江苏省苏州市震泽中学2025届高三上学期滚动练习卷1（开学考试）数学试卷有解析

/高三数学滚动练习卷1一、单选题1.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】判断两个等式的、关系，利用充分必要条件判断即可.【详解】，由等价于；若等价于；所以，则“”是“”的充分必要条件.故选：C2.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】用导数几何意义去求切线方程即可.【详解】由，得，所以该曲线在点处的切线斜率为，故所求切线方程为，即．故选：C.3.设集合，集合，若中含有一个整数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】求出中不等式的解集确定出，由与交集中恰有一个整数，得到且，解不等式即得解．【详解】由解得或，故或，因为的开口向上，对称轴为，，根据对称性可知：要使中含有一个整数，则这个整数解为2，所以且，即，解得：．故选：A．4.已知向量，若，则实数（）A.2 B.1 C.0 D.【正确答案】D【分析】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得.【详解】，，由，则有，解得.故选：D.5.已知函数，满足为正实数，则的最小值为（）A.1 B.2 C.4 D.【正确答案】B【分析】由已知构造函数，探讨函数的单调性、奇偶性，进而求得，再利用基本不等式求解即得.【详解】令，由，得定义域为，，即函数是奇函数，而，当时，函数是增函数，又是增函数，于是函数在上单调递减，由奇函数的性质知，函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，由，得，即，所以，则，即，又，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为2.故选：B.6.已知定义在R上的函数满足，且f−1=2，则（）A. B.−2 C.4 D.2【正确答案】B【分析】根据题意，求得且，结合函数的周期性，即可求解.【详解】因为且f−1=2，可得，由，可得，所以函数的一个周期为，则.故选：B.7.若，则的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由知，由两角和的正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得.【详解】若，则，所以，所以，即，，若使得取得最大值，不妨设，则，当且仅当，即时取等号.故选：D.方法点睛：三角函数中的凑角技巧；；.8.满足的互不相似的的个数为（）A.0 B.1个 C.2个 D.前三个答案都不对【正确答案】B【分析】法一，首先确定角是钝角，再根据三角函数的关系，用角表示角和，并转化为关于的方程，并构造函数，并转化为利用导数求函数的零点个数；法二，利用，用角表示角，并构造函数，，结合函数的单调性，以及零点存在性定理，即可求解.【详解】在中，可得．再由，可得，所以∠B，∠C均是锐角，若∠A是锐角，由，可得，，，与∠C是锐角矛盾，由，可得∠A不是直角，所以∠A是钝角．由，可得，，于是，因此，，．设，可得，题意即问关于x的方程的实根个数．设，可得，为减函数．又因为，，所以关于x的方程的实根个数是1，因此答案是1个．方法二：根据题意，有，于是．因此．考虑函数，，其导函数，则函数单调递增，又，，于是函数在上有且仅有1个零点，所以只有一组解符合题意．故选：B二、多选题9.已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的一组是（）A.和 B.和 C.和 D.和【正确答案】ACD【分析】根据定义由待定系数法判断每组向量是否共线，判断.【详解】因为，则和共线，不满足条件；设，则，无解，故和不共线，能作为基底；同理可知和不共线，和也不共线，CD选项均能作基底．故选：ACD．10.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若这两函数图象的对称轴都相同，则下列结论一定正确的是（）A. B.C.与的零点相同 D.与的单调递增区间相同【正确答案】BC【分析】求出函数，求出对称轴判断AB；探讨与的关系判断C；举例说明判断D.【详解】对于AB，，函数图象的对称轴满足，函数图象的对称轴满足，两式相减得，因此，A错误，B正确；对于C，，因此与的零点相同，C正确；对于D，取，函数的递增区间为，函数的递增区间为，D错误.故选：BC11.已知函数，设为实数，且．下列结论正确的是（）A.函数的图象关于点对称B.不等式的解集为C.若，则D.若，则【正确答案】ABD【分析】对A，由可判断；对B，根据函数单调递增可求解；对CD，根据的性质画出函数图象，表示出直线的方程，根据均在直线上方建立不等关系可得.【详解】对A，，函数的图象关于点对称，故A正确；对B，在上单调递增，且，则化为，则，解得，故不等式的解集为，故B正确；对CD，，则可得，且关于点对称，在上单调递增，可得函数图象如下：均在直线上方，其中直线的方程为，则可得，，所以，，，即，故C错误，D正确.故选：ABD.关键点睛：解决本题关键是判断出函数的对称性和单调性画出函数图象，数形结合求解.