福建省泉州市鲤城区第六中学2021-2022学年九上期中试卷（解析版）

2021～2022泉州六中初三年上学期数学科期中测试一、选择题（每小题4分，共40分）1.与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同类二次根式的定义进行解答．【详解】解：的被开方数是2．A、，是有理数，不是二次根式，故本选项错误；B、，被开方数是2，所以与是同类二次根式，故本选项正确；C、=2，2是有理数，不是二次根式，故本选项错误；D、被开方数是6，所以与不是同类二次根式，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．2.下列根式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别化简各式，然后利用最简二次根式的概念进行判断即可．【详解】解：A.，不是最简二次根式；B.，不能化简，是最简二次根式；C.=4，不是最简二次根式；D.，不是最简二次根式．故选：B【点睛】本题考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．3.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据合并同类二次根式，可知不能计算，故不正确；根据二次根式的除法，可知=，故不正确；根据二次根式的性质，可知，故正确；根据最简二次根式的概念，可知，故不正确.故选C.4.若代数式有意义，则的取值范围是（）A.且 B.且 C. D.且【答案】B【解析】【分析】根据二次根式和分式有意义的条件可得出，解之即得出答案．【详解】根据题意可得，解得：，∴且．故选：B．【点睛】本题考查二次根式和分式有意义的条件．掌握被开方数为非负数，分式的分母不能为0是解题关键．5.方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A.12 B.15 C.12或15 D.不能确定【答案】B【解析】【分析】先解一元二次方程，再根据腰长、底长进行分情况讨论，从而得到其周长．【详解】解：方程变形得：，解得：，，当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的性质，注意分类讨论．6.已知如图，点是线段的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据黄金分割的定义可得，进而可得答案．【详解】解：∵点是线段的黄金分割点（），∴，∴选项C是正确的．故选：C．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握该知识是解题的关键．7.如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（）A.∠ACB＝∠ADC B.∠ACD＝∠ABC C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．【详解】解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；C、当时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；D、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．8.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A.2% B.4.4% C.20% D.44%【答案】C【解析】【详解】分析：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．详解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．故选C．点睛：本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9.关于x的方程x2﹣（m2﹣1）x+2m＝0的两个根互为相反数，则m的值是（）A.m＝±1 B.m＝﹣1 C.m＝1 D.m＝0【答案】B【解析】【分析】由于方程的两个根是互为相反数，设这两根是、，根据根与系数的关系及相反数的定义可知：，由此得到关于m的方程，进而可以求出m的值，然后将m的值代入原方程，考虑原方程根的情况，确定选项．【详解】∵方程的两个根互为相反数，设这两根是、，根据根与系数的关系及相反数的定义可知：，∴，当时，原方程为：，方程没有实数根，∴，当时，原方程为：，方程有实数根，∴，故选：B．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数关系，解题关键在于掌握二次方程根与系数的关系并熟练运用．10.已知一元二次方程有两个相等的实数根，则下面选项正确的是（）A.1一定不是方程的根 B.0一定不是方程的根C.1和都是方程根 D.1和不都是方程的根【答案】D【解析】【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得到Δ＝，据此求出a−b＋1＝0或a＋b＋1＝0，从而判断出1和−1不都是方程的根．【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴Δ＝，∴，∴b＝a＋1或b＝−a−1，∴a−b＋1＝0或a＋b＋1＝0，当a−b＋1＝0时，x＝－1是方程的根，当a＋b＋1＝0时，x＝1是方程的根，∴1和−1不都是方程的根，而0有可能是方程的根，故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．二、填空题（每小题4分，共24分）11.若，则的值为_____________．【答案】##-0.5【解析】【分析】利用设k法进行计算即可解答．【详解】解：∵，∴设a＝2k，b＝3k，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．12.如图，ABCDEF，有BF=3DF，则的值是_____________．【答案】2【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可解答．【详解】解：∵ABCDEF，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．13.若y=+3，则xy=________．【答案】8【解析】【详解】解：根据根号下为非负数由和可判断．故x=2.则y=3.所以xy=8【点睛】本题难度较低，主要考查学生对实数知识点的掌握．根据根号下为非负数，而x-2与2-x为相反数可推断出x-2=0为解题关键．14.已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_____________．【答案】【解析】【分析】观察数轴得到a的取值范围，根据绝对值和二次根式的性质即可求解．【详解】解：根据数轴上的数所在位置，可知a−1＜0，a＞0．所以原式＝1−a+a＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了数轴、绝对值、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是综合运用以上知识，同时在化简过程中注意符号．15.如图，在△ABC中，AB=AC=6．D是AC中点，E是BC上一点，BE=，∠AED=∠B，则CE的长为_____________．【答案】##7.2【解析】【分析】求出∠BAE＝∠DEC，证明△ABE∽△ECD，推出即可解决问题．