<4

B.当r=5时，两圆公共弦所在直线方程为6x—8y—1=0

C.当r=2时，|尸0|的取值范围为[2,8]

D.当r=3时，过点尸作圆。2的两条切线，切点分别为4,B,则//尸3不可能等于匹

2

【解析】易知圆G：/+/2=1的圆心为G(0,0),半径尸i=l；圆。2：(x—3)2+(y+

4)2="的圆心为G(3,-4),半径为尸.对于A,若圆。与圆G无公共点，则@。2|>r+1

或IC1C2I<|「一1],即可得5>r+1或5<|六一1],解得0<r<4或尸>6,故A错误；对于B,

当厂=5时，两圆相交，公共弦为好+产―口―3)2+。+4)2]=1—25,整理可得6x—8y—1

=0,故B正确；对于C,当r=2时，易知两圆外离，|尸。-3,@0+3],即|PQ|£[2,

8],故C正确；对于D,若/APB=j,则四边形/C25P为正方形，如图，则|尸。2尸3他，

而|尸。2|引心。2|-1,ICCI+l],即|尸。2|曰4,6],而3他04,6],所以存在点尸满足/4P3

=?故口错误•

三、填空题

7.(2024•邢台一模)已知a>0,过点/(。，。)恰好只有一条直线与圆E：x2+y2-4x+2y

=0相切，则4=_』一，该直线的方程为:一2v+l=Q_.

【解析】若过点4(Q,a),。>0恰好只有一条直线与圆氏x2+y2—4x+2y=0相切，

则4(Q,a)一定在圆N+y2—4x+2y=0上，可得/+层—4a+2a=0,解得a=l(a=0舍去),

故4(1,1),圆£的标准方程为(x—2)2+(y+1)2=5,圆心石(2,—1),半径/=示.因为幻E

=-^1=-2,所以该直线的斜率为;直线方程为y—l=3(x—1),即x—2y+l=0.

8.(2024•常德3月模拟)已知曲线")=xlnx—l在x=l处的切线/与圆C：(x-lf+y2

=9相交于4,8两点，则34..

【解析】由於)=xlnx—l,定义域为(0,+°°),/(x)=lnx+l,则切线斜率左=/(1)

=1,又/(l)=ln1—1=-1,所以切线方程为y—(—l)=x—1,化简得x—y—2=0.又因为圆

的圆心C(1,0),半径厂=3,设圆心到直线/的距离为4,则d="与&=?,故1/81=24”—解

=2^9-1=^34.

9.(2024•张家口一模)过点P(l,2)作圆。：X2+产=10相互垂直的两条弦48与CD,则

四边形/C8D的面积的最大值为」

【解析】如图，过点。作ONLCD,垂足分别为跖N,|OP尸弱.记QM

22

=m,\ON\=n,则加2+层=5,\AB\=2^10~m,|CD|=2^10-«,SmACBD=^AB\-\CD\

=2A/10—m2-A/10—712<2X——m——=15,当且仅当■\/10—旭2=710一〃2,即加=〃=

亚时取等号，所以四边形NCAD的面积的最大值为15.

2

四、解答题

10.已知圆。的半径为2,圆心在X轴正半轴上，直线3x—4y+4=o与圆C相切.

(1)求圆C的方程；

【解答】设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),则圆C的方程为(X—a)2+f=4,因为直线

3x—4y+4=0与圆C相切，所以点C(a,0)到直线3x~4y+4=0的距离t/=^====2.

因为。>0,所以。=2,所以圆C的标准方程为(x—2)2+f=4.

(2)若过点(0,-3)的直线/与圆。交于不同的两点/,B,且甚•赤=3,。为坐标原

点，求直线/的方程.

【解答】易知直线/的斜率存在且不为0.设4(X1,勿)，8(X2,y2),直线/：y=kx-3),

y=.J^jQ—3

联立•'消去y得(乃+1)N—(4+6左)x+9=0,/=(4+6左)2—36(r+1)=48左

l(x—2>+炉=4,

z.S94+6k

—20>0,解得k>一,所以X\X2~,Xl+x2=----,V1V2—(fcvi—3)(fcr2—y)=lcX\X2—3^(X1

12k2+lk2+\

q—iot——Qa—1ot

+&)+9=三上.因为O0OB=3,所以工1&+刃夕2=々一+一^=3,解得左=1或左=一

左2+1//F+lk2+l

5(舍去)，所以直线/的方程为y=x—3.

11.已知圆C的标准方程为。-2)2+产=4.

(1)若点。的坐标为(一2,4),过点。作圆C的两条切线，切点分别为M,N,求直线

MV的方程.

【解答】由条件可知。，M,C,N四点共圆，且QC为直径，记为圆。，则。(0,2),

半径r=、22+22=2也,所以圆。的方程为N+8—2)2=8,即N+/―4y—4=0.因为圆C

的方程为炉+产―4x=0,两圆方程相减可得x—y—1=0,所以直线A/N的方程为x—y—1

=0.

(2)过点/(I,0)任作一条不与>轴垂直的直线与圆。相交于E,F两点,在x非正半轴

上是否存在点8,使得N4BE=N4BF?若存在，求点3的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】假设存在点2(6,0)(6W0)满足条件,由题可设直线NE：x=my+l,E(xi,yi),

inv~\1

尸(X2,词.联立•'消去X得("+D产一2叼-3=0.因为点/(I,0)在圆C内

l(x-2)2+j2=4,

部，所以/>0恒成立，则%+方=号叫一，"夕2=1^.因为乙43£=//3尸，所以kBE=一

m2+lm2+l

kBF,即‘^一+"=o,即竺~（一十四~（—=0,整理得2叼1方+（1-b）（yi+y2）=0,

x\~bX2~bmyi—b+1mj2—6+1

—3Diri

从而2加------k（l—6>T^=0,化简有%（b+2）=0.因为对任意的〃?GR恒成立，所以6

m2+lm--\-1

=-2,由此可得假设成立，故存在满足条件的点瓦且坐标为（一2,0）.