三、填空题12.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为__________.【正确答案】【分析】根据函数奇偶性并求导可得，因此可得，可构造函数并求得其单调性即可得在上大于零，在上小于零，即可得出结论.【详解】因为为奇函数，定义域为，所以，两边同时求导可得，即且，又因为当时，，所以.构造函数，则，所以当时，在上单调递增，又因为，所以在上大于零，在上小于零，又因，所以在上大于零，在上小于零，因为为奇函数，所以在上小于零，在上大于零，综上所述，的解集为.故13.已知矩形满足，若分别是线段上的动点，且，则的最小值为__________.【正确答案】.【分析】以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，然后表示出点的坐标，从而可表示出，化简后结合基本不等式可求得结果.【详解】解：以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，，，设，则，由，知，所以，由，知，所以，所以当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故关键点点睛：此题考查向量的数量积运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据题意建立平面直角坐标系，将数量积用坐标表示，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.14.设三角形的外心为，重心为，且满足，则的最大值为__________.【正确答案】【分析】设外接圆半径为，根据向量数量积的运算律得，再利用导数求出最值即可.【详解】设外接圆半径为，则根据重心向量公式有，则，令，此时，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；则.故答案为.关键点点睛：本题的关键是利用向量数量积和三角恒等变换得到，再利用导数求出其最值即可.四、解答题15.已知向量，设函数.（1）当时，求函数的值域；（2）已知在中，内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值.【正确答案】（1）（2）1【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，整体法求解函数的值域；（2）在（1）基础上，结合得到，由勾股定理和基本不等式得到，进而得到三角形面积的最大值.【小问1详解】，，当时，，，所以函数的值域为【小问2详解】由（1）可知，又，所以，因为，所以，故，因为，由可知，，由基本不等式得，解得，当且仅当时，等号成立，故三角形面积，即面积最大值为.16.已知函数（1）求函数的值域；（2）若时，恒有，求实数a的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）分和两种情况，结合指数函数的单调性即可求得值域；（2）将化为，利用换元法结合参变分离的思想即可求得a的范围.【小问1详解】的定义域为，当时，，因为，所以，所以；当时，，因为，，所以，综上，可得函数的值域为．【小问2详解】因为，，，即两边同时乘以的即恒成立，，即，令，，则，由二次函数图象与性质可知在上单调递减，所以当时，，所以，所以实数a的取值范围是．17.记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若是上的一点，且，求的最小值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据正弦定理化简可得，再根据角度关系分析即可；（2）根据平面向量基本定理可得，再两边平方可得，结合余弦定理可得，再令，结合函数单调性与最值求解即可.【小问1详解】，又，则或，若，则；若，则，又，不符合题意，舍去，综上所述.【小问2详解】①，又②，①÷②得：令，又，，令令，令，当时，当时，由对勾函数性质可得当时，为减函数，故，同理当时，所以当三角形为等边三角形时最小，最小值为18.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）设，恒成立，求的最大值；（2）设，讨论函数在上的零点个数.（参考数据：）【正确答案】（1）3；（2）答案见解析.【分析】（1）设函数，用导数求出的最小值，再由得出的范围，从而得其最大正整数值；（2）先求出，，设，用导数求得极大值，证明，即，然后分类求在上零点个数和在上的零点个数．最终得出结论．【详解】解：（1）设函数，所以，令得，（a>0）且当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以因为要使得恒成立，只要恒成立即①设，且，在上单调递减又，，且图象连续不断，所以满足①的最大值为3.（2），设，则，因为，所以在内必存在唯一的实数，使得所以为增函数，，为减函数下面先证明.因为，所以，当时，有，，下证，即证，即证..接下来，求函数在上的零点个数，且函数在上单调递减在上有唯一零点，即函数在上的零点个数为1最后，求函数在上的零点个数，且函数在上单调递增当时，，所以函数在上没有零点，即函数在上的零点个数为0当时，，所