【详解】解：∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C，∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠DEC，∠AED＝∠B，∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD，∴，∵CD＝AC＝3，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，关键在于正确寻找相似三角形解决问题．16.若关于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的其中一根为x＝2020，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝0的根为_______．【答案】x1＝﹣2，x2＝2018##x1＝2018，x2＝-2【解析】【分析】根据条件可以可到x+2＝2020或x+2＝0，据此即可解决．【详解】解：∵关于x的方程：a（x+2）2+b（x+2）＝0，且关于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的一根为x＝2020，∴另一个根为x＝0，∴x+2＝2020或x+2＝0，解得x＝2018或﹣2．故答案为：x1＝﹣2，x2＝2018．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，熟练运用换元的思想是解题的关键．三、解答题（共86分）17.计算：【答案】【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．18.解方程：【答案】【解析】【分析】利用公式法求出方程的解即可．【详解】解：∵，∴a＝3，b＝－2，c＝－4，∴，∴，解得：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．19.关于x的一元二次方程x2﹣3x＋k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．【答案】（1）k≤；（2）x1＝1，x2＝2【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；（2）在k的范围内找出最大整数值，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤；（2）∵k≤，∴k的最大整数值为2，此时方程为x2﹣3x＋2＝0，（x﹣1）（x﹣2）＝0，x﹣1＝0或x﹣2＝0，所以x1＝1，x2＝2．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．20.如图，A、B、C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上．（1）请在BC上标出点D，连接AD，使得△ABD∽△CBA；（2）试证明上述结论：△ABD∽△CBA．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据相似三角形的定义作图即可．（2）借助勾股定理求出AB的长度，根据相似三角形的判定定理证明．【小问1详解】如图，点D是所求作的点，【小问2详解】证明：，BC＝5，BD＝1，，，，∵∠DBA＝∠ABC，∴△ABD∽△CBA．【点睛】本题考查相似三角形的判定、勾股定理，解决本题的关键是熟悉相似三角形的判定定理．21.如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？【答案】5米．【解析】【分析】设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，根据题意列出一元二次方程，然后解方程结合实际意义即可求出结论．【详解】解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去；当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意．答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．22.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是RtABC和RtBED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求ABC面积．【答案】（1）见解析；（2）1【解析】【分析】（1）求出Δ，然后根据勾股定理和平方的非负性即可证出结论；

（2）将x=−1代入方程中，可得a+b=c，然后根据四边形的周长可得2(a+b)+c=,，从而求出c和a＋b的值，然后根据勾股定理即可求出a²+b²，再根据完全平方公式即可求出ab，从而求出结论．【详解】（1）证明：由题意，得Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab，∵a2+b2＝c2，∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，即△≥0，∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根（2）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c，∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6，∴3c＝6，∴c＝2，∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴ab＝2，∴S△ABC＝ab＝1．【点睛】此题考查的是勾股定理的应用、一元二次方程根的情况和完全平方公式，掌握勾股定理、一元二次方程根的情况与△的关系和完全平方公式是解决此题的关键．23.“田忌赛马”故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，，【解析】【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率．【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．此时，比赛的所有可能对阵为：，，，，共四种．其中田忌获胜的对阵有，，共两种，故此时田忌获胜的概率为．（2）不是．齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是．综上所述，田忌获胜的所有对阵是，，，，，．齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是，，，，，，共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，所以，此时田忌获胜的概率．【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键．24.如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动，若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：（1）经过6秒后，BP=_______，BQ=（2）经过几秒△BPQ的面积等于10？（3）经过几秒时△BPQ的面积达到最大？并求出这个最大值．【答案】（1）6cm；12cm；（2）2秒（3）6秒，【解析】【分析】（1）根据路程=速度×时间，求出BQ，AP的值就可以得出结论；（2）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根据面积公式建立方程求出其解即可；（3）由（2）求出△BPQ面积的函数表达式，利用二次函数的性质即可求解．【小问1详解】由题意，得，∵是等边三角形，∴，∴．故答案为：6cm；12cm；【